《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第6章 向量代数与空间解析几何 第三节 曲面及其方程

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第6章 四、二次曲面 第三节 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面

一、曲面方程的概念引例：求到两定点 A(1,2,3)和 B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程解:设轨迹上的动点为M(x,y,z)，则|AM=|BM I即 V(x-1)+(y-2)2+(z-3)2= /(x-2)2 +(y+1)2 +(z-4)2化简得2x-6y+2z-7=0.说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面显然在此平面上的点的坐标都满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程目录上页下页返回结束机动

一、曲面方程的概念 化简得 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解:设轨迹上的动点为 点的轨迹方程. M x y z ( , , ), 则 | |=| |, AM BM 2 2 2 ( 1) + ( 2) + ( 3) x y z − − − 2 2 2 = ( 2) + ( + 1) + ( 4) x y z − − 2 6 + 2 7 = 0. x y z − − 求到两定点 A(1, 2, 3) 和 B(2, 1,4) − 等距离的

定义1.若曲面 s与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系(1）曲面S上的任意点的坐标都满足此方程2）不在曲面S上的点的坐标不满足此方程则F(x,y,z)=0叫做曲面s的方程F(x,y,z)=0曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=O 的图形S两个基本问题（1）已知一曲面作为点的几何轨迹时求曲面方程2）已知方程时，研究它所表示的几何形状（必要时需作图）目录上页下页返回结束机动

定义1. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 若曲面 S 与方程 F x y z ( , , ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F x y z ( , , ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F x y z ( , , ) = 0 的图形. F x y z ( , , ) = 0 S x y z o

例1.求动点到定点Mo(xo，yo，Zo）距离为R的轨迹方程解：设轨迹上动点为M(x,y,z)，依题意|MoM=R即V(x -xo)2 +(y - yo)2 +(z- zo)2 = R,故所求方程为(x -xo)2 +(y-yo) +(z - zo) =R2Mo特别，当Mo在原点时，球面方程为Mx2 + j2 +z? = R?表示上（下）球面.xz=±/R?-x?-y目录上页返回结束机动下页

故所求方程为 例1. 求动点到定点 方程. 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 表示上(下)球面 . 0 0 0 0 M x y z ( , , ) M x y z ( , , ), 0 | |= , M M R 2 2 2 0 0 0 ( ) + ( ) + ( ) = , x x y y z z R − − − 2 2 2 2 0 0 0 ( ) + ( ) + ( ) = . x x y y z z R − − − 2 2 2 2 x y z R + + = , 2 2 2 z R x y =  − − 特别,当 M0 在原点时,球面方程为 x y z o M0 M

例2. 研究方程x2+y2+z2-2x+4y=0 表示怎样的曲面解：配方得(x -1)2 +(y+2)2+z2 = 5,此方程表示:球心为 Mo(1,-2,0)，半径为 V5的球面说明：如下形式的三元二次方程（A≠0）A(x? + y2 +z2)+ Dx+ Ey + Fz+G=0都可通过配方研究它的图形．其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹目录上页下页返回结束机动

例2. 研究方程 解: 配方得 此方程表示: 说明: 如下形式的三元二次方程 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 球心为 半径为 的球面. 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 2 2 2 x y z x y + + 2 + 4 = 0 − 2 2 2 ( 1) + ( + 2) + = 5, x y z − 0 M (1, 2,0), − 5 ( 0) A  2 2 2 A x y z Dx Ey Fz G ( + + ) + + + + = 0

二、旋转曲面定义2.一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转周所形成的曲面叫做旋转曲面该定直线称为旋转轴例如：目录上页下页返回结束机动

定义2. 一条平面曲线 二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一 周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 . 例如 :

建立yoz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程：给定yoz面上曲线C:f(y,z)=0.7若点Mi(O,J1,Z)EC,则有f(J1,31) = 0.Mi(0,J1,31)当绕=轴旋转时，该点转到M(x,y,k)M(x,y,z),则有Vx2+y? =lyi l,Z = Z1,故旋转曲面方程为f(±/x2 + y2,z) =0.目录上页下页返回结束机动

建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yoz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 f y z ( , ) = 0. 1 1 f y z ( , ) = 0. M x y z ( , , ),1 1 1 M y z C (0, , ) ,  2 2 = , + =| |, 1 1 z z x y y 2 2 f x y z ( + , ) = 0.  x y z o C M x y z ( , , ) 1 1 1 M y z (0, , )

思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？C: f(y,z)=0f(y,±Vx2 +z2)=0.上页目录下页返回结束机动

思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 2 2 f y x z ( , + ) = 0.  C f y z : ( , ) = 0 x y z o

例3.试建立顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz面上直线L的方程为z =ycotaM(0, y,z)绕z轴旋转时，圆锥面的方程为dz=±/x?+y2cota令a=cota两边平方z? = a?(x2 + y2)目录上页下页返回结束机动

x y z o 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 α L α z y = cotα cot 2 2 z x y = +  α 2 2 2 2 z a x y = ( + ). 令 a = cotα M y z (0, , )

例4.求坐标面1分别绕xoz上的双曲线x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程解绕×轴旋转所成曲面方程为绕乙轴旋转所成曲面方程为x目录上页返回结束机动下页

例4. 求坐标面 分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 绕 x 轴旋转所成曲面 方程为 xoz 上的双曲线 2 2 2 2 = 1 x z a c − 解 2 2 2 2 2 + = 1. x y z a c − z x y o z x y o z x y o 绕 z 轴旋转所成曲面 方程为 2 2 2 2 2 + = 1. x y z a c −