《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第7章 多元微积分学 第一节 多元函数的基本概念

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第7章 第一节 多元函数的基本概念 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性

区域一、[1.邻域点集U(Po,）={PPPo<,称为点P的邻域例如，在平面上U(Po,8 )= ((x, y)/ V(x-xo)? +(y-yo)?<8)(圆邻域)在空间中，<8U(Po ,) = (x, y,z)/ /(x-xo)? +(y-yo)? +(z - zo)?（球邻域）说明：若不需要强调邻域半径也可写成U(Po)点 P的去心邻域记为 U(Po)=Pl0<PPo|目录上页返回结束机动下页

0 δ  P P0  一、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的邻域. 例如,在平面上, ( , δ ) ( , )  0 U P = x y (圆邻域) 在空间中, ( , ) ( , , )  0 U P  = x y z (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 ( ). U P0 点 P0 的去心邻域记为 δ PP0 

在讨论实际问题中也常使用方邻域，因为方邻域与圆邻域可以互相包含·Po平面上的方邻域为U(Po,8 )= ((x,y)|x-xo|<, [y-yol<8目录上页下页返回结束机动

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 U ( ,δ )  ( , )  0 P = x y 。 P0 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含

2.区域(1)内点、外点、边界点E设有点集E及一点P：若存在点P的某邻域U(P)CE，则称P为E的内点：若存在点P的某邻域UPNE=O则称P为E的外点若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E的外点，则称P为E的边界点显然E的内点必属于E，E的外点必不属于E，E的边界点可能属于E.也可能不属于E上页目录下页返回结束机动

2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =  , • 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E

(2)聚点E若对任意给定的8，点P的去心邻域U(P,8)内总有E中的点，则称P是E的聚点聚点可以属于E，也可以不属于E（因为聚点可以为E的边界点）所有聚点所成的点集成为E的导集目录上页下页返回结束机动

(2) 聚点 若对任意给定的 , 点P 的去心 E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . E 的边界点 )

开区域及闭区域(3)若点集E的点都是内点，则称E为开集，记作EE的边界点的全体称为E的边界若点集ED0E，则称E为闭集若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连则称D是连通的D连通的开集称为开区域简称区域5开区域连同它的边界一起称为闭区域目录上页返回结束机动下页

D (3) 开区域及闭区域 • 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； • 若点集 E E , 则称 E 为闭集； • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , • 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 。 。 • E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;

例如，在平面上((x,y)[x+y>0)开区域((x,j)|1<x2 + y? < 4)-((x,y)[ x+y≥0)闭区域((x,y)[1≤x? + y2 ≤4 福C门2x2xO目录上页下页返回结束机动

例如，在平面上  ( x , y ) x + y  0   ( , ) 1 4  2 2 x y  x + y   ( x , y ) x + y  0  ( , ) 1 4  2 2 x y  x + y  开区域 闭区域     x y o 12 x y o x y o x y o 12

整个平面是最大的开域?也是最大的闭域；-10点集（(x,y)x>1)是开集但非区域对区域D，若存在正数K，使一切点PeD与某定点A的距离IAP<K，则称D为有界域，否则称为无界域。目录上页下页返回结束机动

 整个平面  点集  ( x, y ) x  1 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域； 但非区域 . − 1 o x y • 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无

3.n维空间n元有序数组且（xi,x2，,x）的全体称为n维空间记作R",即Rn =RxRx...xR={(xi,x2,..,xn) Xh eR, k=1,2,..,n)n 维空间中的每一个元素（xi,x2,,xn）称为空间中的一个点，数x称为该点的第k个坐标当所有坐标x=0时，称该元素为R"中的零元，记作目录上页下页返回结束机动

3. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, R , n n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 R = R  R    R n 一个点, 当所有坐标 称该元素为 n R 中的零元,记作 O

R"中的点x=(xi,X2,",xn)与点y=(y1,y2,"",yn)的距离记作p(x,y)或x一，规定为p(x, y)= /(xi - yi)? +(x2 -y2)? +...+(xn - yn))R"中的点 x=(xi,X2,,xn)与零元O 的距离为Ix=/x?+x2 +...+x当n=1,2,3时，x通常记作xRn中的变元x与定元a满足x-a→0记作x→aRn中点α的S邻域为U(a,)=(x xERn,p(x,a)<8)上页目录下页返回结束机动

的距离记作 中点 a 的  邻域为 ( , , , ) 1 2 n R ( , , , ) 与 点 y = y y  y 1 2 n n 中 的 点 x = x x  x 规定为 R ( , , , ) 1 2 n n 中 的 点 x = x x  x 与零元 O 的距离为 2 2 2 2 1 n x = x + x +  + x 当 n = 1, 2, 3 时, x 通 常 记 作 x . R x a x − a → 0 n 中的变元 与定元 满 足 记 作 x → a. n R