《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第7章 多元微积分学 第二节 偏导数

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第7章 第二节 偏导数 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数

一、偏导数定义及其计算法引例：研究弦在点xo处的振动速度与加速度，就是将振幅u(x,t)中的 x固定于 xo处,求u(xo,t)关于t的一阶导数与二阶导数u(xo,t)uu(x,t)Xo福X目录上页下页返回结束机动

一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u ( x , t ) 0 o x x u 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ( , ) 0 u x t 将振幅 关于 t 的

定义1. 设函数 z= f(x,y)在点(xo,yo）的某邻域内f(xo + △x, yo)- f(xo, yo)极限limAxAr-0存在，贝则称此极限为函数z=f（x,y）在点（xo,yo）对xafOz的偏导数，记为zx (xo,yo) O x(xo,yo)0 x (xo, yo)fx(xo,yo); fi(xo,yo)f(xo + △x, yo)- f(xo, yo)注意：fx(xo,yo)= limAx△x-0df(x,yo)X=Xodx目录上页下页返回结束机动

定义1. z = f ( x, y ) 在点 存在, z f ( x, y ) 在 点 ( x , y ) 对 x 0 0 = 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f   x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f ( x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ) . 1 0 0 f  x y x f x x y f x y x  +  − =  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :

同样可定义对的偏导数f(xo, yo +Ay) - f(xo, yof,(xo,yo) = limAy-0Aydf(xo,y)y=yody若函数z=f(x，）在域D内每一点（x，y）处对x或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为OZof, zx, fe(x,y), f(x,y)偏导数，记为OxOx02. (, (, ay目录上页下页返回结束机动

同样可定义对 y 的偏导数 lim  →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y  ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z    

偏导数的概念可以推广到二元以上的函数例如,三元函数u=f(x，y,2)在点(x,,2)处对x的偏导数定义为(x+△x,y,z)-f(x,y,z)fx(x,y,z) = limAxAr-0fy(x, y,z) =?（请自己写出）f.(x, y,z)=?目录上页下页返回结束机动

例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x +  x f ( x, y, z) = ? y f ( x, y , z) = ? z x 偏导数定义为 (请自己写出)

二元函数偏导数的几何意义afdf(x,yo)X=XooxdxX=Xoy=yoTz = f(x, y)在点Mo处的切线是曲线y=yoVoMoTx对x轴的斜率y0daff(xo,y)X=XOaydyy=yoy=yoz=f(x,y)在点Mo处的切线是曲线MoT,对y轴的x=xo斜率目录上页下页返回结束机动

二元函数偏导数的几何意义: 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y = =   = =    = = 0 ( , ) y y z f x y M 0 Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y = =   = = 是曲线 M 0 Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 y x z 0 x Ty o Tx 0 y M 0 对 y 轴的

函数在某点各偏导数都存在注意：但在该点不一定连续xy#0例如，z= f(x,y)=v~ = (d显然f(x, 0)fx(0, 0)=X=0=0dxdf,(0, 0)=f(0, y)=0=dy在上节已证f(x，y)在点(O，0)并不连续目录上页返回结束机动下页

函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如,      + = +  = = + 0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y z f x y = 0 = 0 注意： 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!

例1.求 z=x2+3xy+2在点(1,2)处的偏导数zOz=2x+3y,=3x+2y解法1：一axoyOzOz=2·1+3.2=8.yl(1,2)=3. 1 + 2. 2 = 70x (1,2)解法2：y=2 = x2 +6x + 41az0x/(1, 2) =(2x +6)1=8x=x=1= 1+3y+ y2az)=(3+2y)J=2 = 70yl(1, 2)上页目录下页返回结束机动

例1 . 求 2 2 z = x + 3x y + y 解法1: =   x z x (1, 2) z    解法2: x (1, 2) z   在点(1 , 2) 处的偏导数. y (1, 2) z   2 x + 3 y , =   y z 3 x + 2 y y (1, 2) z   6 4 2 = x + x + x=1 z 2 = 1 + 3 y + y y=2 z

例2. 设 z= x（×>0,且 x D,求证xOz1 0z2-27Inx Oyyox0ZVr-1证：xInxoxxOz07xy+x/=2zyoxInxoy例3. 求r = /x2+y2+z的偏导数.(P14 例4)2xarX解：a0C1aaz目录上页下页返回结束机动

例2. 设 z = x y ( x  0, 且 x  1）， z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   证: y z x x z y x   +    ln 1 例3. 求 的偏导数 . (P14 例4) 解: =   x r 求证 = 2 z 2 2 2 2 x + y + z 2 x r x = r z z r =  

例4.pV= RT (R为常数)已知理想气体的状态方程op.av.oT = -1求证：av aTapRTRTap证：pV2说明：此例表明Vav偏导数记号是一个RTavRaTp整体记号，不能看作pOTVT=pV分子与分母的商RRopRTav aTappVavaTap目录上页下页返回结束机动

偏导数记号是一个 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: = −1         p T T V V p 证: , V RT p = , p RT V = =          p T T V V p 说明: (R 为常数) , =   V p 2 V RT − =   T V p R pV RT − = −1 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号