《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 随机事件与概率 第二节 古典概型（等可能概型）

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第二节 古典概型（等可能概型）

01010古典概型的概念定义2.1：若试验E满足：1.实验的样本点个数有限（有限性）2.出现每一样本点的概率相等（等可能性称这种试验为古典概型或等可能概型概率的古典定义定义2.2：设古典概型所有的基本事件数为n,事件A包含其中的n个基本事件，则定义事件A的概率为：A中所含样本点的个数nAP(A)=2中所含样本点的个数n2

2 一、古典概型的概念 定义2.1：若试验E满足： 1.实验的样本点个数有限(有限性) 2.出现每一样本点的概率相等(等可能性) 称这种试验为古典概型或等可能概型。 ( ) A A n P A n    中所含样本点的个数 中所含样本点的个数 二、概率的古典定义 定义2.2：设古典概型所有的基本事件数为n,事件A包含 其中的nA个基本事件，则定义事件A的概率为：

三、古典概率的计算两种抽样方式：有放回抽样和无放回抽样2.计算古典概率的基本原则工具：排列（与次序有关）与组合（与次序无关）3.应用举例例1.一袋中有8个球，编号为1一8，其中1一3号为红球4一8号为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从中随机摸一球，记A=「摸到红球」，求P(A)解:W=[1, 2, .…., 8] , A={1, 2, 3]=P(A)-13

3 三、古典概率的计算 1.两种抽样方式：有放回抽样和无放回抽样 2.计算古典概率的基本原则 工具：排列（与次序有关）与组合（与次序无关） 3.应用举例 例1.一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3号为红球， 4－8号为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从中随机 摸一球，记A={ 摸到红球 }，求P(A)． 解： ={1,2,.,8}，A={1,2,3}   3 8   P A W

例2从上例的袋中不放回的摸两球，记A=恰是一红一黄！求P(A)15解: P(A)=C,C,/C,~ 53.6%28例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak=(恰有k件次品)，求P(Ak)解：P(A.) = CbCw-, / Cw, k = 0, , ,n(注：当L>m或L<0时，记Cl=0）

4 例2：从上例的袋中不放回的摸两球，记A={恰是一红一黄}， 求P(A)． 解： 1 1 2 3 5 8 15 ( ) / 53.6% 28 P A C C C    ( ) / , 0,1, , k n k n P A C C C k n k D N D N     0 L （注：当L>m或L<0时，记 Cm  ） 例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak ＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：

例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中（n≤N），设每球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A恰有n个盒子各有一球1，求P(A）解：?②..nN2N212212N2N1即当n=2时，共有N2个样本点：一般地，n个球放入N个盒子中，总 =Cn·n! = P(A) =Cn·n!/ N"样本点数为Nn，使A发生的样本点数若取n=64,N=365 = P(A)=1-C"·n!/ Nn =0.997可解析为一个64人的班上，至少有两人在同一天过生日的概率为99. 7%.5

5 例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一 球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A＝ { 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)． 解： n 1 2 N ① ②. ② 1 2 N ① ② ① 1 2 N ① ② 1 2 N . ! n   C n N ( ) !/ n n    P A C n N N ( ) 1 !/ 0.997 n n      P A C n N N 即当n＝2时，共有N 2个样本点；一般地，n个球放入N个盒子中，总 样本点数为N n，使A发生的样本点数 可解析为一个64人的班上，至少有两人在同一天过生日的概率为 99.7%． 若取n＝64，N＝365

DTO1GBIOIa0例5：一单位有5个员工，一星期共七天，老板让每位员工独立地挑一天休息，求不出现至少有2人在同一天休息的概率。解：将5为员工看成5个不同的球，7天看成7个不同的盒子，记A=（无2人在同一天休息}则由上例知：C, 5!~ 3.7%TA756

6 例5：一单位有5个员工，一星期共七天，老板让每位员工独立地 挑一天休息，求不出现至少有2人在同一天休息的概率。 解：将5为员工看成5个不同的球，7天看成7个不同的盒子， 记A={ 无2人在同一天休息 }， 则由上例知：   5 7 5 5! 3.7% 7 C P A   

例6：（抽签问题）一袋中有a个红球，b个白球，记a十b=n。设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。设A,=【第k次摸到红球}，k=1,求 P(A)2,...,n.解1可设想将n个球进行编号：@②..n其中③号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n.?可以是①号球12亦可以是②号kn球......是n号球视①②①的任一排列为一个样本点，每点出现的概率相等。a(a+b-1)!a与k无关P(A)=a+b(a+b)!7

7 例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n。设每次摸到各球的概 率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。设 { 第k次摸到红球 }，k＝1, 2,.,n．求 解1： Ak  ( ) P Ak ① ②. n ① —— a , , , , 1 2 k n    ① ② . n ( 1)! ( ) ( )! k a a b a P A a b a b       可以是①号球， 亦可以是②号 球.是 号 球 n 号球为红球，将n个人也编号为1,2,.,n． -与k无关 可设想将n个球进行编号： 其中 视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率 相等

解2视哪几次摸到红球为一样本点X12kn总样本点数为Ca，每点出现的概率相等，而其中有Ca-l个样本点使 A,发生，:P(A,)=C /Caa+b原来这不是等可能概型解3：将第k次摸到的球号作为一样本点：此值不仅与k无关，且与a，S={①, ②,..], A ={①, ②, ..,@b都无关，若aaa=0呢？对吗？ P(A)===为什么？n a+b解4：记第k次摸到的球的颜色为一样本点：S={红色,白色}，A,= {红色→ P(A)=1/28

8 解3： 将第k次摸到的球号作为一样本点： , , , , 1 2 k n    1 1 ( ) / a a k n n a P A C C a b         P A( ) 1 2 k ( ) k a a P A n a b     此值不仅与k 无关，且与 a， b都无关，若a ＝0呢？对吗？ 为什么？ 原 来 这 不 是 等 可 能 概 型 1 1 a Cn   a Cn Ak 总样本点数为 ，每点出现的概率相等，而其中有 个 样本点使 发生， S＝{ } ①，②，.，n ， Ak  { } ①，②，.，a Ak  {红色} 解2： 视哪几次摸到红球为一样本点 解4： 记第k次摸到的球的颜色为一样本点： S＝{红色,白色}

例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为212/712 =0. 000 000 3.人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理）。现在概率很小的事件在一次试验中竟竞然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。9

9 解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待 站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为 2 12/712 =0.000 000 3. 例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次 接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是 有规定的? 人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理 由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来 访者，即认为其接待时间是有规定的

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