《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 一维随机变量及其分布 第四节 随机变量的函数的分布

第四节随机变量的函数的分布（单个随机变量的函数的分布）一、问题的提出二、离散型随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布-

第四节 随机变量的函数的分布 （单个随机变量的函数的分布） 一、问题的提出 二、离散型随机变量的函数的分布 三、连续型随机变量的函数的分布

一、 问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣，例如，已知圆柱截面直径d的分布Td2的分布。求截面面积A4

一、问题的提出

一、问题的提出已知t=to时刻噪声电压V的分布求功率W-V-/R（R为电阻）的分布等

一、问题的提出

一、问题的提出设随机变量X的分布已知，Y=g（X）（设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的下面我们分离散型和连续型两种情况进行讨论

一、问题的提出

二、离散型随机变量的函数的分布设f（x）是定义在随机变量X的一切可能值x的集合上的函数，若随机变量Y随着X取x的值而取y=f(x），则称随机变量Y为随机变量X的函数，记为Y=f(X)问题如何根据已知的随机变量X的分布求得随机变量Y=f(X的分布？

二、离散型随机变量的函数的分布

离散型随机变量的函数的分布列求法如果X是离散型随机变量，其函数Y=f(X）也是离散型随机变量，若X的分布律为XXkXX2PkPP2Pk则Y=f（X）的分布律为Y =f(X)f(x)f(x,)...f(x)PiP2PkPk若f(xk）中有值相同的应将相应的pk合并

离散型随机变量的函数的分布列求法

应用举例例1设离散型随机变量X的分布律30-3X111P632求Y=X-1的分布律解Y的可能取值为一4，一1，2.P[Y = -4] = P(X = -3] :6P(Y =-1]= P(X =0] :3

应用举例

应用举例P[Y =2]=P[X =3]2故Y的分布律为2-4-1Y111P13126由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法

应用举例

应用举例211X例2设321Pk666求Y=X2-5的分布律解Y的分布律为4111p1212

应用举例

三、连续型随机变量的函数的分布设X是连续型随机变量Y=f（X）下面给出两种方法来求Y的概率密度函数1.分布函数法先求： Fy(y)再求: py(y)=Fy(y)例3设随机变量的概率密度为[3, 0<x<4,Px(x)=其它.0,求随机变量Y=2X+8的概率密度

三、连续型随机变量的函数的分布