《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量及其联合分布

第三章多维随机变量及其分布3. 1二维随机变量及其联合分布3.2边际（边缘）分布3.3条件分布*3. 4随机变量的相互独立性3.5两个随机变量函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其联合分布 3.2 边际（边缘）分布 3.3 条件分布※ 3.4 随机变量的相互独立性 3.5 两个随机变量函数的分布

第一节二维随机变量及其联合分布问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。@例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量

第一节 二维随机变量及其联合分布 问题的提出 例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身 高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同 时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重 之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两 个随机变量。 例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的 弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们 是定义在同一样本空间的两个随机变量

一、二维随机变量1.二维随机变量及其分布函数的？定义定义：设E是一个随机试验，样本空间Q={e);y设X=X（e）和Y=Y（e）是定义在2上的随机变量(X(e),Y(e)由它们构成的向量（X，Y）叫做二维随机向量或二维随机变量。ex定义：设（X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y定义二元函数：tyF(x,y)= P((X≤x)n(Y ≤y))1记成=P(X≤x,Y≤y)x称此函数为二维随机变量（X，Y）的分布函数

一、二维随机变量 1.二维随机变量及其分布函数的 定义 定义：设E是一个随机试验，样本空间 ={e}； 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在 上的随机变量， 由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量 或二维随机变量。 ( , ) ( ) ( )   ( , ) F x y P X x Y y P X x Y y       记成 0 x  x y,  y e y  X e Y e  ,   x 定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y， 定义二元函数： 称此函数为二维随机变量(X,Y)的分布函数。    

2.分布函数的几何意义(x,y)(X,Y)分平面上随机点的坐标区域GF(x,y)=P(X≤x,Y≤y)88F(x,J)即为随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点，位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值

2.分布函数的几何意义 (X,Y)平面上随机点的 坐标 F (x, y)  P {X  x,Y  y } 即为随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点, 位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值。 F(x, y) (,)

F(x,J) 的性质3.分布函数1 F(x,)关于x,y单调不减，即：(x,y)(X2,y)X <x2 = F(x,y)≤F(x2,y)i<y2 =→F(x,y)≤F(x,y2)2° 0 ≤F(x, y)≤1, F(+00,+o0)= 1y(x,y2)对任意x,y(x,y1)F(-00, y) = F(x, -00) = F(-00, -00) =0X

3.分布函数 的性质 1 2 1 2 x x F x y F x y    ( , ) ( , ) x1 x2 (x1 ,y) (x2 y ,y) y2 x y1 (x,y1 ) (x,y2 ) F x y ( , ) 1 2 1 2 y y F x y F x y    ( , ) ( , ) 2 0 ( , ) 1 ( , ) 1 , F x y F x y      ， 对任意 ( , ) ( , ) ( , ) 0 F y F x F        1 , , F x y x y   。 关于 单调不减，即：

3'F(x,J)关于x,y右连续，即:lim F(x+ε,y) = F(x,y)8-0+y2lim F(x, y+) = F(x, y)80+y14° 若x, <x2,i<y20XiX2= F(x2, y2)-F(x2, J)-F(x1, y2)+F(x1,y1)≥0因为P(x,<X≤x2,y<Y≤y2)=F(x2, y2) -F(x2, y)-F(x,y2)+ F(x1, J) ≥0

0 lim F x y F x y ( , ) ( , )       0 ( , ) ( , ) lim F x y F x y       1 2 1 2 4 , 若x x y y   2 2 2 1 1 2 1 1      F x y F x y F x y F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 3 , , F x y x y   。 关于 右连续，即：  1 2 1 2  2 2 2 1 1 2 1 1 , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 P x X x y Y y F x y F x y F x y F x y          因为 1 x 2 x 1 y 2 y 0

二、二维离散型随机变量及联合分布定义若二维r.v.（X，Y）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。定义：设二维离散型随机变量（X，Y)的所有可能取值为：(x,y,), i,j=1,2...,则P(X=x, Y-y,)=P,i,j=1,2..,称为二维离散型随机变量（X，Y)的联合分布列，简称（X，Y)的分布列。分布列的性质：(1)0≤pu ≤1(2) ZZpj =1分布函数为：F(x,J)=P(X≤x,Y≤y)=ZPix≤xJi≤y

二、二维离散型随机变量及联合分布 , ), , 1,2 , , , 1,2 , i j i j ij X x y i j X x i j X X    定义：设二维离散型随机变量（ ，Y)的所有可能取值为： （ 则P( ，Y=y )=P 称为二维离散型随机变量（ ，Y)的联合分布列，简称（ ，Y)的分布列。 定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有限对 或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。 ( , ) ( , ) i j ij x x y y F x y P X x Y y p   分布函数为：      (1) 0 1 (2) 1 ij ij i j p p      分布列的性质：

也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布列XXiX2X;YPl1P21Pi1yiy2P12P22Pi2.PujP2jPijy

1 2 j y y y X Y 1 2 i x x x 11 21 1i p p p 12 22 2i p p p 1 2 j j ij p p p 也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布列

例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的分布律。解(X, Y)可取值(0,3)，(1,1)，(2,1),(3,3)P(X=0, Y=3}=(1/2) = 1/8X31()()=3/80P(X-1, Y-1)01/8013/8()(6)1-3/8P(X-2,Y-1)=23/80301/8P(X=3, Y=0} =(1/2)=1/8

例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) P{X=0, Y=3} P{X=1, Y=1} P{X=2, Y=1} P{X=3, Y=0} Y X 1 3 0 1 8 3 8 0 0 1 2 3 3 8 0 0 1 8 2 3 1 1 1 2 2                2 3 1 1 2 2 2                  3  1 2  1 8. =3/8 =3/8   3  1 2  1 8

例2：设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求(X,Y)的分布律。分析(X,Y)所有可能的取值为：(1,1);(2,1)、(2,2)；(3,1)、(3,2)、(3,3);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4).解：设X可能的取值为i,i=1,2,3,4j,j=1,.,i.Y可能的取值为P(X=i,Y =j) =P(X=i)·P(Y = jX =i)j≤i一0,j>i

例2: 设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个数,另 一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求(X,Y)的 分布律。 分析 (X,Y)所有可能的取值为：(1,1);(2,1)、(2,2); (3,1)、 (3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4). 解：设X可能的取值为 i, i  1,2,3,4 Y可能的取值为 j, j  1,  ,i . P(X  i,Y  j)  P(X  i) P(Y  j X  i)         j i j i i 0, , 1 4 1