《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 第五节 两个随机变量函数的分布

概率论与教理统计第五节两个随机变量函数的分布主要内容：1.Z+Y的分布；2.Z=X/Y的分布、Z=XY分布;3. M=max {X,Y)及N=min[{X,Y) 的分布

第五节 两个随机变量函数的分布 主要内容： 1.Z+Y的分布； 2.Z=X/Y的分布、Z=XY分布； 3.M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布

概率论与教理统针引言在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论：当随机变量X，Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z= g (X, Y)的分布?

在第二章中，我们讨论了一维随机变量 函数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何 求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布? 引言

一、Z=X+Y的分布概率论与教理统计离散型情形例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0 ,1,2,...P(Y=k)=bk, k=0,1,2,.…. ,求 Z=X+Y 的概率函数解P(Z =r)= P(X+Y=r)-P(X=i,Y=r-i)i=0ZP(X=i)P(Y=r-i)i=0r=0,1,2, ..由独立性=aob,+a,br-1+...+a,bo

例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,., P(Y=k)=bk , k=0,1,2,. ,求 Z=X+Y 的概率函数. 解 P(Z  r)  P(X Y  r)      r i P X i P Y r i 0 ( ) ( ) =a0br +a1br-1+.+arb0      r i P X i Y r i 0 ( , ) 由独立性 r=0,1,2, . 一、 Z X Y   的分布 离散型情形

概率论与数理统计例2 若 X和 Y相互独立,它们分别服从参数为α,α,的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为2, + 2,的泊松分布解?依题意-M2i=0,1,2,..P(X =i)i!m2P(Y = i)j=0,1,2,..?j!于是P(Z=r)=P(X=i,Y=r-i)i=-0

解 依题意       r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , ) 例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 于是 i = 0 , 1 , 2 , . j = 0 , 1 , 2 , . ! ( ) i e P X i i 1 1     ! ( ) j e P Y j j 2 2     1 2 λ , λ 1 2 λ  λ 的泊松分布

概率论与数理统计ZP(X=i,Y=r-i)P(Z =r) = i=02-1-元e?1(r -i)!i=0(2+2r!Wi2125i! (r -i)!+(2+2),r=0,1,.r!即Z服从参数为,＋2的泊松分布

      r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , )    r i 0 r-i - 2 i - 1 (r -i)! e i! e 1 2         r r i e 0 r-i 2 i 1 ( ) i!(r -i)! r! ! 1 2     ( ) , ! 1 2 ( ) 1 2 r r e         r = 0 , 1 , . 即Z服从参数为 的泊松分布. 1 2 λ  λ

概率论与教理统计一般情形设（X,Y)是二维离散型随机变量,其联合分布列为P[X =a,Y =b,}= Puj, (i=1,2,..;j =1,2,..)则 Z=g(X,Y）是一维的离散型随机变量其分布列为P[Z =g(a,b,))= Pij, (i =1,2,..;j =1,2,..)

一般情形 设 ( , ) X Y 是二维离散型随机变量,其联合分布列为 P X a Y b p i j       i j i j , , ( 1,2, ; 1,2, )  则 Z g X Y  ( , ) 是一维的离散型随机变量 其分布列为 P Z g a b p i j      ( , ) , ( 1,2, ; 1,2, ) i j i j 

概率论与教理统计例 3 设(X,Y的联合分布列为Y-2-11X00.20.10.3010.30.1分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列

例 3 设 ( , ) X Y 的联合分布列为 Y X -2 -1 1 0 0.2 0.1 0.3 1 0.3 0 0.1 分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的 分布列

概率论与数理统计解由（X，Y）的联合分布列可得如下表格(1,-1)(1,1)(0,1)(1,-2)(0,-2)(0,-1)(X,Y)概率00.20.10.30.30.1-102-21-1X+Y21-1320X-Y0-3-1-3-2-4X +Y-21

解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格 (0,-2) (0,-1) (0,1) (1,-2) (1,-1) (1,1) 概率 0.2 0.1 0.3 0.3 0 0.1 -2 -1 1 -1 0 2 2 1 -1 3 2 0 -4 -3 -1 -3 -2 0 ( , ) X Y X Y X Y 2 X Y 2

概率论与教理统计解行得所求的各分布列为X+Y12-2-10概率00.20.4 0.30.1X-Y0123-1概率0.30.10.10.20.3X2+Y-2-2-10-4-3概率00.20.40.30.1

解 得所求的各分布列为 X+Y -2 -1 0 1 2 概率 0.2 0.4 0 0.3 0.1 X-Y -1 0 1 2 3 概率 0.3 0.1 0.1 0.2 0.3 X2+Y-2 -4 -3 -2 -1 0 概率 0.2 0.4 0 0.3 0.1

连续型情形概率论与教理统计例4 设X和Y的联合密度为f(x,y),求 Z=X+Y的概率密度。y解 Z=X+Y的分布函数是：F,(z)= P(z≤z)= P(X+Y≤z)JJ f(x, y)dxdyx+y=zD这里积分区域 D={(x,y): x+y ≤z)它是直线x+y=z及其左下方的半平面

例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.   D f (x, y)dxdy 这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 解 Z=X+Y的分布函数是:     F z P Z z Z      P X Y z   它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面. x y z   y 0 连续型情形