《高等代数》课程教学资源（书籍文献）高等代数方法选讲

前言高等代数是数学专业的一门重要基础课。学生学习这门课程时，往往感到内容抽象，抓不住问题的实质和关键，做题更感困难。编写这本《高等代数方法选讲》的目的，在于帮助学生加深对基本概念和基本理论的理解，牢固掌握所学知识，提高抽象思维能力、逻辑推理能力和解题的技能，技巧。本书不同于一般的教科书和习题集，编写时以通用的高等代数教科书的内容为基础，由多项式、矩阵和线性空间理论三大部分1组成。全书共分八章，每章对基本概念、有关定理等主要内容作了归纳与整理，并配有大童具有代表性的例题与习题。这些例题覆盖面广，有一定难度。例题讲解以剖析解题方法为主，着重揭示概念的内在联系，归纳解题方法和技巧，开拓学生思路，帮助学生解决学习中的困难和问题。习题附有参考答案和提示。本书中有三节注*号的内容，由于已超出一般高等代数教科书的范围，为便于自学，特对基本概念与理论的叙述详细一些，与其他章节的写法略有不同。本书是1988年在贵阳市召开的四川、贵州、云南、海南和广西五省（区）以及重庆市高等师范院校数学系系主任联席会议上决定协作编写的。第一章由和福生执笔（云南师范大学讲师），第二章由唐家祥执笔（云南师范大学副教授），第三章和第四章由钱芳华执31笔（广西师范大学副教授），第五章和第六章由王世芳执笔（西南民族学院副教授），第七章由项昭执笔（贵州师范大学讲师），第八章由刘蓉滨执笔（四川省教育学院副教授）。在完成修改稿后，由副主编王世芳审阅、修改一至三章，副主编薛育海（四川师范学院副教授）审阅、修改四至八章，最后由主编1

钱芳华对全书审阅、修改、定稿。本书由程福长教授（广西师范大学）担任主审，度世碧副教授（贵州师范大学）担任副主审，唐家祥副教授也参加了审稿工作。他们对本书提出了许多有益的修改意见。我们还要对有关院、校和数学系的领导、代数教研室的老师的支持和帮助表示感谢。由于我们的水平有限，不当和错误之处在所难免，请读者批评指正。编者2.手2

目录第一章多项式81一元多项式的概念与运算基本概念与结论应用举例382多项式的整除性55基本概念与结论6应用举例83最大公因式8基本概念与结论810应用举例10一、最大公因式二、互素1284因式分解17建17基本概念与结论..20应用举例……20、不可约多项式的判定24二、唯一分解定理的应用2785多项式函数和多项式的根27基本概念与结论.-29应用举例229一、有理根与重根33二、根与因式分解36三、根与整除性39习题·第二章行行列式与矩阵运算42S1n阶行列式的计算421

42基本概念与结论45应用举例..45一、三角形法二、递推法4750三、升阶法四、数学归纳法53五、辅助行列式法57六、一题多解5882矩阵的运算62基本概念与结论6270应用举例70一、与已知矩阵可交换的矩阵72二、矩阵的第三、逆矩阵的求法及其应用74四、其他7980习题85第三章矩阵的秩与线性方程组81矩阵的秩8585基本概念与结论88应用举例·88一、向量组的线性相关性93二、向量组的极大无关组的求法97三、矩阵秩的计算与证明10782线性方程组107基本概念与结论109应用举例109一、一般线性方程组的解115二、基础解系119*83广义逆矩阵简介122习题2

第四章方阵的特征根与方阵的对角化12681方阵的特征多项式、特征根与最小多项式126?基本概念与结论126应用举例128一、特征根与特征向量128二、特征多项式与凯莱定理.136三、特征多项式与最小多项式:14382方阵与对角阵相似的一个充要条件..145145基本概念与结论应用举例147一、方阵的相似147二、方阵对角化151.U习题161第五章方阵的相似标准形163812-矩阵及其标准形163163基本概念与结论.应用举例166.82数字矩阵的相似173基本概念与结论173174应用举例174一、不变因子与最小多项式.176二、矩阵相似的判定179三、矩阵与对角阵相似的条件83若当（Jordan）标准形182"182基本概念与结论183应用举例183一、若当标准形的求法186二、若当标准形的应用*84有理标准形193-201习题3

第六章二次型20481标准形204204基本概念与结论206应用举例一、化二次型为标准形的方法206216，二、实二次型及实对称阵+*$2规范形218218基本概念与结论220应用举例83正定二次型和正定矩阵，225.225基本概念与结论226应用举例226一、关于判别条件231二、正定矩阵与半正定矩阵.235三、正定矩阵与实矩阵.241习题.线性空间与欧氏空间243第七童81线性空间·243243基本概念与结论246应用举例246一、线性空间的判定249二、维数、基和坐标254S2线性子空间254基本概念与结论257应用举例257一、子空间的判定、维数和基..262二、两个子空间的交与和的维数265三、子空间的直和266四、线性空间的同构..26883欧氏空间4

268基本概念与结论272应用举例272一、内积与欧氏空间的判定275二、标准正交基三、长度、夹角27884正交子空间281-281基本概念与结论..283应用举例289习题第八章线性变换与正交变换294813线性变换294基本概念与结论294299心应用举例.299一、线性变换的定义.301二、线性变换与矩阵.307三、线性变换的核与值域310四、特征根、特征向量和不变子空间315五、线性变换的对角化82正交变换与对称变换318..318基本概念与结论319应用举例83线性映射空间323331习题+习题答案与提示335n5

第一章多项式81一元多项式的概念与运算基本概念与结论、一元多项式的定义1.设n是一个非负整数，形式表达式(1)a,r"+ au-1r"-1 +... + air +ao其中ao，a1，，4，都是数域P中的数，称为数域P上的一元多项式在多项式（1)中，ao叫零次项或常数项，aiz叫一次项，一般，a,a叫i次项，a.叫i次项系数，我们规定：在一个多项式中，可以任意添加或去掉一些系数为零的项；若某个i次项（i≠0）的系数是1，那么这个系数可以省略不写.一元多项式常用符号f（r），g(r），来表示2.如果数域P上的两个一元多项式f(r）和g(r）有完全相同的项或者只相差一些系数为零的项，那么就说（a）与g(r）相等，记作f(α）= g(α).3.数域P上的一个系数不全为零的多项式可以唯一地写成(2)aar+a-12"-1+..+ao,au≠0a,r"就称为多项式（2）的首项，a，称为首项系数，非负整数n称为多项式（2）的次数系数全为零的多项式叫零多项式，记作0，它是唯一不定义次数的多项式。1

多项式f(r)(f(r）≠0）的次数简记为a(f(α)).二、 多项式的运算1.设f(r)=anr"+an-i-+.+aoa.xb.X是数域P上的两个一元g(r）)=bmr+bm-1am-l++bo-多项式，假定m<n,则多项式f(r）与g(r）的和f(r）+g(r）是指多项式(an+b,)r+..+(am+bm)r+..+(a+br)r+(ao+bo)(a, + bi)r即f(r) + g(r) =0这里，当m<n，时取bm+l==b=0f(r）与g(r）的积f(α)g(）是指多项式Ca+mr*+#+Cu+n-1r"+m-1+..+Cia+Co这里，C = atbo + ar-ibr +... + aob=a,b,+(ab,)r即f(r)g(r) =2.设fr），g(r)都是数域P上的多项式，且f（r）0,g(r）≠0，则(1)当f(r）十g(r）≠0时a(f(r) + g(r) ≤max(a(f(r)),a(g(r))(2)a(f(r)g(r)) = a(f(r)) + a(g(r))3.多项式的加法和乘法满足以下运算规则：（1）交换律；（2）结合律；(3）消去律：设（r）·g(r）二f（α）·h(r），若f（r）≠0则g（α）hr）；（4）乘法关于加法的分配律.4.所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记作P[].2

5.带余除法设(r),g(r）EP[],且g(r）0,则存在唯一的--对多项式q(r),r(r）EP[使f(r）=g(a)q(r）十r(r),其中r(r)=0或;a(r(a)）<a(g(r)).g(）,r(r）分别称为g(r）除(r）的商式和余式.应用举例例1证明：多项式f()=(r50 r49 +... + r2-r+1)(r50 + 249 +.++1)的展开式中不含奇数次项，证明由于&51+1=(+1)(50-49++r-r+1)51—1=(-1)(r50+49++r+1)r102 - 1= (r—1)f(r)两式相乘得而1021与2—1都不含奇数次项，故f(）也不含奇数次项例2设f(z)=ah(r）+(a)k(),h(r)≠0,(r)≠0,g(r)=(ra)"h(r),m≥ l,a(f(r))<a(g(r)),a± 0(3)求证:a(k(r))<a(h(r)) + m 1分析只需证a(k(r))+1<a(h(α))+m证明因为f(）一ah(）（α—a)(),所以a(()）十l= a(f(r)a h(r)) < max(a(f(r)),a(h(r))).又因为a(f(r)) <a(g(r)) = m + a(h(r))所以aa(k(r)) + 1 <a(h(r)) + m从而可得a(k(r)) < a(h(r)) + m - 1例3设f(a),g(r）和h(r）都是实数域上的多项式，证明：若f2（r）=ag2（r）十ah（r）,其中k,s,t都是自然数，则f(r）=g(r）=h(r)=0.分析先证一个多项式为零，再证其余两个多项式为零。3