《高等代数》课程教学资源（书籍文献）高等代数解题方法与技巧

前言高等代数是数学专业的重要基础课。高等代数主要包括多项式及线性代数两部分，而线性代数又是理、工、医、农、经济等学科的基础课。高等代数（包括线性代数）的特点是习题类型多，内涵丰富，变化复杂，难于概括和统一处理。有时尽管概念与理论已经学懂，但面对某些习题却感到无从下手。本书编写的目的在于针对学生学习高等代数的困难，为他们提供在解题的方法与技巧方面的一把入门钥匙，也为那些准备报考硕士研究生的学生提供帮助，本书也可作为高等代数和线性代数的教师参考书。本书分九章，每章包括基本知识、例题、习题、习题答案与提示等四节，其中基本知识一节简要地概括了该章的有关概念和定理，例题一节中二、三十道例题将本章的各种类型的方法对应的典型问题展示出来，其中不乏有多所高校的硕士生入学试题。许多例题提供多种解法，并且对于有启示的例题题后附有“点评”，起到画龙点晴的作用，在纷绘的论述与计算中，抽象出本质性的规律，并指出处理这类间题常用的方法，尽量有可操作性。习题一节包括了各类重要方法的练习题。对例题的各种方法掌握后，一般做本书的习题不会有太大的困难，何况每章的最后一节都编有习题的答案与提示。本书可作为北京大学数学系编《高等代数》（第三版）和张禾瑞、郝锅新编《高等代数》（第四版）的学习参考书，其中北京大学数学系编《高等代数》（第三版）中增加了“双线性型与辛空间”一章，相应习题的内容将在本书修订时予以增补。本书的编写人员是多年从事高等代数教学的教师，来自多所高等学校，书中许多素材来源于他们的教学经验与积累。本书第一章由李师正教授编写，第二章和第九章由高玉玲教授编写，第三章和第五章由李桂荣教授编写，第四章由刘学鹏教授编写，第六章和第七章由张玉芬教授编写，第八章由王彩云副教授编写，全书由李师正教授统稿。由于编写人员水平所限。书中必然有不少错误和疏漏，愿请读者指正。编者2003年10月

目录第一章多项式81.1基本知识….$1..2例题.A81.3习题2081.4习题答案与提示22第二章行列式..26$2.1基本知识26$2.2例题31习题$2.371$2.4习题答案与提示80第三章线性方程组84$3.1基本知识84$3.2例题88$3.3习题·10683.4习题答案与提示112第四章矩阵11584.1基本知识·115$4.2例题121$4.3习题.13684.4习题答案与提示141二次型第五章150$ 5.1基本知识·150$5.2例题…152$5.3习题175$5.4习题答案与提示179第六章线性空间184$6.1基本知识·184$6.2例题188$6.3习题206$6.4习题答案与提示209第七章线性变换212

$7.1基本知识212$ 7.2例题·217$7.3习题.254$7.4习题答案与提示257第八章入一矩阵260$8.1基本知识260$8.2例题…264习题$8.3285$8.4习题答案与提示288第九章殿几里得空间291$9.1基本知识291$9.2例题…296习题·$9.3310$9.4习题答案与提示314Ⅱ

第一章多项式81.1基本知识一、数域与数环1.1）数域是一个由某些复数组成的集合P，它包括0和1，且P中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数2）常见的数域有有理数域O、实数域R和复数域C2.数环是一个由某些复数组成的非空集合R，且R中任意两个数的和、差、积仍是R中的数3.所有的数域都包含有理数域，数域总是数环.整数环是数环但不是数域二、一元多项式环1.设P为数域.如下的表达式称为数域P上的（一元）多项式：f(α)=anx"+an-iα"-l +...+ao,其中ao，ai,a2,",anEP,a,t"称为f()的第i次项，a,称为i次项系数.如果a,≠0,则f(α)的次数为n，记为a(f()）=n.零多项式无次数.2.f(α)和g(α)相等当且仅当对应系数相等3.多项式的和、差运算归结为对应系数的和、差.多项式的乘法运算归结为逐项相乘后合并同类项.加法和乘法适合交换律、结合律、分配律、消去律，4.数域P上的所有（一元）多项式的集合称为P上的一元多项式环，记为P[α].三、多项式的整除性1.带余除法：设f(α），g（）EP[r,g（）≠o则有唯一的g（）r（α)EP[α],使f(α)=q(r)g(α)+r(α),其中r(）=0或a(r())<a(g)）r（)称为余式，q()称为商式2. 整除:设f(),g()EP[r]. 如果有 q()EP[],使f()=.1:

q()g(),则称g(）整除f(）),记为g()lf()3.最大公因式：1)设f(),g()EP[],d()EP[]称为f()和g()的最大公因式,如果d()lf()且d(）lg（α）,同时如果h)/f(）且h（)lg（）,则有 h()ld(α).2）f(）和g（α）的最大公因式d（）可通过辗转相除法求得，且可以表为f()和g()的组合,即有u(),()E[l,使d(α)=u(a)f(x)+v(α)g(α),其中u(α)和()也通过辗转相除法求得.反之,如果d()是f()和g()的公因式.且d(）可表为f(）和g（）的上述组合形式，则d（）是fα）和g（r)的最大公因式3）f（）和g（）的最大公因式在不计非零常数因子的意义下是唯一的.用（f（z）g（r）)表示首项系数为1的最大公因式.4.互素：1）f(），g（α)EP[α]称为互素，如f(α）和g(α)除零次多项式外无公因式,记为(f(α),g())=12）（f(）,g（))=1当且仅当存在u(),()EP[α],使u()f(α)+ u(α)g(α)=1.3)如果(f(),g(r))=1,f()lg()h(),则 f(α)[h(α).4)如果 fi()lg(),fz()lg(),(f(),f,())=1,则 fi()f,()!g(x).5.不可约多项式：1）在数域P上次数≥1的多项式p（）称为P上的不可约多项式，如果它不能表为数域P上两个次数低于a（p（）)的多项式之积，一次多项式总是不可约的。2）设p（）为数域P土的不可约多项式，f（）是P上任意多项式，则p()lf()或(f(）,())=1恰有一式成立.3）设()为P上的不可约多项式，f（α），g（EP[],（）if(α）g(）,则()f()或p()lg()至少有一式成立.6.因式分解及唯一性定理：数域P上次数≥1的多项式f（）可以唯一地分解为数域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是指如果有两个分解式f()=pi()p2()...p,(α)=q(r)qz().."q(α),那么必有s=t，并且适当排列因式的次序后有p,(α)=cq(α),i=1,2,"",s,其中c（i=1,2，，s），为非零常数.2

7.重因式：不可约多项式p（α）称为多项式(x)的k重因式，如果p（）整除f(）,但p+1（）不整除f(）.当k=1时，p(）称为多项式f(）的单因式,当k>1时，p(α)称为多项式f(α)的重因式四、重要数域上的不可约多项式1.复数域上的不可多项式是且仅是一次多项式2.实数域上的不可约多项式是且仅是一次多项式和判别式△<0的二次多项式.3.有理数域上的不可约多项式：1）有理数域上的多项式可以表为一个有理数与一个本原多项式之积，且除了一个正负号外是唯一的.本原多项式是指系数互素的整数系数多项式2）高斯（Gauss）引理：两个本原多项式之积仍是本原多项式.3）非零的整数系数多项式如能分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，则能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积，4）艾森斯坦（Eisenstein）判别法：设f(x)=a.t"+an-ir"-i++ao,是一个整数系数多项式，如果有一个素数p，满足条件：p整除a,-1，"，ao，p不整除an，p2不整除αo，那么f(）是有理数域上的不可约多项式.五、多项式的根1.余数定理与因式定理：1)余数定理：用r-a去除多项式f(r）,其余式为常数f(a).2）因式定理：a是多项式f(α)的根当且仅当-a整除f(α）.2.重根：1）如果-a是f()的k重因式,则a称为f()的k重根2）数域P上n次多项式在P中的根不多于n个（重根按重数计算）.3.有理根：设f(）=anz"+an-1α"-1+.+ao，是一个整数系数多项式，ris是f(）的有理根，（r，s）=1,则sla，rlao.当a=1时，f(）的有理根都是整数，且为α。的因子，4.根与系数的关系：设f(）=r”+a"-l++aEP[],f(α在数域P中有n个根α，α2，"，αn，则有:3

(α,+α2+.+α=-a1,αiaz+α2ag+...+an-1a=a2,Zα,αt"α=（-1)'a,（所有可能的i个根之积的和），αrα2"".α,=(-1)"an.*六、多元多项式与对称多项式1.设P是一个数域，，2，…，，是文字，形如a…的式子，其中aEP,k，kz，"，k，是非负整数，称为P上的一个n元单项式2.数域P上有限个n.元单项式的和，称为数域P上的一个n元多项式3.数域P上全体n元多项式的集合称为数域P上n元多项式环4.数域P上的一个n元多项式f（，，，），如果任意交换两个文字的位置，多项式不变，则称为对称多项式，5.下面的n个多项式称为初等对称多项式：o=xi+2++a.,o2=ai2+xia,+...+-1c.oiT6.对称多项式基本定理：数域P上的任意n元对称多项式都能唯一地表为初等对称多项式的多项式，题例$1.2例1写出包含/2的最小数环和最小数域解令A=2m+n2lm，nEzl.A是一个数环，事实上，A≠0.V2m+n/2,2m,+n/2EA,则(2m+ n/2)±(2m, +n2)=2(m±m)+(n±n,)2EA,(2m + n/2)(2m, + ni /2)=2(2mm + nn;)+(2mni +2m,n )/2EA,显然/2=0+1/2EA.另一方面，如B为数环，且V2EB，则V2+...+/2EB,-V2=0-/2EB,(-/2)+... +(-N2)EB,4

即nV2EB，nEZ.而2=（V2)?EB，推出全体偶数在B中，因而A二B.A是包含2的最小数环令P=ia+b/2la,bEQ.P为数域，事实上0,1EP，Va+b/2.c+d2EP.则(a+b2)±(c+d/2)=(a±c)+(b±d)2EP,(a + b/2)(c + d /2)= (ac +2bd)+(ad + bcW2EP设c+d/2±0，a+b/2_(a+b/2)(c-dV2)_1[(ac -2bd) +(bc- ad /2)1c+d/2（c+d/2)(c-d/2)-2d设F为含/2的任意数域，易见P三F，即P是含V2的最小数域点评包含/2的最小数环是指一个数环A，适合/2EA，且如果一个数环B包含/2，则A二B.包含/2的最小数域类似，例2设f()是数域P上的多项式，如Va，bEP，都有f(a +b)= f(a)+ f(b),则 f()=kr,kEP.证明证法1设f()=a”+.…+a+ao,则vuEP,有f(2u)=f(u+u)=f(u)+f(u)=2f(u),0=f(2u)-2f(u)=2"a,u"+...+2a,u+a-2a,u"-...-2a,u-2a=(2" -2)anu" +... +(2? -2)a2u? - ao,于是a.=….=α2=a=0.f()=ai.令=at,则f(α)=.证法2 设f(α)=a,r"+.+a+ao,由于f(t)=f(t+0)=f(t)+f(0),VtEP成立.于是f(0)=0,即a。=0,f(x)=an"+...+a,r.f(2) = f(1+1) =2f(1), f(3) = f(2) + f(1) =3f(1), *, f(n) = nf(1)设f(1)=k,得f(1)=ar +az +...+an=k,f(2)=2a, +2°a2+..+2"an=2k,(1)f(n)= nar + n'a2 +... + n"a, = nk,线性方程组（1)的系数行列式是范德蒙行列式，不等于0，(1)只有唯一解：a,k,a2=...=a,=0所以f()=k,kEP.5

点评本题是由多项式的性质来刻画多项式的一个典型问题.证法1通过性质构造一个多项式恒等于零，推出系数全为零，得出结论.证法2利用解方程组得出.例3证明实数域上多项式f()=+ a+q +是实数域上一个多项式的立方当且仅当=3汇，g=3（开方为实3次方根)证明设f()=（g())3,则g()为一次多项式.设g()=a+b,于是3+pr?+qx+r=(ar+b)=a+3ab2+3ab+63对比系数,得a3=1,3a2b=p,3ab2=q,63=r解得a=1,=36,g=362,b=.得出=3,g=3反之，设条件成立.p=3斤，q=3.则显然f()=(+)3点评这类问题解法基于待定系数法，即两多项式相等当且仅当对应系数相等，转换为方程组求解，例4当且仅当k，l,m适合什么条件时，2+kr+1lx+lz2+m？解解法1用带余除法，可得+l2+m =(2+kx+1)(2-kr+(2+1-1))+k(2-l-k2)x+(m+1-l-k2).因而当且仅当(k(2- l -k2)=0,(1)(m+1-l-k2=0时,r?+kr+11x*+l+m条件（1)等价于[k=0,[m=1,成1=2-k2.1=m+1,解法2 记+l2+m=(+kx+1)(2++g),比较系数，得方程组(k+p=0,kp+q+1=l,kq+p=0,由p=-k，q=m，得k（m-1)=0,即k=0或m=1.如k=0,则l=m+1;若.6

m=1，则1=2-k2，即当且仅当k=0,[m=1,(1=m+1,l=2-k时，?+kx+1|r*+lr?+m.点评证明一个多项式g（）整除一个多项式f（），对于其系数已具体给出时，通常可采用带余除法：f（α）=g（α）g（α）+r（α），整除性等价于余式r（）=0.或利用待定系数法，形式地写出(2)f(α)=q(α)g(x),a(g())=a(f()）-a(g（α)),g)的系数为待定常数，比较(2)两端各项系数，解出方程组，当且仅当该方程组在相应的数域内有解时，g（z)If（）例 5 若(r-1)lg(α"),求证("-1)Ig(r").证明证法1因为(x-1)lg("),由因式定理得g（1"）=0,即g（1)=0,故(r-1)lg(r),于是存在多项式h（），使(r-1)h(x)=g(x)有"代，得(r"-1)h(r")= g(α")即(x"-1)lg(α")证法2”-1有n个不同的复根，即全部n次单位根α1，α2，，αn.而g(α;)=g(1)=g(1")=0,i=1,2,",n即α1,α2,",α是g(")的根,因而(a"-1)lg(r").点评证明一个多项式g()整除多项式f(z),在f()和g()的系数未具体给出时，可采用以下方法：如果g（α)无重根，且g()的复根全部都是f(）的根，则g（)lf(）.事实上，设g（）的根是α1，α2，"，αk，则可表为g()=a(α)(-αz).(-α).因f(α,)=0, i=1,2,",k.故.7