《高等代数》课程教学资源（试卷习题）2018年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。1.下列函数中不可导的是（）。A. f(x)=xsin(x)B. f(x) = xsin(/x)c. f(x) = cosxD. f(x)= cos( /风)【答案】D【解析】【解析】A可导：[x sin (Ix)x sin (Ix)x·sinxx-sinx lim=0, f(0)= lim=0f(0) = limlim0x1→0xxX→0*xB可导：[a/sin [x/sin x-sinx-x·sin -xlim=0, f(0) = limf'(0) = limlim01~0xxxx→0*x3→0~-0C可导：11Pcos|xl-1cos|x|-12f:(0) = lim0lim0,f'(o)=limlim1~01→0x→0*xx-0xxxD不可导：11cos /x-1V/xj-1cOsy2f(0) = limlimf'(o)limlim220xx→0"xx-0xx→0*xf(0) + f'(0)2.过点（1,0,0)与(0,1,0)且与z=x2+y2相切的平面方程为A.2=0与x+y-z=1B.z=0与2x+2y-z=2C. y=x与x+y-z=1D.y=x与2x+2y-z=2【答案】B【解析】因为平面过点(1,0,0)与(0,1,0)，故C、D排除

2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 ．．．指定位置上. 1.下列函数中不可导的是（ ）。 A. f x x x ( ) sin( )  B. f x x x ( ) sin( )  C. f x x ( ) cos  D. f x x ( ) cos( )  【答案】D 【解析】【解析】 A 可导：         - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                    B 可导： -     0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x                      C 可导：     2 2 - 0 0 0 0 1 1 cos -1 cos -1 2 2 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x f f x x x x                    D 不可导：           - 0 0 0 0 - 1 1 - cos -1 1 1 cos -1 2 2 0 lim lim , 0 lim lim - 2 2 0 0 x x x x x x x x f f x x x x f f                        2.过点 (1,0,0) 与 (0,1,0) 且与 2 2 z x y   相切的平面方程为 A. z  0 与 x y z   1 B. z  0 与 2 2 2 x y z    C. y x  与 x y z   1 D. y x  与 2 2 2 x y z    【答案】B 【解析】因为平面过点 (1,0,0) 与 (0,1,0) ，故 C、D 排除

曲面==x2+y"的法向量为(2x,2y,-1),因为平面过(1,0,0),则平面方程为2x(X-1)+2yY-Z=0，又因为平面过(0,1,0)，故x=y由此，取特殊值：令x-1,则法向量为(2,2,-1)，故B选项正确。2n+3Z(-1)"3.(2n +1)!n=0A. sinl+cos1B.2sin1+coslC.2sinl+2cos1D.3sin1+2cos1【答案】B.【解析】2n+32n+S(x)=(2n+1)!S(x)=2(-1)" 2n+3,(2n)!x2n+3Z(-1)(2n-1)*(2n)!n=1=0=-xsinx+3cosxS(x)= xcosx+2sin x2n+3Z(-1)"= S(1)= cos1+2sinl(2n+1)!7=0r (1+x)2d, N=J+d,K=4..M=(1+cosx)dx,则M,N,K大小关系为21+x22erA.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M【答案】C【解析】M=i(+_2x)-)dx = [ ldx1+x[-号,号时,+V/cosx≥1,所以K> M XE122令f(x)=1+x-e*,f(0)=0, f(x)=1-e元0.三时，(x)0当xe当xel元,0时，f(x)>022元元时，有(x)≤0，从可有+≤1，由比较定理得N<M,故选C所以xE222

2 2 (2 , 2 , 1), (1,0,0) 2 ( 1) 2 0 (0,1,0) z x y x y x X yY Z x y         曲面 的法向量为 因为平面过 ， 则平面方程为 ，又因为平面过 ，故 由此，取特殊值；令 x=1,则法向量为 (2,2, 1)  ，故 B 选项正确。 3. 0 2 3 ( 1) (2 1)! n n n n        A.sin1 cos1  B. 2sin1 cos1  C. 2sin1 2cos1  D. 3sin1 2cos1  【答案】B. 【解析】                             2 1 0 2 0 2 2 1 0 0 2 3 1 2 1 ! 2 3 1 2 ! 1 1 1 3 1 2 1 ! 2 ! sin 3cos cos 2sin 2 3 1 1 cos1 2sin1 2 1 ! n n n n n n n n n n n n n n n S x x n n S x x n x x n n x x x S x x x x n S n                                         4. .     2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , 1 cos , 1                    x x x M dx N dx K x dx x e 则 M N K , , 大小关系为 A. M N K   B. M K N   C. K M N   D. K N M   【答案】C 【解析】 2 2 2 2 2 2 (1 ) 1 1 , 1 cos 1, 2 2 ( ) 1 , (0) 0, ( ) 1 0, ( ) 0; ,0 ( ) 0 2 2 1 - , ( ) 0 1 N<M, C 2 2 x x x x M dx dx x x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e                                                                  时， 所以 令 当 时， 当 时， 所以 时，有 ，从可有 ，由比较定理得 故选

(110)5.下列矩阵中，与矩阵011相似的为001D110100【答案】A【解析】方法一：排除法[110特征值为1,1,1，r(E-Q)=2令0=|01001101001O2选项A：令A：A的特征值为1,1,l，r(E-A)=rLo0LO00[o1001000选项B：令B=B的特征值为1,1,1，r(E-B)=r-1Lo0000O11-1/选项C：令C0000C的特征值为1,1,1，r(E-C)=r0Lo000[o10-00选项B：令D=0=D的特征值为1,1,1，r(E-D)=rC0010001若矩阵Q与J相似，则矩阵E-Q与E-J相似，从而r（E-O)=r（E-J)，故选（A)方法二：定义法（利用初等矩阵的性质）[1 1 0]1-1 00令P=01 0010福[001]00001

5. 下列矩阵中，与矩阵 1 1 0 0 1 1 0 0 1           相似的为 A. 1 1 1 0 1 1 0 0 1            B. 1 0 1 0 1 1 0 0 1            C. 1 1 1 0 1 0 0 0 1            D. 1 0 1 0 1 0 0 0 1            【答案】A 【解析】 方法一：排除法 令 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Q            ，特征值为 1,1,1，r E Q     2 选项 A：令 1 1 1 0 1 1 0 0 1 A             ， A 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 1 2 0 0 0 r E A r                选项 B：令 1 0 1 0 1 1 0 0 1 B             ， B 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 r E B r               选项 C：令 1 1 1 0 1 0 0 0 1 C             ，C 的特征值为 1,1,1，   0 1 1 0 0 0 1 000 r E C r               选项 B：令 1 0 1 0 1 0 0 0 1 D             ， D 的特征值为 1,1,1，   0 0 1 0 0 0 1 000 r E D r              若矩阵 Q与 J 相似，则矩阵 E Q 与 E J  相似，从而 r E Q r E J        ，故选（A） 方法二：定义法（利用初等矩阵的性质） 令 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P            ， 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 P              ， 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 P P                       

10所以相似，故选（A)0006.设A,B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，（XY)表示分块矩阵，则A.r(A AB)=r(A)B.r(A BA)=r(A)D.r(A B)=r(AT B').C.r(A B)=max(r(A), r(B)).【答案】A【解析】根据矩阵的运算性质，r(E,B)=n=r(A,AB)=r[A(E,B)]=r(A),故A正确(0 0)070011,所以r(A BA)=r，则BA=若A=110r(A)=1.排除 B.(1200(1200),那么r(A B)=r(若A：4)=2,r(4)=1,r(B)=1,B-7(34)0034(o0所以C排除1000, 则 r(A B")=r(o 8 。 )-1, r(4.B)=r(Q若AB0000000100=2所以排除D.010(o7.设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1-x)，[f(x)dx=0.6，则P(X <0) =A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【答案】A.【解析】特殊值法：由已知可将f(x)看成随机变量XN(1,α2）的概率密度，根据正态分布的对称性，P(X<0)=0.2

所以 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1                      与 相似，故选（A） 6.设 AB, 为 n 阶矩阵，记 r X( ) 为矩阵 X 的秩，( ) X Y 表示分块矩阵，则 A. r A AB r A ( ) ( ).  B. r A BA r A ( ) ( ).  C. r A B r A r B ( ) max{ ( ) ( )}.  ， D. ( ) ( ). T T r A B r A B  【答案】A. 【解析】根据矩阵的运算性质， r E B n r A AB r A E B r A ( , ) ( , ) [ ( , )] ( )     ,故 A 正确. 若 0 0 0 1 A ,B 1 1 1 0               ，则 1 1 0 0 BA        ，所以 0 0 1 1 ( ) 2, 1 1 0 0 r A BA r        r A( ) 1.  排除 B.       1 2 0 0 1 2 0 0 A ,B , 2, 1, 1, 0 0 3 4 0 0 3 4 C . r A B r r A r B                         若 那么 所以 排除 若 1 0 0 0 A ,B 0 0 1 0               ， 则 1 0 0 1 ( ) 1 0000 T T r A B r        ，   , T T A r A B r B          1 0 0 0 2 0 1 0 0 r               所以排除 D. 7. 设 f x( ) 为 某 分 布 的 概 率 密 度 函 数 ， f x f x (1 ) (1 )    ，   2 0 f x dx  0.6  ， 则 P X{ 0}   A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A. 【解析】特殊值法：由已知可将 f x( ) 看成随机变量   2 X N 1, 的概率密度，根据正态分 布的对称性， P X    0 0.2

8.给定总体X~N(u,α），α已知，给定样本X,X,..",X，对总体均值u进行检验，令H=H，则A.若显著性水α=0.05时拒绝H。，则α=0.01时也拒绝H。B.若显著性水α=0.05时接受H，则α=0.01时拒绝H。C.若显著性水α=0.05时拒绝H。，则α=0.01时接受H。D.若显著性水α=0.05时接受H。，则α=0.01时也接受H。【答案】D【解析】当α=0.05时，拒绝域为≥，即≥0025(1)2(2)当α=0.01时，接受域为，即20.0052（1）包含（2），所以选项D正确二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上1-tanx、)sinkx9. lim(=e，则k=1+tanx【答案】k=-2【解析】I-tanxIn-tan xI+tanxlim(sinkx=limexpe,sinkx1+tanxx-→0-2tanx1-tanx)In(-2tanx-21+tanx=1→ lim I+ tan x = lim=limkkxr0 kx(1+ tan x)x→0sinkxx→0=k=-210.设函数f(x)具有2阶连续导数，若曲线y=f(x)过点(0,0)且与曲线y=2*在点(1,2)处相切，(x)dx=【答案】2ln2-2【解析】

8. 给定总体 2 X N~ ( , )   ， 2  已知，给定样本 1 2 , , , X X X n ，对总体均值  进行检验， 令 0 0 1 0 H H : , :       ，则 A. 若显著性水   0.05 时拒绝 H0 ，则   0.01 时也拒绝 H0 B. 若显著性水   0.05 时接受 H0 ，则   0.01 时拒绝 H0 C. 若显著性水   0.05 时拒绝 H0 ，则   0.01 时接受 H0 D. 若显著性水   0.05 时接受 H0 ，则   0.01 时也接受 H0 【答案】D 【解析】当   0.05 时，拒绝域为 2 z z   ，即 z z  0.025   1 当   0.01 时，接受域为 2 z z   ，即 z z  0.005   2 （1）包含（2），所以选项 D 正确. 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 9. 1 sin 0 1 tan lim 1 tan kx x x e  x    ( ) ，则 k _. 【答案】 k 2 . 【解析】 1 sin 0 0 0 0 0 1 tan ln( ) 1 tan 1 tan lim limexp , 1 tan sin 1 tan 2 tan ln( ) 1 tan 1 tan 2 tan 2 lim 1 lim lim 1 sin (1 tan ) 2. kx x x x x x x x x e x kx x x x x x kx kx kx x k k                                      ( ) 10.设函数 f x  具有 2 阶连续导数，若曲线 y f x  ( ) 过点 (0,0) 且与曲线 2 x y  在点 (1,2) 处相切，则 1 '' 0 xf x dx ( )   _. 【答案】 2ln 2 2  【解析】

f(0)= 0, f(I)=2, f(I)=2* ln 2/ - = 2ln2 x(x)dx= J xdr(x)=x(x)l-J x(x)dx= f"()- xr(x)dx=2ln2-f(I)+f(0)=2ln2-211.设 F(x, y,z)= xyi- yzj + zxk .则 rotF(1,1, 0) =【答案】(1,0,-1)或7-【解析】令P=xy,O=-yz,R=xz(aR_ aP_OR _aP)则rotF(0+y,0-z,0-x)=(y,-z,-x)(aydzozaxoxdy)故rotF(1,1,0)=i-k12.曲线S由x2+y?+22=1与x+y+z=0相交而成，求xyds=【答案】-元3【解析】x+y+2?=11-(x? + y)x=2x+y+z=0s=(+ds=s++)ds=ids=-313.二阶矩阵A有两个不同特征值，α,α,是A的线性无关的特征向量，且满足A(α, +α,)=(α +α,), 则|A|=【答案】-1【解析】 A (α,+α)=A'α,+A'α,=α,+α,=α,+α从而(2-1)α+(-1)α,=0：α,α无关，22-1=0,22-1=0:.4 =1,2=-1,或4 =-1,2 =1, :[4=-114.设随机事件A与B相互独立，A与C相互独立，BC=Φ，若

1 1 1 1 1 0 0 0 0 (0) 0, (1) 2, (1) 2 ln 2 2ln 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) 0 2ln 2 (1) (0) 2ln 2 2 x x f f f xf x dx xdf x xf x xf x dx f xf x dx f f                           11.设 F x y z xyi yz j zxk ( , , )    .则 rotF(1,1,0) _. 【答案】 (1,0, 1)  或 i k  【解析】令 P xy Q yz R xz     , , 则 , , (0 ,0 ,0 ) ( , , ) R Q P R Q P rotF y z x y z x y z z x x y                              故 rotF i k (1,1,0)   12.曲线 S 由 2 2 2 x y z   1 与 x y z    0 相交而成，求 xyds   _. 【答案】 3   . 【解析】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 2 1 1 2 1 [ ( )] ( ) . 2 2 3 6 3 x y z xy x y x y z xyds x y ds ds x y z ds ds                               13.二阶矩阵 A 有两个不同特征值， 1 2  , 是 A 的线性无关的特征向量，且满足 2 1 2 1 2 A ( ) ( )        ，则 A  _. 【答案】1 【解析】   2 2 2 2 2 A A A           1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 + = + = + = + 从而     2 2 1 1 2 2       1 + 1 =0 1 2  , 无关， 2 2 1 2       1 0, 1=0 1 2 1 2            1, 1, 1, 1 或 ，   A 1 14. 设 随 机 事 件 A 与 B 相 互 独 立 ， A 与 C 相 互 独立， BC= ， 若

P(A)= P(B)=,P(AC|ABUC)=, 则 P(C)=【答案】！4【解析】P(4C/ABUC)- P(4CO(ABUC)_ P(ABCUAC)_ P(LABC)+P(4C)-P(ABC)P(ABUC)P(ABUC)P(AB)+P(C)- P(ABC):BC=0,从而ABC=①P(ABC)+P(AC)-P(ABC)P(A)P(C)1P(A)P(B)+P(C) 4P(AB)+ P(C)-P(ABC)三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本题满分10分）求不定积分[e2*arctanVe-1dx[答案】 )(e*arctan Ver-1-](e'-1)- Ver-1)+C【解析】arctan er-ide?原式：(e2* arctan er-i-Jedx1+e'-1 2Jer-1oe22arctan Ve*--dx2Ver-1ee2xarctan er-1der2Ver-2* arctan Ve*-1--e*-1)-Ner-1)+Cerede',令Ve-1=t,e'=t+l,则对于242e-de*-[(+I)d=++C=(e-1+/e-1+c

1 1 ( ) ( ) , ( ) 2 4 P A P B P AC AB C     ，则 P C( ) _. 【答案】 1 4 【解析】                                              , 1 4 P AC AB C P ABC AC P ABC P AC P ABC P AC AB C P AB C P AB C P AB P C P ABC BC ABC P ABC P AC P ABC P A P C P AB P C P ABC P A P B P C                          从而 三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸 ．．．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 10 分） 求不定积分 2 arctan 1 x x e e dx   【答案】 3 2 2 1 1 ( tan 1 ( 1) 1) 2 3 x x x x e arc e e e C       【解析】   2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 arctan 1 2 1 1 ( arctan 1 ) 2 1 1 2 1 1 ( arctan 1 ) 2 2 1 1 = ( arctan 1 ) 2 2 1 1 1 = ( arctan 1 1 1) 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e de e e e e dx e e e e e dx e e e e de e e e e e C                           原式 对于 2 1 x x x e de e   ,令 2 1 , 1 x x e t e t     ，则 3 2 3 2 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 1 3 3 x x x x x e de t dt t t C e e C e             

(e*-1)2- er-1)+C(e?*arc tan Je*-1 -故原式=16.（本题满分10分）一根绳长2m截成三段，分别折成圆、三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值【答案】【解析】假设圆的半径为x，正方形边长为y，正三角形边长为Z，则有2元x+4y+3z=2,x≥0,y≥0,=≥0令(3-)x+++++(2x+4+-2)4()=++2+2(2元x+4y+32-2)4f=2元×+2元元=0ax=2y+4=0ayz+31=0z22元x+4y+3z-2=01,2,2~3求解上述方程得到，驻点为元+4+3V32V3131最小面积为，Smin元+4+3/3+4+3/3元+4+3/3元+4+3/317.（本题满分10分）x= /1-3y° -3 取正面, J xdyda+( +=)ddz+='ddy14 【答案】745【解析】x=/1-3y2-322，即x2+3y2+32?=1[3y2 +322 ≤1P=x,Q=y3+=,R=23,设Z,，方向指向x轴负半轴，x=0

故原式 3 2 2 1 1 ( tan 1 ( 1) 1) 2 3 x x x x  e arc e e e C       16.（本题满分 10 分）一根绳长 2m 截成三段，分别折成圆、三角形与正方形，这三段分别 为多长时所得面积之和最小，并求该最小值. 【答案】 【解析】假设圆的半径为 x，正方形边长为 y，正三角形边长为 z，则有 2 4 3 2, 0, 0, 0  x y z x y z       令     2 2 3 2 , , = 2 4 3 2 4 f x y z x y z x y z              2 2 3 2 , , = 2 4 3 2 4 2 2 0 2 4 0 3 3 0 2 2 4 3 2 0 f x y z x y z x y z f x x f y y f z z x y z                                             求解上述方程得到，驻点为   1 1,2,2 3  +4+3 3 最小面积为， 2 2 2 min 1 2 3 2 3 1 = +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 4 S                             . 17.（本题满分 10 分） 2 2 x y z    1 3 3 取正面，求   3 3 xdydz y z dxdz z dxdy      . 【答案】 14 45  . 【解析】 2 2 x y z    1 3 3 ，即 2 2 2 x y z    3 3 1 3 3 P x Q y z R z     , , ，设 2 2 1 3 3 1 : 0 y z x        ，方向指向 x 轴负半轴

JJxdyd+(+z)dxdz+2dxdy高斯公式[[(ldxdvdQzay42414= J][(1+3y + 32)dxdydz= J] dxdydz+6J] y' dxdydz-元+元=9"45"-4514又: J xdydz+(y° +2)dxdz +2’dxdy=0,所以原式= [[ -[[=元45S+>18.（本题满分10分）微分方程y'+y=f(x）（1）当（x)=x时，求微分方程的通解（2）当f（x)为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数【答案】[解析】(1) y'+y=x=y=e-a(J xe/dx+C)=(x-1)+Ce*(2) (x)=e-*[e'f(x)dx,由于 f(x+T)= f(x), 则(x+T)=e+)Je f(x+T)dx=e"Je*(x)dx.得证。19（本题满分10分）数列(x),x,>0,x,e=e-1,证明(x,)收敛，并求limx,【答案】limx=0【解析】(1)有界性：由x,e=e-1有e=Xn则=lne-!,设f(x)=e'-1-xX: f'(x)=e-1>0(x>0),且f(0)=0:f(x)单调递增,故(x)>0，即e-1>x(x>0)

1 3 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 4 14 (1 3 3 ) 6 9 45 45 P Q R xdydz y z dxdz z dxdy dxdydz x y z y z dxdydz dxdydz y dxdydz                                   高斯公式 又 1 3 3 xdydz y z dxdz z dxdy ( ) 0       ，所以原式 1 1 14 45          . 18. （本题满分 10 分） 微分方程 y y f x      （1）当 f x x    时，求微分方程的通解 （2）当 f x  为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数 【答案】 【解析】（1） ( ) ( 1) . dx dx x y y x y e xe dx C x Ce               （2） ( ) ( ) x x y x e e f x dx    ,由于 f x T f x ( ) ( )   ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) . x T x T x x y x T e e f x T dx e e f x dx           得证。 19. （本题满分 10 分） 数列   1 1 , 0, 1,     n n x x n n x x x e e 证明  n x 收敛，并求 lim  n n x 【答案】 lim 0. n n x   【解析】 (1) 有界性：由 1 1    n n x x n x e e 有 1 1 1 1 ln        n n n x x x n n n e e e x x x 则 1 2 1 1 ln   x e x x ,设     1 x f x e x .         1 0 0 x f x e x ,且 f   0 0   f x  单调递增,故 f x   0 ，即    1 0   x e x x

e-1在>0时大于1,故x=ln因此0XiXi同理，用数学归纳法可证之，对Vn,x，>0e-len--单调性：X1-x,=lne-Ine"=In=lnxerX.x设g(x)=er-1-xe',: g(x)=-xer显然当x>0时，g(x)<0,则g(x)单调递减，又：g(0)=0.. g(x)<g(0)=0,..e*-1<xe*xe--X, =In e*-<0,n=1,2.3. ..Xes故(x,)单调递减综上可知(x）单调递减且存在下界，limx存在(2）设limx,=a，由ae°=e°-1，可知α=020.（本题满分11分）设实二次型f(x2)=(=x+）+(+）+(+ax），其中a是参数。（1）求f(x,x2,)=0的解（2）求f(,2,)的规范形【解析】(1) : f(x,x2,x)=0,[x-x+x=01-1 1x+x=0，系数矩阵A=0C000x +ax, = 0a-2a0.21110①当a-2=0，即a=2时，r(A)=2<3,A→000

因此 1 1 1 x e x 在 1 x  0 时大于 1,故 1 2 1 1 ln 0    x e x x , 同理，用数学归纳法可证之， 对   , 0 n n x . 单调性： 1 1 1 1 ln = ln ln ln          n n n n n x x x x n n n x n n n e e e x x x e x x x e 设     1 x x g x e xe ,     x g x xe 显然当 x  0 时， g x    0, 则 g x  单调递减，又 g   0 0      1 0 0, 1 1          x x x x e g x g e xe xe 1 1 ln 0, 1,2,3,         n n x n n x n e x x n x e 故  n x 单调递减 综上可知  n x 单调递减且存在下界， lim n n x  存在. （2）设 lim  n  n x a ，由 1 a a ae e   ，可知 a  0 . 20. （本题满分 11 分） 设实二次型 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ax ( , , ) ( ) ( ) ( )        ，其中 a 是参数。 （1）求 1 2 3 f x x x ( , , ) 0  的解 （2）求 1 2 3 f x x x ( , , ) 的规范形 【解析】 （1） 1 2 3 f x x x ( , , ) 0  ， 1 2 3 2 3 1 3 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 2 x x x x x A x ax a a                                       ,系数矩阵 ①当 a   2 0 ，即 a  2 时， 1 0 2 ( ) 2 3, 0 1 1 0 0 0 r A A             