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《高等代数》课程教学资源(试卷习题)历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析(2009-2015)

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《高等代数》课程教学资源(试卷习题)历届全国大学生数学竞赛数学类试卷及解析(2009-2015)
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首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答(数学类,2009)满分:100分.考试形式:闭卷考试时间:120分钟不车二三四五六七题号总分满20151015 15分1510100得分注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记线得分(15分)求经过三平行直线L:x=y=z评阅人L,:x-1=y=z+1,L:x=y+1=z-1的圆柱面的方程封解:先求圆柱面的轴L。的方程由已知条件易知,圆柱面母线的方向是n=(11,1),且圆柱面经过点O(0,0,0),过点O(0,0,0)且垂直于n=(1,1,1)的平面元的方程为:x+y+z=0(3分)密(5分)元与三已知直线的交点分别为O(0,0,0),P(1,0,-1),9(0,-1,1)圆柱面的轴L。是到这三点等距离的点的轨迹,即x2 + y? +2? =(x-1)* + y2 +(2+1)2[x2 + y +22 = x2 +(y+1)*+(2-1)2即z=1(9分)将L,的方程改为标准方程x-1=y+1=z名姓圆柱面的半径即为平行直线x=y=z和x-1=y+1=z之间的距离,P(1,-1,0)第1页(共6页)

第 1 页( 共 6 页) 专业: 线 年级: 封 所在院校: 密 身份证号: 姓名: 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 (数学类,2009) 考试形式: 闭卷 考试时间: 120 分钟 满分: 100 分. 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 满 分 15 20 15 10 10 15 15 100 得 分 注意:1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记. 一 、( 15 分)求经过三平行直线 1 Lx y z : = = , 2 Lx y z :1 1 − = =+ , 3 Lx y z : 11 = += − 的圆柱面的方程. 解: 先求圆柱面的轴 L0 的方程. 由已知条件易知,圆柱面母线的方向是 n = (1,1,1) G , 且圆柱面经过点O(0,0,0) , 过点O(0,0,0) 且垂直于n = (1,1,1) G 的平 面π 的方程为: xyz ++= 0 . .(3 分) π 与三已知直线的交点分别为OP Q (0,0,0), (1,0, 1), (0, 1,1) − − . (5 分) 圆柱面的轴 L0 是到这三点等距离的点的轨迹, 即 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) xyz x y z xyzx y z ⎪⎧ + + =− + ++ ⎨ ⎪⎩ + + = ++ +− , 即 1 1 x z y z ⎧ − = ⎨ ⎩ − = − ,.(9 分) 将 L0 的方程改为标准方程 x −1 1 = += y z. 圆柱面的半径即为平行直线 x = y z = 和 x −1 1 = += y z 之间的距离. 0 P (1, 1,0) − 得 分 评阅人

为L上的点(12分)InxPO]有|nxPs即对圆柱面上任意一点S(x.y.=),[n][n](-y+z-1)? +(x-z -1)° +(-x+y+2) =6 ,所以,所求圆柱面的方程为:x? + y? +2?- xy- xz- yz-3x+3y = 0(15分)得分二、(20分)设Cx是nxn复矩阵全体在通常的运算下所构成(00:0-an评阅人0-a,-的复数域C上的线性空间,F=00a.:::(00:1-a,(aa2..ana2ia22.a2n(1)假设A=若AF=FA,证明:anan..a.A=a.Fn- +an-F"-2+...+a,,F+a,E;(2)求Cx"的子空间C(F)={XeCx"|FX=XF|的维数(1)的证明:记A=(α,α2,"α),M=aF"-+an-l++aF+aE.要证明M=A,只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以e,记第i个基本单位列向(2 分)量.于是,只需证明:对每个i,Me,=Ae(=α)若记β=(-an,-a-,",-a),则F=(e,e,",en,β).注意到,Fe, =e2, Fe = Fe, =e,, F"le, = F(F"-e,)= Fen- =en(*)(6分)由Me, =(amF"-I +an--F"-2 +..+a,F+a.,E)e,=anF"'e, +an-nF"-e, +...+a2,Fe, +a,Ee=anen +an-en-+ +..+azie, +arei= α, = Aer(10分)知Me,=MFe,=FMe,=FAe,=AFe =Ae,第2页(共6页)

第 2 页( 共 6 页) 为 L0 上的点. . (12 分) 对圆柱面上任意一点Sxyz (, ,), 有 0 0 | || | || || n PS n PO n n × × = G JJJG G JJJG G G , 即 22 2 ( 1) ( 1) ( 2) 6 − + − + − − +− + + = yz xz xy , 所以,所求圆柱面的方程为: 2 22 x y z xy xz yz x y ++−−−−+ = 33 0 . . (15 分) 二、(20 分)设 n n C × 是n n × 复矩阵全体在通常的运算下所构成 的复数域C 上的线性空间, 1 2 1 00 0 10 0 01 0 00 1 n n n a a F a a − − ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − = − ⎝ ⎠ − # # # # ### # # . (1)假设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ " " """" " ,若 AF FA = ,证明: 1 2 1 11 21 11 n n A aF a F aF aE n n − − = + ++ + − " ; (2)求 n n C × 的子空间 () | { } n n C F X C FX XF × =∈ = 的维数. (1)的证明:记 1 2 (, , , ) A = α α α " n , 1 2 1 11 21 11 n n M n n aF a F aF aE − − = + ++ + − " .要证明 M = A,只需证明 A与 M 的各个列向量对应相等即可.若以 i e 记第i 个基本单位列向 量.于是,只需证明:对每个i , ( ) Me Ae i ii = =α . . (2 分) 若记 1 1 ( , , )T n n β aa a =− − − − " ,则 2 3 (, ,) F ee e = " n β .注意到, 2 12 12 1 23 1 1 1 , , ( ) n n Fe e F e Fe e F e F F e Fe e n n − − = == = = = " − (*) . (6 分) 由 1 2 1 1 11 21 11 1 1 2 1 1 11 1 21 1 11 1 1 11 1 21 2 11 1 1.(10 ( ) n n n n n n n n nn n n Me a F a F a F a Ee a F e a F e a Fe a Ee ae a e ae ae α Ae − − − − − − − − 1 = + ++ + = + + + + = + + + + = = " " " 分) 知M 2 1 1 1 12 e MFe FMe FAe AFe Ae = = === 得 分 评阅人

1Me, = MF’e = F2Me, = F2 Ae, = AFe, = Ae,Me, = MF"-le = F"-'Me, = F"- Ae, = AF"-le, = Ae.所以,M=A.(14分)(2)解:由 (1), C(F)=span(E,F,F2,,F"l)(16分)不车设xE+xF+x,F2++-F"-=O,等式两边同右乘e,利用(*)得+x0=Oe, =(xE+x,F+x,F?+.+X--F")e=xEe +xFe +x,Fe+.+x.,Fnle.(18分)= xe, +xe, +xe, +..+xnle..因ee2,ese,线性无关,故,x=x,=x,=..=--=0.(19分)线所以,E,F,F,,F""线性无关.因此,E,F,F”,F"-是C(F)的基,特别地,1dimC(F)=n(20分)得分三、(15分)假设V是复数域c上n维线性空间(n>0),f,g封评阅人是V上的线性变换.如果fg-gf=f,证明:f的特征值都是0,且f,g有公共特征向量密证明:假设是于的特征值,W是相应的特征子空间,即W=(neVIf(n)=n).于是,W在f下是不变的.(1分)下面先证明,2=0.任取非零neW,记m为使得n.g(n),g(n),,g"(n)线性相关的最小的非负整数,于是,当0<i≤m-1时,n.g(n),g(n),,g(n)线性无关..(2分)0≤i≤m-1时令w,=span(n,g(n),g"(n),,g*(n)),其中,W。={0).因此,dimW,=i(1≤i≤m),并且,Wm=Wm+=Wm2显然,g(W)cW,特别地,Wm在g下是不变的.(4分)下面证明,W在f下也是不变的.事实上,由f(n)=n,知名fg(n)= gf(n)+ f(n)= g(n)+ n ....(5分)姓第3页(共6页)

第 3 页( 共 6 页) 专业: 线 年级: 封 所在院校: 密 身份证号: 姓名: 22 2 2 M 3 1 1 1 13 e MF e F Me F Ae AF e Ae = = === """"" 11 1 1 1 111 nn n n M n n e MF e F Me F Ae AF e Ae −− − − = = === 所以,M = A. . (14 分) (2)解: 由(1), 2 1 () {, , , , } n C F span E F F F − = " ,. (16 分) 设 2 1 012 1 n n x E xF xF x F O − + + ++ = " − ,等式两边同右乘 1e ,利用(*)得 2 1 10 1 2 1 1 ( ) n θ Oe x E x F x F x F e n − = = + + ++ " − 2 1 01 11 2 1 1 1 01 12 23 1 .(18 n n n n x Ee x Fe x F e x F e xe xe xe x e − − − = + + ++ = + + ++ " " 分) 因 123 , , n eee e " 线性无关,故, 012 1 0 n xxx x = === = " − .(19 分) 所以, 2 1 , , , n EFF F " − 线性无关.因此, 2 1 , , , n EFF F " − 是C F( ) 的基,特别地, dim ( ) CF n = . .(20 分) 三、(15 分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间(n > 0 ),f , g 是V 上的线性变换.如果 fg gf f − = ,证明: f 的特征值都是 0,且 f , g 有公共特征向量. 证 明 :假设 λ0 是 f 的特征值, W 是相应的特征子空间,即 W Vf =∈ = {η | () η λη0 }.于是,W 在 f 下是不变的. .(1 分) 下面先证明,λ0 =0.任取非零η ∈W ,记m 为使得 2 , ( ), ( ), , ( ) m η gg g ηη η " 线性相关的 最小的非负整数,于是,当0 1 ≤ i m≤ − 时, 2 , ( ), ( ), , ( ) i η gg g ηη η " 线性无关.(2 分) 0 1 ≤≤ − i m 时令 2 1 { , ( ), ( ), , ( )} i W span g g g i η ηη η − = " ,其中, 0 W = { }θ .因此,dimW i i = (1≤ ≤i m),并且,WW W mm m = + + 1 2 = =". 显然, 1 ( )i i gW W⊆ + ,特别地,Wm在 g 下 是不变的. .(4 分) 下面证明,Wm在 f 下也是不变的.事实上,由 0 f ( ) η = λ η ,知 0 0 fg gf f g () () () () η = η η λ η λη += + .(5 分) 得 分 评阅人

fg(n) = gfg(n)+ fg(n)=g(g(n)+)+(g(n)+n)= g(n)+2g(n)+2on.(6分)根据fg*(n) = gfgk-l(n)+ fgt-l(n)= g(fg*-l)(n)+ fg*-l(n)用归纳法不难证明,fg(n)一定可以表示成n,g(n),g(n),,g*(n)的线性组合,且表示式中g(n)前的系数为(8分)因此,W在f下也是不变的,f在W上的限制在基n,g(n),g(n),,g"-(n)下的矩阵是上三角矩阵,且对角线元素都是,因而,这一限制的迹为m.…(10分)由于fg-gf=f在Wm上仍然成立,而fg-gf的迹一定为零,故mg=0,即2, =0.(12分)任取neW,由于 f(n)=,fg(n)=gf(n)+f(n)=g(0)+f(n)=0,所以,g(n)eW.因此,W在g下是不变的.从而,在W中存在g的特征向量,这也是f.g的公共特征向量(15分)得分四、(10分)设(f.(x))是定义在[a,b]上的无穷次可微的函数序评阅人列且逐点收敛,并在[a,b]上满足f,(x)≤M.(1)证明(f,(x))在[a,b]上一致收敛;(2)设f(x)=limf,(x),问f(x)是否一定在[a,b]上处处可导,为什么?证明:(1)Ve>0,将区间[a,b]K等分,分点为x,=a+b=,j=0,12,K,使K得b-an>N,K使得m(x)-f.(x)<对每个j=0,1,2,,K成立(3分)于是Vxe[a,b],设xe[x,xl],则If.(x)-f.(x)≤f.(x)-fm(x)+f.(x)-f.(x)+f.(x,)-f.(x)第4页(共6页)

第 4 页( 共 6 页) 2 0 00 0 2 0 00 .(6 () () () ( () ) ( () ) () 2 () fg gfg fg gg g g g η ηη λ η λη λ η λη λ η λ η λη = + = + + + = + + 分) 根据 1 1 1 1 () () () ( )( ) ( ) kk k k k fg gfg fg g fg fg η ηη η η − − − − = + = + 用归纳法不难证明, ( ) k fg η 一定可以表示成 2 , ( ), ( ), , ( ) k η gg g ηη η " 的线性组合,且 表示式中 ( ) k g η 前的系数为λ0 . . (8分) 因此,Wm在 f 下也是不变的, f 在Wm上的限制在基 2 1 , ( ), ( ), , ( ) m η gg g ηη η " − 下的 矩阵是上三角矩阵,且对角线元素都是λ0 ,因而,这一限制的迹为mλ0 . .(10 分) 由于 fg gf f − = 在Wm 上仍然成立,而 fg gf − 的迹一定为零,故 0 mλ = 0 ,即 λ0 =0. . (12 分) 任取η ∈W ,由于 f ( ) η = θ , fg gf f g f () () () () () η = η η θ ηθ +=+= ,所以, g W ( ) η ∈ .因此,W 在 g 下是不变的.从而,在W 中存在 g 的特征向量,这也是 f , g 的 公共特征向量. . (15 分) 四、(10 分)设{ fn ( ) x }是定义在[a b, ]上的无穷次可微的函数序 列且逐点收敛,并在[a b, ]上满足 '( ) nf x M≤ .(1)证明{ fn ( ) x } 在[a b, ]上一致收敛;(2)设 ( ) lim ( ) n n f x fx →∞ = ,问 f ( ) x 是否一定在[a b, ]上处处可导,为什 么? 证明:(1)∀ > ε 0 ,将区间[a b, ] K 等分,分点为 ( ), 0,1,2, , j jb a x a jK K − =+ = " ,使 得 b a K ε − > mnN , 使得 () () mj nj f x fx − < ε 对每个 j = 0,1,2, , " K 成立. . (3 分) 于是∀ ∈x [,] a b ,设 1 [, ] j j x x x ∈ + ,则 () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () m n m mj mj nj nj n f x fx f x f x f x fx fx fx −≤ − + − + − , 得 分 评阅人

=()(x-x)+.(x)-f.(x)+. ()(x-x)<(2M+1)... (5分)(2)不一定(6分)+,则(x)=lim J,()在[a,b]上不能保证处处可导.(10分)令 fn(x)=得分证明之发不车sinn五、(10分)设adtsint"an评阅人散sinntinn解:(3分)dt=I, +I,sintsinsin元n(5分)2n线rddi<dt=-(7分)2tSin元(n2)元n(8分)88封1因此!由此得到之六发散(10分)a,元nn=i an密得分六、(15分)(x,J)是((x,y)/x+≤1)上二次评阅人连续可微函数,满足%+%=x,计算ax?"ay?积分afaf1dxdyx?+y? axYx?+ y? ay解:采用极坐标x=rcose.y=rsine,则(f dy- dx[cos0.%+sin0.%]rde =.(6分)=lddaxOxOyay名-(s()..(10分)姓第5页(共6页)

第 5 页( 共 6 页) 专业: 线 年级: 封 所在院校: 密 身份证号: 姓名: '( )( ) ( ) ( ) '( )( ) m j mj nj n j = −+ − + − f ξ η xx f x fx f xx ,由此得到 1 1 n n a ∞ = ∑ 发散. .(10 分) 六、(15 分) f (, ) x y 是{ } 2 2 ( , )| 1 xy x y + ≤ 上二次 连续可微函数,满足 2 2 2 2 2 2 f f x y x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ ,计算 积分 2 2 x y 1 22 22 xf yf I dxdy xy xy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ + + ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∫∫ . 解: 采用极坐标 xr yr = cos , sin θ = θ ,则 1 2 0 0 cos sin f f I dr rd x y π θ θ θ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = ⋅+ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ 2 22 1 0 xyr f f dr dy dx x y + = ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫ .(6 分) 2 22 1 2 2 0 xyr f f dr dxdy x y + ≤ ⎛ ⎞ ∂ ∂ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∫ ∫∫ 2 22 ( ) 1 2 2 0 xyr dr x y dxdy + ≤ = ∫ ∫∫ . (10 分) 得 分 评阅人 得 分 评阅人

-J,dr]'p'dpf2"cos sin' edo=-(15分168得分七、(15分))假设函数F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,评阅人过点A(O,f(O)),与点B(I,f(1)的直线与曲线y=f(x)相交于点C(c,f(c),其中0<c<1.证明:在(O,1)内至少存在一点,使f()=0证明:因为(x)在[0,c]上满足Lagrange中值定理的条件,故存在5,e(0,c),使 F(s)= I(c)- f(0)(4分)c-0由于C在弦AB上,故有(c)- f(O) _ )- T()= f()- f(0)(7分)c-01-0从而 F(5)=f(1)-f(0),(8分)同理可证,存在,(c,1),使f(5)=f(U)-f(O)(11分)由f(5)=f(52),知在[5,5]上(x)满足Rolle定理的条件,所以存在5e(5, 5)c(0, 1), 使 f"(E)=0(15分)第6页(共6页)

第 6 页( 共 6 页) 1 2 5 22 00 0 cos sin 168 r dr d d π π = = ρ ρ θ θθ ∫∫ ∫ . .(15 分) 七、(15 分))假设函数 () f x 在 [0, 1]上连续,在(0, 1) 内二阶可导, 过点 (0, (0)) A f ,与点 (1, (1)) B f 的直线与曲线 () y = f x 相交于点 Cc f c ( , ( )),其中 0 1 < <c . 证明:在 (0, 1) 内至少存在一点 ξ ,使 () 0 f ′′ ξ = . 证明:因为 f ( ) x 在 [0, ] c 上满足 Lagrange中值定理的条件,故存在 1 ξ ∈(0, ) c , 使 1 ( ) (0) ( ) 0 f c f f c ξ − ′ = − . . (4 分) 由于 C 在弦 AB 上,故有 ( ) (0) (1) (0) 0 10 f cf f f c − − = − − = f (1) (0) − f . . (7 分) 从而 1 f ′( ) (1) (0) ξ = − f f . . (8分) 同理可证,存在 2 ξ ∈( , 1) c ,使 2 f ′( ) (1) (0) ξ = f f − . .(11 分) 由 1 2 f f ′ ′ () () ξ = ξ , 知 在 1 2 [, ] ξ ξ 上 f ′( ) x 满 足 Rolle 定理的条件,所以存在 1 2 ξ ξξ ∈ ⊂ ( , ) (0, 1) ,使 f ′′() 0 ξ = . .(15 分) 得 分 评阅人

第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案(数学类)一、(10分)设e(0,1),o=a,n+1=a+esinn(n=0,1,2,...).证明:E=liman存在,且为方程-esin=a的唯一根证明:注意到[(sinr)=|cos|<1,由中值定理,我们有sin-sinyl≤[r-yl,Vr,yeR..(2分)所以[En+2 - En+il =[e(sin n+1 - sin an)| ≤ e|rn+1 - nl,n=0,1,2,..(4分)从而可得[En+1 - n/ ≤ e"|c1 - o],Vn= 0,1,2,....于是级数(En+1-an)绝对收敛,从而S=limEn存在2(6分)对于递推式n+1=a+esinn两边取极限即得为-sin=a的根..(8分)进一步,设n也是-esin=a,即n-sinn=a的根,则=sinsinl所以由 E(O,1)可得 n=.即-sin=a的根唯一.证毕.(10分)口30100二、(15分)设B=证明X2=B无解这里X为三阶未知002010000复方阵第1页(共8页)

13¥IŒÆ)êÆ¿mýmÁòë‰Y (êÆa) !(10©)  ε ∈ (0, 1), x0 = a, xn+1 = a + ε sin xn (n = 0, 1, 2, . . .). y²: ξ = lim n→+∞ xn 3, … ξ § x − ε sin x = a Š. y²: 5¿ |(sin x) 0 | = | cos x| ≤ 1, d¥Š½n, ·‚k |sin x − sin y| ≤ |x − y|, ∀ x, y ∈ R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ©) ¤± |xn+2 − xn+1| = |ε(sin xn+1 − sin xn)| ≤ ε|xn+1 − xn|, n = 0, 1, 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ©) l Œ |xn+1 − xn| ≤ ε n |x1 − x0|, ∀ n = 0, 1, 2, . . . . u´?ê X∞ n=0 (xn+1 − xn) ýéÂñ, l ξ = lim n→+∞ xn 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 ©) éu4íª xn+1 = a + ε sin xn ü>4= ξ  x − ε sin x = a Š. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8 ©) ?Ú,  η ´ x − ε sin x = a, = η − ε sin η = a Š, K |ξ − η| = ε|sin ξ − sin η| ≤ ε|ξ − η|. ¤±d ε ∈ (0, 1) Œ η = ξ. = x − ε sin x = a Š. y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(10 ©) ✷ !(15 ©)  B =   0 10 30 0 0 2010 0 0 0   . y² X2 = B Ã), ùp X n™ E . 11 (  8)

证明:反证法.设方程有解,即存在复矩阵A使得A2=B(2分)我们注意到B的特征值为0,且其代数重数为3.(4分)设入为A的一个特征值,则入2为B的特征值.所以入=0.从而A的特征值均为0.(6分)000010或于是A的Jordan标准型只可能为Ji:000J20000000012(10分)从而A2的Jordan标准型只能为J==或J2=.(12 分)因此A2的秩不大于1,与B=A2的秩为2矛盾所以X?=B无解.证毕(15分)口三、(10分)设DCR2是凸区域,函数f(a,y)是凸函数.证明或否定:f(a,y)在D上连续注函数f(z,y)为凸函数的定义是αE(0,1)以及(r1,yi),(r2,y2)D,成立f(αri + (1 - α)r2,αyi + (1 -α)y2) 0以及[o-,o+]上的一元凸函数g()容易验证(ro-8,o+):g(ro) - g(ro -d) < 9(a) - g(ro) < g(ro +) - g(ro)8dc-to第2页(共8页)

y²: ‡y{. §k), =3EÝ A ¦ A2 = B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ©) ·‚5¿ B AŠ 0, …Ùê­ê 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ©)  λ  A ‡AŠ, K λ 2  B AŠ. ¤± λ = 0. l A AŠ þ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 ©) u´ A  Jordan IO.ŒUJ1 =   0 0 0 0 0 0 0 0 0   , J2 =   0 1 0 0 0 0 0 0 0   ½ J3 =   0 1 0 0 0 1 0 0 0   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(10 ©) l A2  Jordan IO.U J1 = J 2 1 = J 2 2 ½ J2 = J 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(12 ©) Ïd A2 ØŒu 1, † B = A2  2 gñ. ¤± X2 = B Ã). y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(15 ©) ✷ n!(10 ©)  D ⊂ R2 ´à«, ¼ê f(x, y) ´à¼ê. y²½Ä½: f(x, y) 3 D þëY. 5: ¼ê f(x, y) à¼ê½Â´ ∀ α ∈ (0, 1) ±9 (x1, y1),(x2, y2) ∈ D, ¤á f(αx1 + (1 − α)x2, αy1 + (1 − α)y2) ≤ αf(x1, y1) + (1 − α)f(x2, y2). y²: (ؤá. ·‚©üÚy²(Ø. (i) éu δ > 0 ±9 [x0 − δ, x0 + δ] þà¼ê g(x), N´y ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ): g(x0) − g(x0 − δ) d ≤ g(x) − g(x0) x − x0 ≤ g(x0 + δ) − g(x0) δ . 12 (  8)

(2分)yTTo-Sco+oTToT从而g() -g(ro)1[g(ro+) -g(ro)g(ro) -g(o-)Vr e (ro-s,ro+o).dT由此即得g(r)在o连续。一般地,可得开区间上的一元凸函数连续(4分)(i)设(ro,yo)ED.则有8>0使得Es= [ro -, ao +d] × [yo -o, yo +d] c D.(5分)注意到固定或y时,f(a,y)作为一元函数都是凸函数,由(i)的结论f(o),f(o+),f(o-)都是[ro-,o+上的连续函数,从而它们有界,即存在常数Ms>0使得If(r, yo +) -f(r, yo)/If(r,yo) -f(r, yo -)lIf(ro + 8, yo) - f(ro, yo)l + If(ro, yo) - f(ro - 8, yo)00≤Ms,Vae[ro-8,ro+d].第3页(共8页)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ©) x y x0 − δ x x x 0 x0 + δ l ¯ ¯ ¯ g(x) − g(x0) x − x0 ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ g(x0 + δ) − g(x0) δ ¯ ¯ ¯+ ¯ ¯ ¯ g(x0) − g(x0 − δ) δ ¯ ¯ ¯, ∀ x ∈ (x0−δ, x0+δ). dd= g(x) 3 x0 ëY. „/, Œm«mþà¼êëY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ©) (ii)  (x0, y0) ∈ D. Kk δ > 0 ¦ Eδ ≡ [x0 − δ, x0 + δ] × [y0 − δ, y0 + δ] ⊂ D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (5 ©) 5¿½ x ½ y ž, f(x, y) Š¼êÑ´à¼ê, d (i) (Ø, f(x, y0), f(x, y0 + δ), f(x, y0 − δ) Ñ´ x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] þëY¼ê, l §‚ k., =3~ê Mδ > 0 ¦ |f(x, y0 + δ) − f(x, y0)| δ + |f(x, y0) − f(x, y0 − δ)| δ + |f(x0 + δ, y0) − f(x0, y0)| δ + |f(x0, y0) − f(x0 − δ, y0)| δ ≤ Mδ, ∀ x ∈ [x0 − δ, x0 + δ]. 13 (  8)

.(7分)进一步,由(i)的结论,对于(a,y)eEs,If(r,y) -f(ro, yo)l≤ If(r, y) - f(c, yo)/ + If(r, yo) -f(o, yo)(lf(,o+)-f(yo)/if(,o)-f(o-)-yo(If(ro + 8, o) - f(ro, yo)I + If(ro, o) - f(ro -0, yo))-2odS≤ Msly-yol + Mslr-rol.于是f(r,y)在(co,yo)连续.证毕(10分)口四、(10分)设f(r)在[0,1]上Riemann可积,在a=1可导,f(1)=0,f(1)=a.证明:lim nanf(r)dr = -a.证明: 记 M = sup If(r)/ 0,s(o,1),使得当<≤1时,Jr()/ ≤e(1 - r)..(2分)我们有"f(a)dr =r"f(a)dr +ar"(r - 1) dr +r"r(r)daR+R+R3.(4分)注意到n+1[Ri] ≤]n+1n+1on+2aR2=n+ 1n+2(n+1)(n+2)第4页(共8页)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7 ©) ?Ú, d (i) (Ø, éu (x, y) ∈ Eδ, |f(x, y) − f(x0, y0)| ≤ |f(x, y) − f(x, y0)| + |f(x, y0) − f(x0, y0)| ≤ ³|f(x, y0 + δ) − f(x, y0)| δ + |f(x, y0) − f(x, y0 − δ)| δ ´ |y − y0| + ³|f(x0 + δ, y0) − f(x0, y0)| δ + |f(x0, y0) − f(x0 − δ, y0)| δ ´ |x − x0| ≤ Mδ|y − y0| + Mδ|x − x0|. u´ f(x, y) 3 (x0, y0) ëY. y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(10 ©) ✷ o!(10 ©)  f(x) 3 [0, 1] þ Riemann ŒÈ, 3 x = 1 Œ, f(1) = 0, f 0 (1) = a. y²: lim n→+∞ n 2 Z 1 0 x n f(x) dx = −a. y²: P M = sup x∈[0,1] |f(x)| 0, ∃ δ ∈ (0, 1), ¦  δ < x ≤ 1 ž, |r(x)| ≤ ε(1 − x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 ©) ·‚k Z 1 0 x n f(x) dx = Z δ 0 x n f(x) dx + Z 1 δ axn (x − 1) dx + Z 1 δ x n r(x) dx = R1 + R2 + R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4 ©) 5¿ |R1| ≤ M Z δ 0 x n dx = M δ n+1 n + 1 , R2 = − a (n + 1)(n + 2) + a ³ δ n+1 n + 1 − δ n+2 n + 2 ´ 14 (  8)

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