《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.6 可对角化的矩阵

7.6可对角化的矩阵一、内容分布7.6.1可对角化的定义7.6.2本征向量的线性关系7.6.3可对角化的判定7.6.4矩阵对角化的方法及步骤二、重点、难点可对角化的判断与计算

7.6可对角化的矩阵 一、内容分布 7.6.2 本征向量的线性关系 二、重点、难点 可对角化的判断与计算 7.6.3 可对角化的判定 7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤 7.6.1 可对角化的定义

7.6.1可对角化的定义设?是数域F上n（n≥1）维向量空间V的一个线性变换.如果存在的一个基，使得关于这个基的矩阵是对角矩阵1）那么就说?可以对角化

7.6.1 可对角化的定义 设σ是数域F上n(n≥1)维向量空间V的一个线性变换.如果 存在V的一个基,使得σ关于这个基的矩阵是对角矩阵 那么就说σ可以对角化. 1 2 00 0 000 0 00 n λ λ λ     Λ =         (1)

设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F上一个n阶可逆矩阵T，使得T-1AT具有对角形式（1）则说矩阵A可以对角化由7.4看到，n维向量空间V的一个线性变换可以对角化相当于说，在V中存在由?的本征向量所组成的基

设A是数域F上一个n阶矩阵，如果存在F上一个n阶可逆 矩阵T，使得T -1AT具有对角形式(1),则说矩阵A可以对角化. 由7.4看到,n维向量空间V的一个线性变换σ可以对角 化相当于说,在V中存在由σ的本征向量所组成的基

7.6.2本征向量的线性关系定理7.6.1令?是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果2分别是的属于互不相同的本征值入，2，入的本征向量，那么线性无关证对n用数学归纳法当n=1时定理成立.因为本征向量不等于零.设n>1并且假设对于n-1来说定理成立现在设入12入是的两两不同的本征值，是属于本征值入的本征向量(2)o()=1,5=1,2,n如果等式

7.6.2 本征向量的线性关系 定理7.6.1 令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换.如果ξ1 ξ2,⋯,ξn分别是σ的属于互不相同的本征值λ1 ,λ2,⋯, λn的本征 向量，那么ξ1 ,ξ2,⋯,ξn线性无关. 当n=1时,定理成立.因为本征向量不等于零.设n>1并且假设 对于n-1来说定理成立.现在设λ1,λ2,⋯, λn是σ的两两不同的本征 值, ξi 是属于本征值λi 的本征向量: 证 对n用数学归纳法 (2) σ(ξi ) =λi ξi , i=1,2, ⋯n . 如果等式

(3)ai5i+a252+..+ann=0,a,EF成立，那么以入，乘（3）的两端得(4)aiansitaaanE2+...tanEn=0另一方面，对（3）式两端施行线性变换.注意到等式（2）有(5)aiai5i+a1252+...+anansn=0(5)式减(4)式得ai(a1-An)5i+a2(a2-n)52 +...+an-1(an-1-an)En-1 =0.根据归纳假设，2-线性无关，所以由上式得a,(a,-^n)=0, i=-1,2, "",n但入112入两两不同，所以aa2.=an-1-0.代入（3）因为0所以a=0.这就证明了，线性无关

成立,那么以λn乘(3)的两端得 另一方面,对(3)式两端施行线性变换σ,注意到等式(2),有 (5)式减(4)式得 根据归纳假设, ξ1,ξ2,⋯,ξn-1线性无关,所以由上式得 但λ1,λ2,⋯,λn两两不同,所以a1 =a2= ⋯=an-1=0.代入(3),因为ξn≠0, (3) a1ξ1+a2ξ2 +⋯+anξn =0,ai ∈F (4) a1λnξ1+a2λnξ2 +⋯+anλnξn =0. (5) a1λ1ξ1+a2λ2ξ2 +⋯+anλnξn =0. a1(λ1-λn )ξ1+a2(λ2-λn ) ξ2 +⋯+an-1(λn-1-λn )ξn-1 =0. ai (λi -λn ) =0, i=1,2, ⋯,n . 所以an=0.这就证明了ξ1 ,ξ2,⋯,ξn线性无关

由定理7.3.1可以得到以下推论7.6.1设是数域F上向量空间V的一个线性变换，^，^2，入，是的互不相同的本征值.又设，iis是属于本征值入，的线性无关的本征向量，"1,2,…,t,那么向量1…1s,线性无关证注意这样一个事实，的属于同一本征值入的本征向量的非零线性组合仍是?的属于本征值的一个本征向量现在设存在F中的数a11,,a1s",ai,",as,使得asin +a.s,. i,.+an.n+.+as,s=

推论7.6.1 设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换,λ1 λ2, ⋯, λt 是σ的互不相同的本征值.又设ξi 1 ,ξi 2 ,⋯,ξisi 是属于本征值λi 的 线性无关的本征向量,i=1,2, ⋯,t,那么向量ξ11, ⋯,ξ1s1 ⋯,ξt1,⋯,ξtst 线性无关. 由定理7.3.1可以得到以下 证 注意这样一个事实, σ的属于同一本征值λ的本征向量的非 零线性组合仍是σ的属于本征值λ的一个本征向量. 现在设存在F中的数a11, ⋯,a1s1 ⋯,at1,⋯,atst ,使得 a11ξ11+ ⋯+a1s1 ξ1s1 +⋯+at1ξt1+⋯+atst ξtst = 0

令 n;=ai5i+.+ais,sisi则1+..+n=0由上面的事实，如果某一n0则n是的属于本征值入的本征向量因为入22，入，互不相同，所以由定理7.6.1，必须所有=0,1,2,..即ain5in+.+ais,5is,=0, i-1,2, ,t然而i线性无关，所以ai=.=ais,=0, i=1,2, .,t即1,线性无关

令 ηi =ai1ξi1+⋯+aisi ξisi 则 η1+⋯+ηt =0 由上面的事实,如果某一ηi ≠0,则ηi 是σ的属于本征值λi 的本征 向量.因为λ1 λ2, ⋯, λt 互不相同,所以由定理7.6.1,必须所有ηi =0 , i=1,2, ⋯,t.即 然而ξi1,⋯,ξisi 线性无关,所以 即ξ11, ⋯,ξ1s1 ⋯,ξt1,⋯,ξtst 线性无关. ai1=⋯=aisi =0, i=1,2, ⋯,t ai1ξi1+⋯+aisi ξisi =0, i=1,2, ⋯,t

推论7.6.2令c是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如果o的特征多项式f（x）在F内有n个单根，那么存在V的一个基，使?就关于这个基的矩阵是对角形式，证这时的特征多项式f(x）在F[x]内可以分解成为线性因式的乘积f.(x)=(x-11(x-12) .(x-1n)入EF且两两不同.对于每一个入，选取一个本征向量，1,2，n由定理7.6.1，5线性无关，因而构成V的一个基.c关于0这个基的矩阵是福0

推论7.6.2 令σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，如 果σ的特征多项式fσ(x)在F内有n个单根，那么存在V的一个基， 使σ就关于这个基的矩阵是对角形式. 证 这时σ的特征多项式fσ(x)在F[x]内可以分解成为线性因式 的乘积 λi ∊F且两两不同.对于每一个λi ,选取一个本征向量ξi , i=1,2, ⋯n 由定理7.6.1, ξ1 ,ξ2,⋯,ξn线性无关,因而构成V的一个基. σ关于 这个基的矩阵是 fσ(x)=(x-λ1)(x-λ2) ⋯(x-λn) 1 2 00 0 000 0 00 n λ λ λ     Λ =        

和推论7.6.2平行，用矩阵的说法是推论7.6.3令A是数域F上一个n阶矩阵，如果A的特征多项式f(x）在F内有n个单根，那么存在一个n阶可逆矩阵T，使T-1AT具有对角形式（1）

推论7.6.3 令A是数域F上一个n阶矩阵,如果A的特征多项式 fA(x)在F内有n个单根,那么存在一个n阶可逆矩阵T,使T -1AT具 有对角形式(1). 和推论7.6.2平行,用矩阵的说法是

7.6.3可对角化的判定定义设?是数域F上向量空间V的一个线性变换，入是的一个本征值.令V,=1EEV0()-1C)则有V，=ker(at-o）i，因而是V的一个子空间.这个子空间叫做o的属于本征值入的本征子空间V，中每一非零向量都是?的属于本征值入的本征向量设那么-即因而在之下不变

定义 设σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，λ是σ的一个 本征值.令 Vλ={ξ∈V |σ(ξ)=λξ} 则有Vλ =ker(λι-σ)},因而是V的一个子空间. 这个子空间叫做σ的 属于本征值λ的本征子空间. Vλ 中每一非零向量都是σ的属于本 征值λ的本征向量. 7.6.3 可对角化的判定 设ξ∈Vλ,那么σ(σ(ξ))=σ(λξ)=λσ(ξ),即σ(ξ) ∈Vλ,因而Vλ在σ之下不 变