《高等代数》课程教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.5 本征值和本征向量

7.4本征值和本征向量一、内容分布7.5.1线性变换的本征值和本征向量的定义7.5.2矩阵的特征值和特征向量的定义7.5.3特征值和特征向量的计算方法7.5.4矩阵特征值和特征向量的性质二、重点、难点矩阵的特征值和特征向量的求法及性质

7.4 本征值和本征向量 一、内容分布 7.5.2 矩阵的特征值和特征向量的定义 二、重点、难点 矩阵的特征值和特征向量的求法及性质 7.5.3 特征值和特征向量的计算方法 7.5.4 矩阵特征值和特征向量的性质 7.5.1 线性变换的本征值和本征向量的定义

7.5.1线性变换的本征值和本征向量的定义设V是数域上F一个向量空间，c是V的一个线性变换定义设入是F中一个数.如果存在V中非零向量，使得（1）0那么就叫做的一个本征值，而叫做的属于的本征值入的一个本征向量显然如果是?的属于本征值入的一个本征向量那么对于任意aEF都有a）=ao=a=a这样，如果是的一个本征向量.那么由所生成的一维子空间UaaEF在之下不变；反过来，如果V的一个一维子空间U在?之下不变，那么U中每一个非零向量都是?的属于同一本征值的本征向量

7.5.1 线性变换的本征值和本征向量的定义 设V是数域上F一个向量空间,σ是V的一个线性变换. 定义 设λ是F中一个数.如果存在V中非零向量ξ,使得 (1) σ(ξ)=λξ . 那么λ就叫做σ的一个本征值,而ξ叫做σ的属于的本征值λ的一 个本征向量. 显然,如果ξ是σ的属于本征值λ的一个本征向量,那么对于 任意a∈F,都有 σ(aξ) =aσ(ξ)=aλξ =λ(aξ) .这样,如果ξ是σ的一个 本征向量.那么由ξ所生成的一维子空间U={aξ|a∈F}在σ之下 不变; 反过来,如果V的一个一维子空间U在σ之下不变,那么U中每 一个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量

例1令H是V的一个过原点的平面，而是把V的每一个向量变成这个向量在H上的正射影的线性变换.那么H中每一个非零向量都是?的属于本征值1的本征向量而过原点与平面垂直的直线上每一个非零向量都是?的属于本征值0的本征向量例2令D表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数所成的向量空间.S:f(x）一f（x）是求导运算.S是D的一个线性变换.对于每一实数a，我们有（eax）=1ex所以任何实数入都是的本征值，而ex是属于入的一个本征向量例3令Fx是数域F上一切一元多项式所成的向量空间，容易验证x）一xf（x）是Fxl的一个线性变换.比较次数可知对于任何aEF都不存在非零多项式x），使得xf(x）=f(x）因此o没有本征值

例1 令H是V3的一个过原点的平面,而σ是把V3的每一个向 量变成这个向量在H上的正射影的线性变换.那么H中每一个 非零向量都是σ的属于本征值1的本征向量,而过原点与平面垂 直的直线上每一个非零向量都是σ的属于本征值0的本征向量. 例3 令F[x]是数域F上一切一元多项式所成的向量空间,容易 验证σ :f(x) ⟼xf (x)是F[x]的一个线性变换.比较次数可知,对于 任何λ∈F,都不存在非零多项式f(x),使得xf (x) =λf (x),因此σ没有 本征值. 例2 令D表示定义在全体实数上的可微分任意次的实函数 所成的向量空间. δ:f (x)⟼f ʹ (x)是求导运算. δ是D的一个线性 变换.对于每一实数λ,我们有δ (eλx )=λeλx ,所以任何实数λ都是δ的 本征值,而eλx 是属于λ的一个本征向量

现在设V是数域上F一个n维向量空间，取定V的一个基αi,α2，an，令线性变换关于这个基的矩阵是A.如果=xa+xa+..+xa是线性变换的属于本征值a的一个本征向量.那么由（1）及定理7.3.1.我们有XXXi士2=0(I-A)（2)或=入A.十X因为≠0，所以齐次线性方程组（2）有非零解.因而系数行列式

现在设V是数域上F一个n维向量空间,取定V的一个基 {α1,α2 , ⋯, αn}, 令线性变换σ关于这个基的矩阵是A. 如果ξ =x1α1+ x2α2+⋯+ xnαn是线性变换σ的属于本征值λ的 一个本征向量.那么由(1) 及定理7.3.1,我们有 1 1 2 2 n n x x x x A x x λ       =         1 2 () 0 n x x I A x λ       − =       或  (2) 因为ξ ≠ 0,所以齐次线性方程组(2)有非零解.因而系数行列式

2-al-a12-ain1-a22-a21-a2n(3)det(al-A)=0a-a-anl-an217反过来，如果1EF满足等式（3），那么齐次线性方程组（2）有非零解(x1,x2"xn)因而=xa+x2,++xa,满足等式(1)即入是的一个本征值

(3) 11 12 1 21 22 2 1 2 det( ) 0 n n n n nn aa a aa a I A aa a λ λ λ λ −− − −− − − = = −− −      反过来,如果λ∈F满足等式(3),那么齐次线性方程组(2)有非 零解(x1, x2,⋯,xn),因而ξ =x1α1+ x2α2+⋯+ xnαn满足等式(1),即 λ是σ的一个本征值

定义2设A=(a）是数域F上一个阶方阵.行列式a-ai-a12-ain1-a22-a21-a2n一f,(x)= det(2I - A) =a-am-anl-an2叫做矩阵A的特征多项式

定义2 设A=(aij)是数域F上一个阶方阵.行列式 叫做矩阵A的特征多项式. 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) det( ) n n A n n nn aa a aa a fx IA aa a λ λ λ λ −− − −− − = −= −− −     

等式（3）表明，如果A是线性变换c关于V的一个基的矩阵而入是的一个本征值，那么入是A的特征多项式f（x）的根：f(a)=O.由7.3节知.关于V的两个基的矩阵是相似的.任意证明，相似矩阵有相同的特征多项式这样，定义V的线性变换的特征多项式是?关于V的任意一个基的矩阵的特征多项式，并且把o的特征多项式记作f（x）定理7.5.1设?是数域F上n维向量空间V的一个线性变换入EF是o的一个本征值当且仅当入是o的特征多项式f(x）的一个根

等式(3)表明,如果A是线性变换σ关于V的一个基的矩阵, 而 λ是σ的一个本征值,那么λ是A的特征多项式fA(x)的根: fA(λ)=0. 由7.3节知,σ关于V的两个基的矩阵是相似的.任意证明,相 似矩阵有相同的特征多项式. 这样,定义V的线性变换σ的特征多项式是σ关于V的任意一 个基的矩阵的特征多项式,并且把σ的特征多项式记作fσ(x). 定理7.5.1 设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换. λ∈F是σ的一个本征值当且仅当λ是σ的特征多项式fσ(x)的一 个根

alaina12dnnan1a22设矩阵A=anan2a矩阵A的主对角线上的元素的和叫做矩阵A的迹，记作trA：trA=aii+a22+.+ann2-ail-a12-an入-a22-a21-a2n矩阵的特征多项式f（x）=det(aI-A）=a-am-anl-an2fa(O)=(-1)ndetA

11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn aa a aa a A aa a     =        设矩阵 矩阵A的主对角线上的元素的和叫做矩阵A的迹，记作trA: 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) det( ) n n A n n nn aa a aa a fx IA aa a λ λ λ λ −− − −− − = −= −− −      矩阵的特征多项式 trA=a11+a22+⋯+ann . fA(0) =(-1)ndetA

我们把n阶矩阵A的特征多项式f（x）在复数域C内的根叫做矩阵A的特征根.设入是矩阵A的一个特征根，那么齐次线性方程组（2）的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根的一个特征向量矩阵A的属于F的特征根就是?的本征值，而A的属于入的特征向量就是的属于入的本征向量关于所给基的坐标设入，入2，入，是矩阵A的全部特征根，那么fa(x)=(x-2,)(x-22) (x-n)因此我们有trA=),+2+...+ndetA=,2...n2

我们把n阶矩阵A的特征多项式fA(x)在复数域C内的根叫 做矩阵A的特征根.设λ是矩阵A的一个特征根,那么齐次线 性方程组(2)的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根λ的一个 特征向量. 矩阵A的属于F的特征根就是σ的本征值,而A的属于λ的 特征向量就是σ的属于λ的本征向量关于所给基的坐标. 设λ1, λ2,⋯,λn是矩阵A的全部特征根,那么 fA(x)= (x-λ1)(x-λ2) ⋯(x-λn) 因此我们有 trA=λ1+λ2+⋯+λn . detA= λ1λ2⋯λn

设?是数域F上n维向量空间V的一个线性变换，它关于V的一个基α,α2，…a的矩阵是A.要求出的本征值，只要求出A的属于F的特征根.设入EF是矩阵A的一个特征根这时齐次线性方程组（2）有非零解，每一个非零解都是的属于的一个本征向量关于基(α1,α2，,an的坐标

设σ是数域F上n维向量空间V的一个线性变换,它关于V的一 个基{α1,α2 , ⋯, αn}的矩阵是A.要求出σ的本征值,只要求出A的属 于F的特征根.设λ∈F是矩阵A的一个特征根,这时齐次线性方程 组(2)有非零解,每一个非零解都是σ的属于λ的一个本征向量关 于基{α1,α2 , ⋯, αn}的坐标