《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第八章 假设检验 第三节 正态总体方差的假设检验

概率论与散理统计第三节正态总体方差的假设检验单个正态总体的方差检验两个正态总体的方差检验

第三节 正态总体方差的假设检验 单个正态总体的方差检验 两个正态总体的方差检验

一、单个正态总体均值未知的方差检验概率论与教理统计1.双边检验问题：设总体x ～ N（μ，2），μ未知x2检验假设H:α2=; H, :α2 ±0; = (n-1)s2(n-1X构造?统计量0αα-2由PPx ≥x(n-1)x≤x?(n-1)12O22确定临界值Xxi-α/2(n - 1), Xa/2(n -1)如果统计量的观测值x ≥xa/2(n-1)或≤xi-α/2(n-1)则拒绝原假设；否则接受原假设

一、单个正态总体均值未知的方差检验 问题：设总体X ～ N（，2），未知 构造 2统计量 2 2 0 2 0 ( 1) n S     2 ~  ( ) n 1 2 2 2 2 1 2 2 ( 1) , ( 1) 2 2 P n P n                            由 如果统计量的观测值 2 2 0 2 ( 1) n      则拒绝原假设；否则接受原假设 确定临界值 2 2 1 2 2 ( 1), ( 1) n n       2 2 2 2 0 0 1 0 假设H H : ; : ;       或 2 2 0 1 2 ( 1) n       2检验 1.双边检验

概率论与散理统计例1某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态分布，现对工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，据此是否可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082（α=0.05）？解这是一个均值未知，正态总体的方差检验，用?检验法假设 H。:α2=0.108; H :α2±0.1082由α=0.05，查自由度为4的%2分布表求得临界值为X0.97s(4) = 0.048, X0.025(4) = 11.14

例1 某炼铁厂的铁水含碳量X在正常情况下服从正态分布，现 对工艺进行了某些改进，从中抽取5炉铁水测得含碳量如下： 4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，据此是否可判断新工 艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082（=0.05）？ 解 这是一个均值未知，正态总体的方差检验， 用 2检验法 由=0.05，查自由度为4的 2分布表求得临界值 为 假设 2 2 2 2 0 1 H H : 0.108 ; : 0.108 ;     2 2 0.975 0.025   (4) 0.048, (4) 11.14  

概率论与教理统计又检验函数%2统计量的观测值为 = (n-1)s2Z( -x)=17.85430O。 i=l因为17.8543 >11.14所以拒绝原假设即可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差不是0.1082

又检验函数 2统计量的观测值为 因为17.8543 11.14  所以拒绝原假设 即可判断新工艺炼出的铁水含碳量的方差不是0.1082 2 5 2 0 1 2 2 0 0 1 ( 1) 1 = ( ) 17.8543 i n S  x x        

2.单边检验概率论与教理统计（1）右单边检验假设 H。:α2≤; H, :α2>(n-1)s2x构造?统计量(n-1)s2由第六章定理知~ x(n-1)92(n-1)s2从而对给定的α可找到临界值α~使得Pq?(n-1)s2(n-1)s2另，当假设 H.成立时，有q?0(n-1)s2(n-1)s从而有:P>xeC092

（1）右单边检验 构造 2统计量 2 2 0 2 0 ( 1) n S     由第六章 定理知 假设 2.单边检验 2 0 2 1 2 0 2 0 H :  ; H :  ~ ( 1) ( 1) 2 2 2   n n S   另，当假设 H0 成立时，有 2 2 2 0 2 ( 1) ( 1)   n S n  S            } ( 1) { 2 2 2 2 n S 从而对给定的 可找到临界值 使得P              } ( 1) } { ( 1) : { 2 2 2 2 2 0 2 n S P n S 从而有 P

概率论与教理统计(n - 1)s2即事件2α更是一个“小概率事件>0(n-1)s2从而可由:P≥x}≤α确定临界值x(n-1)0如果统计量的观测值(n-1)s2≥ x(n-1)Xoo则拒绝原假设；否则接受原假设

如果统计量的观测值 则拒绝原假设；否则接受原假设 } “ ” ( 1) { 2 2 0 2 即事件  更是一个 小概率事件   n  S } ( 1) ( 1) : { 2 2 2 0 2     n n S P     从而可由 确定临界值 2 2 2 0 2 0 ( 1) ( 1) n S   n     

概率论与教理统计（2）左单边检验假设 H。:2≥0；H,:α2xi-α)=1-α定出

2 2 0 2 0 ( 1) n S     类似于右单边检验的分析，统计量仍选为选为 假设 （2）左单边检验 2 2 2 2 0 0 1 0 H H : ; :       拒绝域选在一直线左边，有 2 2 2 1 1 D n (0, ] ( 1)          ，其中 通过查 由等式 2 2 2 2 1 1 p p ( ) , ( ) 1                即 定出

概率论与教理统计例2机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为500克，标准差不能超过10克。某天开工后，为检查其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取9袋，测其净重为497，507，510，475，484，488，524,491,515问这天包装机工作是否正常(α=0.05)?解:设为每一袋盐的重量,则三～N(u,α2)由题知要检验假设(1)H。 : μ= 500,H, : μ ± 500(2)H : α2≤10, H' : α2 >10

例2 机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分 布，规定每袋标准重量为500克，标准差不能超过10 克。某天开工后，为检查其机器工作是否正常，从装 好的食盐中随机抽取9袋，测其净重为 497，507，510，475，484，488，524，491，515 问这天包装机工作是否正常(α=0.05)? (2) : 10, : 10 (1) : 500, : 500 2 1 2 0 0 1           H H H H 由题知要检验假设 : , ~ ( , ) 2 解 设为每一袋盐的重量 则 N  

概率论与数理统计(1)H : μ= 500,H, : μ± 500由于方差未知，故采用t检验法，构造统计量X -μo ~ t(n-1)T。=s/ /n由样本算得x = 499,s=16.03499-500～~0.187从而得统计量T,的样本观测值为 「t。I=l16.03 / V9另由t分布表可查得tα(n-1)= to.025(8)=2.3062因0.187<2.306,故接受原假设，认为平均每袋食盐的净重为500克

(1)H0 :   500,H1 :   500 由于方差未知，故采用 t检验法，构造统计量 0 0 X T S n    ~ ( 1) t n  由样本算得x  499,s 16.03 从而得统计量T0的样本观测值为 0 499 500 | | | | 0.187 16.03 / 9 t    ( 1) 0.025(8) 2.306 2 另由t分布表可查得t  n   t  因0.187<2.306,故接受原假设，认为平均每袋食盐的净重为 500克

概率论与数理统计(2)H° :α2 ≤10, H' :α2 >10由于均值未知，故采用×2检验法，构造统计量z = (n-1)s20由样本算得s=16.038×16.032~ 20.56寸 o从而得统计量×2的样本观测值为102另由x分布表可查得x(n-1)= x00s(8)=15.5因20.56>15.5,小概率事件发生，故拒绝原假设，认为每袋食盐的净重标准差超过10克，所以该天包装机工作不够正常

(2) : 10, : 10 2 1 2 H0    H   由于均值未知，故采用  2检验法，构造统计量 2 2 0 2 0 ( 1) n S     由样本算得s 16.03 从而得统计量  2 的样本观测值为 2 2 0 2 8 16.03 20.56 10     ( 1) 0.0 5(8) 15.5 2 2     另由 分布表可查得 n  因20.56>15.5,小概率事件发生，故拒绝原假设，认为每袋食 盐的净重标准差超过10克，所以该天包装机工作不够正常