《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第五章 大数定律与中心极限定理 第一节 大数定律

第五章大数定律与中心极限定理一、大数定律二、中心极限定理

第五章 大数定律与中心极限定理 一、大数定律 二、中心极限定理

第一节大数定律背景本章的大数定律，对第一章中提出的“频率稳定性”给出理论上的论证、复习切比雪夫不等式定理1（切比雪夫不等式）设X是一随机变量，数学期望E(X)与方差D(X)都存在,对任给常数 ε > 0,有D(X)PI X-E(X)Z8I≤S等价地D(X)PIX-E(X)εI≥1-8

背景 本章的大数定律，对第一章中提出的“频率稳定性”， 给出理论上的论证

大数定律讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义例1掷一枚均匀分币，出现正面的概率为1/2正n→8逐到渐稳定n列2测量一个长度为a的物体，算术平均数逐渐稳定到aX逐到渐稳定a，n→o0.大大数定理：就是以确切的数学形式表达大量重复出现的随机现象的统计规律

定义5.1.1设[X，是一随机变量序列，若对任意>0,有limP(X, -X|≥8}=0O成立，则称(X,I依概率收敛于x.记为 X，→X定理5.1.2设[X,是一随机变量序列，若(x-x}-0limPn-o0成立，则称随机变量序列（X，）服从大数定律

二、大数定律定理1（切比雪夫大数定律）设X，X，",X是一列相互独立的随机变量序列，若存在常数C使得 D(X,)≤ C,i= 1,2,.…,则对任意的>0,有PX-limE(X)≥=0-00=1证明C1令 Y, =-Z X, 则 D(Y,)=ZD(X)≤nni=1由切比雪夫不等式，有CDY.n-o证毕?01P(IY,-E(Y,)ZS)≤<228ng

定理2（切比雪夫大数定律的特殊情况）设X,,…,X,…相互独立且具有相同的数学期望和方差: E(X,)= μ,D(X,)=2(i = 1,2,.….),则对于任意的>0,有≥x,-μ≥elimn01Z此时称X，依概率收敛于μ，记为一ni=l-x,μn

定理3（伯努利大数定律）设n是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为 p(00,有P≥limn-o0即频率依概率收敛于概率p，即n

第次试验中A出现1证明 令 x,=i = 1,2, ...10,第次试验中A没出现由于E(X,)= p,D(X,)= p(1- p), i= 1,2, -..1F并且IME(X,)na =ZX,nni=li=l故由定理2，知有Plim>=0≥8Ono

定理4（Markov大数定律）设（X是一随机变量序列，若 limD(Zx)→0. 则对于任意的ε>0, 有-x}-0lim1n→o证由切贝晓夫不等式得X-EXDx)D(EX)→0,n-→00S-

例5.1设[X,I是一独立随机变量序列，若-21P[X, =±2"} =2-(2n+1), P[X, =0}=1-2则称（X,服从大数定律证 EX, =2"×2-(2n+) -2"×2-(2n+1) +0(1-2-2")=0.EX, = 22" ×2-(2n+1) +22" ×2-(2n+1) +0'(1-2-2") =1.DX. =1从而nD(2X?0.n→0.ni三l由Markov大数定律得证