《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 一维随机变量及其分布 第三节 连续型随机变量及其分布

第三节连续型随机变量及其分布一、连续型随机变量及其密度函数的概念二、常见的连续型分布

第三节 连续型随机变量及其分布 一、连续型随机变量及其密度函数的概念 二、常见的连续型分布

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间，对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它取每个值概率的方式，去给出其概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式。下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法

定义的引出设离散型随机变量X在[a.b]内取n个值Xi=a,X2,3,X4...,=b.概率小矩形高=小矩形宽度即小矩形的面积为X取画X的概率对应点的概率直方图：S3S2S1SX,=bX3Xxi=aX2nP(a≤X≤b)=s;一折线下面积之和！明i=l

定义的引出

若X为连续型随机变量，由于X在「a.b1内取连续取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线f(x)而且:f(x)S-f'f(xdxf(x)≥0X1由此推出连续Pa≤X ≤b)=S=f(x)dx型随机变量的定义P[-o0≤ X ≤} = f(x)dx=1对任意的实数,有F(x)=P[X≤x)= f(x)dx

，连续型随机变量的概念定义：对于随机变量X的分布函数F（x）,若存在非负的函数f(x）,使对于任意实数x，有：连续型随机变量的分布F(x)= /f(t)dt函数在实数集R上连续则称X为连续型随机变量其中，f（x）称为x的概率密度函数，简称概率密度注：概率密度与分布函数均可以完整地描述连续型随机变量的统计规律性5

5 一、连续型随机变量的概念 定义：对于随机变量X的分布函数 若存在非负的 函数 f x( ), 使对于任意实数 有： ( ) ( ) x F x f t dt    F x( ), x, 其中 ， f x( ) 称为X的概率密度函数，简称概率密度。 则称X为连续型随机变量， 连续型随机 变量的分布 函数在实数 集R上连续 注：概率密度与分布函数均可以完整地描述连续型随机变 量的统计规律性

分布函数与密度函数几何意义f(x)个y= f(x)F(x):080.060.04-10-5xx

概率密度的形象化解释设想有一克金.被碾成沿x轴分布的一片面积为1的金箔(如图)yif（x)［曲线］PlaX<blabxbP(a<X ≤b) = [ f(x)dx= F(b)-F(a)x+AxC[ f(x)dx~ f(x)Ax(I△xk<1)

描述随机变量分布函数离散型随机变量连续型随机变量1概率分布(分布律)概率密度ZPk-分布律PkX≤xF(x)= PX ≤x) =X(f(t)dtf(t)-概率密度8

f(x)的性质:y= f(x)面积为1) f(x)≥02)(* f(x)dx =1P(xx)P(x 0AxAx与物理学中的质量线密度的定义相类似近似于小矩形面积P(x<X≤x+Ax)~f(x)-xf(x)f(x)表示X落在点x附近的概率的多少xx+At

9 与物理学中的质量线密度的定义相类似 P x X x x f x x ( ) ( )      0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) x x F x x F x P x X x x f x F x lim lim   x x         f x( )的性质： 1) ( ) 0 f x  + 2) ( ) 1 f x dx       2 1 1 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 x x x x x x P x X x f t dt P X a         3) 对于任意的实数 ， 4) ( ) '( ) ( ) 在 连续点 ， f x x F x f x  即在 的连续点 f x( ) f x X x ( )表示 落在点 附近的概率的多少y f x  ( ) 1 x 2 x 面积为1 P x X x  1 2   

5）连续型随机变量X取任一值α的概率为零，即P(X=α)=0这是因为P(X =a)= lim P(a≤ X ≤a+4x)4r-→0ra+Ar= limf(x)dx = 0Ar->0Ja由此可得Pla≤X≤bl=Pia<X≤bi=Pa≤X<bl=Pla<X<bl连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关

5 ( ) 0 ）连续型随机变量X a P X a 取任一值 的概率为零，即  