《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第9章 无穷级数 第四节 函数展开成幂级数

第四节函数展开成幂级数第9章两类问题在收敛域内0求和anrn和函数S(x)幂级数之展开n=0本节内容一、泰勒级数二、函数展开成幂级数下页返回

第9章 第四节 函数展开成幂级数 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 级数 二、函数展开成幂级数

一、泰勒级数若函数f(x)在xo的某邻域内具有 n +1 阶导数,则在该邻域内有：f(x) = f(x0)+ f(xo)(x-x0)+ "(xo)(x-Xo2!(n(xo)(x - xo)" + R,(x)n!此式称为f(x）的n阶泰勒公式，其中f(n+1)(E))n+1R,(x)=（三在x与xo之间）(x-Xo(n + 1)!称为拉格朗日余项目录上页下页返回结束机动

一、泰勒 级数 f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = (  在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f  若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 :

若函数f(x）在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称f"xof(xo)+ f(xo)(x -xo)一Xo2!XoX一Xn!为f(x）的泰勒级数当xo=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数待解决的问题1)对此级数，它的收敛域是什么？2）在收敛域上，和函数是否为f(x）？目录上页下页返回结束机动

f (x0 ) + f ( x0 )( x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数

定理1.设函数f(x)在点xo的某一邻域 U(xo)内具有各阶导数，则f（x）在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f（x）的泰勒公式中的余项满足lim Rn(x)= 0no证明： f(x)=(x-xo)n, xeU(xo)n!n=0(k）X(Xo）>令Sn+1(x)=x-xk!k=0f(x)= Sn+i(x)+ R,(x)lim R,(x)= lim[f(x)- Sn+i(x)]= O, xU(xo)n0n→0目录上页下页返回结束机动

定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x =  −  = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim  ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x   x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 =  − = + ( ) 0 x   x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有

定理2.若f(x）能展成x的幂级数则这种展开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同证：设f(x）所展成的幂级数为f(x)=ao +aix+ax"+...+anx" +.., xE(-R,R)则ao = f(0)f'(x) = a + 2a2x +. + na, x"-1ai = f'(0)f"(x) = 2la2 +...+ n(n - )a,xn-2a2 ="(0)an =f(n)(0)f(n)(x)= n!an +...显然结论成立目录上页下页返回结束机动

定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f  x = a1 + a2 x +  + n an x n− +  (0) 1 a = f  ( ) 2! ( 1) ; 2 f  x = a2 +  + n n − an x n− +  (0) 2! 1 2 a = f  ( ) ! ; f (n) x = n an +  (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立 . (0) 0 a = f

函数展开成幂级数、直接展开法一利用泰勒公式展开方法间接展开法一利用已知其级数展开式的函数展开1.直接展开法由泰勒级数理论可知，函数f（x）展开成幂级数的步骤如下第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R：判别在收敛区间(-R, R)内 lim R,(x)是否为第三步n-→o00.目录上页下页返回结束机动

二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函 数 f ( x) 展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开

展开成x的幂级数例1.将函数f(x）=ex解: ：: f(n)(x)=ex, f(n)(O)=1 (n=0,1,.),故得级数+x+3!2!n!1R=+8lim其收敛半径为n!(n+1)n-00对任何有限数x，其余项满足n+1Yesxn→8+n+1Rn(x) | =(n + 1)!(n+l)!(在0与x之间)故 ex=1+x+XE(-8,+802目录上页下页返回结束机动

例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x  f x = e (0) 1 ( 0 ,1, ) , f (n) = n =  1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足  e (n + 1)! n+1 x x  e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 + + x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n →  ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数

例2.将f(x)=sinx展开成x的幂级数元解: : f(n)(x)= sin(x+n.2n=2k0f(n) (0)(k = 0,1,2,...)三(-1)h， n=2k+12n-1得级数: x-3x3+xs _..+(-1)n-1大(2n-1)!其收敛半径为R=+，对任何有限数x，其余项满足n+1sin(三 +(n+1))xth+1n→8[Rn(x) |=(n +1)!(n +1)!2n-: sin x= x- 3x3 +x5.-..+(-1)n-1X(2n-1)!XE(-8,+8目录上页下页返回结束机动

例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n      (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2   + n + (n + 1)! n+1 x n = 2 k + 1 (k = 0 , 1, 2 ,  ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 +  sin x n →  n = 2 k ( 1) , k − 0 , = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 − + (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 +

1(-1)n-12n-+子sinx = x3!5!(2n - 1)!xE(-00, +80)类似可推出：(P220例3)2n1)n-1cosx=1X2(2n)!xE(-00,+80上页目录下页返回结束机动

= − + − + − n− x n + n x x x 2 4 1 2 (2 )! 1 ( 1) 4! 1 2! 1 cos 1 类似可推出:  + − = − + − + − 3 5 −1 2 −1 (2 1)! 1 ( 1) 5! 1 3! 1 sin n n x n x x x x (P220 例3)

例3.将函数 f(x)=(1 +x)m展开成x的幂级数,其中m为任意常数解: 易求出 f(0)=1, f(0)= m, f"(O)= m(m-1)f(n)(0) = m(m - 1)(m - 2).. (m - n+ 1), ...m(m- 1)于是得级数 1 + mx +2!m(m-1)...(m-n+1大+n!n+lan由于R= limliman+lm-nn-→n→0因此对任意常数m，级数在开区间（-1,1)内收敛目录上页下页返回结束机动

例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 f (0) = 1, f (0) = m, f (0) = m(m − 1) , f (n) (0) = m(m − 1) (m − 2) (m − n + 1) ,  于是得 级数 1 + m x + + − 2 2! ( 1) x m m 由于 1 lim → + = n n n a a R m n n n − + = → 1 lim = 1   + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) 因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛