《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第7章 多元微积分学 第四节 多元复合函数的求导法则

第7章第四节多元复合函数的求导法则一元复合函数y=f(u),u=p(x)dydydu求导法则dxdudx微分法则dy=f'(u)du=f'(uo'(x)dx本节内容一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分下页返回

第7章 第四节 多元复合函数的求导法则 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则

多元复合函数求导的链式法则一、若函数u=(t),v=y(t)在点t可导,z=f(u,v)定理。在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f(p(t),(t)在点t可导，且有链式法则-%U证：设t取增量At，则相应中间变量有增量^u，v020zAv +o(p) (p = /(Au)~ +(△v)?)△u+AZ2Ovou目录上页下页返回结束机动

一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 z = f (u, v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 证: 设 t 取增量△t , v v z u u z z     +    = + o (  ) 则相应中间变量 且有链式法则 u v 有增量△u , △v

Az0z △u, Oz Av, 0(p)(p = (Au)? +(Av)? )Atou At"ovAtAt令t→0,则有u→0,→0dudyAuAVu1dtdt△t△to(p)o(p)0△tNP"_"号)(At<0时,根式前加dz oz duoz dy（全导数公式）dt Ou dt'y dt目录上页下页返回结束机动

则 有 u → 0 , v → 0 , ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

偏导数连续减弱为若定理中f(u,v)在点（u,v)说明：偏导数存在则定理结论不一定成立?例如： z= f(u,v)=+v= 0u2u=t,v=tOzaz易知：|(0,0) = ,(0,0) =0%(0,0) = Ji(0,0) = 0,但复合函数z=f（t,t）Ozdudzdi主:0.1+0.1=02OudtOvdtdt目录上页下页返回结束机动

说明: 若定理中 例如: z = f (u , v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t ) 2 1 d d = t z  t v v z t u u z d d d d     +   = 0 1 + 0 1 = 0 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 2 t = , 0 2 2 2 2 2 +  + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 则定理结论不一定成立

推广：设下面所涉及的函数都可微例如,z= f(u,v,w)1）中间变量多于两个的情形u=@(t),V=(t),w=o(t)dz- Oz du Oz dvozdwdtou dt'Ov dtow dt= fi'o'+ f2y'+ f'o'2）中间变量是多元函数的情形.例如z=f(u,v), u=p(x,y), v=y(x,y)Oz0zOuOz Ov= fi'oi + f2yiouoxovOxOxOZOzOuOz Ov=fi02+f2y2OyQu OyOv Oy目录上页下页返回结束机动

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u , v, w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d =   +   +   1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u , v ) , u =  ( x, y ) , v =  ( x, y ) =   x z 1  1 2 1 = f   + f   1  2 2 2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + u =  (t) , v =  (t) , w =  (t)

又如, z= f(x,v), V=y(x,y)当它们都具有可微条件时，有afafOvx=f"+ f2WiaxOxaxOvX07of力f2V2OvdyO2af与不同，这里注意：axaxaf810表示固定对x求导表示固定y对x求导ax叉路偏导口决：分段用乘分叉用加单路全导目录上页下页返回结束机动

又如, z = f ( x, v ) , v =  ( x, y ) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 2 1 = f  + f   y z   2 2 = f   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = 与 不同, v

0zdz例l.设z=e"sin,u=xy，v=x+y,求ax'OyzOzOuOzOvOz解：OxOu Oxov Ox=e"sinv.y+e"cosv.l= e*'[y · sin(x+ y)+ cos(x+ y)]Oz OuOz Ov2xyx1OuOyQv QyOy=e"sinv.x+e"cosv.l= exy[x·sin(x+ y)+cos(x+ y))上页目录下页返回结束机动

例1. 设 z e sin v , u x y , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y

duu= xsin y,求例2. u= f(x,y,z)=ax'ayou_af.of oz解：axOzOxOx2xsiny=2xe+xtsin=2x(1+2x2sin02afaf.xayoz01dycos12ye三+xsin+-= 2(y+x*sinycosy)目录上页下页返回结束机动

例2. ( , , ) , sin , 2 2 2 2 u f x y z e z x y x y z = = = + + yu xu   求 , 解: xu 2 2 2 2 x y z xe + + = x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + x y z x y u yu 2 2 2 2 x y z ye + + = x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2 ( sin cos ) + + = + xf  = 2 2 2 2 x y z ze + + + yf  = yz zf   + 2 2 2 2 x y z ze + + +  2 x sin y x cos y 2 

例3. 设 z = uv+ sint,u=et,v= cost, 求全导数dzOz du, Oz dv Oz解：dtoudtO dtot=vet-usint+cost= e'(cost- sint)+ cost注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到，下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号目录上页下页返回结束机动

例3. 设 z = u v + sin t , . d d t z z u v t t t t z d d t = v e e t t t t = (cos − sin ) + cos t u u z d d    = t z   + u = e t , v = cos t , 求全导数 解: + cos t 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

例4.设w=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导数a?wow求W,fi,f20x'0x0z解: 令u=x+y+z,V= xyz, 则uw= f(u,v)xyzxyzowox = Ji-1 + J2 yz= fi(x+y+z, xyz)+ yz f2(x+ y+ z, xyz)aw= fii·1+ fi2 xy + y f2+ yz[ f2i-1+ f2" ·x y]OxOz= fii + y(x + z) fi2 + xy2z f22 + y f2上页目录下页返回结束机动

为简便起见 , 引入记号 , , 2 1 1 2 u v f f u f f     =    = 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 , . 2 x z w x w      解: 令 u = x + y + z , v = x y z , x w   w u v x y z x y z w = f (u , v) + f   y z 2 ( , ) 2 + y z f  x + y + z x y z 则 x z w    2 2 2 2 2 1 1 1 2 = f  + y( x + z) f  + x y z f  + y f  + f   x y 12 + f   x y 2 21 2 , f  , f 