《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第7章 多元微积分学 第五节 隐函数的求导方法

第五节隐函数的求导方法第7章、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数下页返回

第7章 第五节 隐函数的求导方法 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数

本节讨论：1）方程在什么条件下才能确定隐函数x~+/y+C=0例如，方程当C0时，不能确定隐函数2）在方程能确定隐函数时，可微性研究其连续性、及求导方法问题目录上页下页返回结束机动

本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题

一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1. 设函数 F(x,y)在点 P(xo,yo)的某一邻域内满足具有连续的偏导数② F(xo, yo) = 0;③ F,(xo, yo) + 0则方程 F(x,J)=0在点xo 的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数y=f(x），满足条件yo=f(xo）,并有连续导数dy（隐函数求导公式dx定理证明从略，仅就求导公式推导如下：目录上页返回结束机动下页

一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 ( , ) 0 ; F x0 y0 = 则方程 单值连续函数 y = f (x) , 并有连续 y x F F x y = − d d (隐函数求导公式) 定理证明从略，仅就求导公式推导如下： ① 具有连续的偏导数; 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 ( , ) 0 Fy x0 y0  ② ③ 满足条件 导数

设y=f(x)为方程F(x,)=0所确定的隐函数，则F(x,f(x))=0两边对x求导aF,oFdy0oxoydx在(xo，yo)的某邻域内 F,≠0HdydxT目录上页下页返回结束机动

两边对 x 求导 y x F F x y = − d d  0 在 的某邻域内 Fy 则

则还有若F（x，y）的二阶偏导数也都连续,F-FK二阶导数：Y1dxdxaxxFF-FFF,F,-FyE(-F)ixviyvxixxxi17V4FxF2-2Fx,F,F,+FyyFx目录上页下页返回结束机动

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, = 2 2 d d x y 2 y xx y yx x F F F − F F = − 3 2 2 2 y xx y x y x y y y x F F F − F F F + F F = − y x F F − ( ) y x F F y −   + ( ) 2 y x y x y y y y x F F F F F F F − − − 二阶导数 : ( ) y x F F x −   x y x x y d d 则还有

星siny+e*-xy-l=0在点(0.0)某邻域例1.验证方程可确定一个单值可导隐函数y=f(x）,并求d?ydydx|x=0' dx2|x=0解: 令F(x,y)=sin y+e×-xy-l, 则① F,= e*- y, F, = cos y- x 连续,②F(0,0)=0,F,(0,0)=1 ± 0由定理1可知，在x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数y=f(x），且目录上页下页返回结束机动

例1. 验证方程 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 0 d d , d 0 d 2 2 = x x = y x x y 解: 令 F ( x, y) = sin y + e − x y − 1, x F (0,0) = 0 , F e y, x x = − 连续 , 由 定理1 可知, (0,0) = 1 Fy  0 ① 导的隐函数 则 F y x y = cos − ② ③ 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且 并求

dyex-y利=-1Fx=dx|x=0cosy-x x=O,y=0dydx2|x = 0dx cos y-x x=0, y=0, y'=-1(ex -y)(cos y- x) -(ex-y)(-sin y·y'-1)x=0(cos y- x)2y=0y'=-l目录上页下页返回结束机动

d 0 d x x = y = 0 = − F x F y x = − c o s y − x e y x − x = 0, y = 0 d 0 d 2 2 x x = y ) cos ( d d y x e y x x − − = − 2 ( cos ) y − x = − = −3 1 0 0  = − = = y y x ( e y ) x −  (cos y − x) (e y) x − − (− sin y  y  − 1)

导数的另一求法一利用隐函数求导sin y+e*-xy-l= O, y= y(x)x=0两边对x求导一1cosy·y'+e-y-xy'=ocosy-x(O,O)两边再对x求导=-1-sin y.(y')"+cosyy"+e"-y'-y'-xy"=0令x=0,注意此时 =0，y'=-ldydx2|x=0 =-3目录上页下页返回结束机动

= 0  x y 3 0 d d 2 2 = − x x = y sin y e x y 1 0, y y( x) x + − − = = 两边对 x 求导 两边再对 x 求导 − sin y ( y ) + cos y  y  2 令 x = 0 , 注意此时 y = 0 , y  = −1 cos y x (0,0) e y x − − = − 导数的另一求法 — 利用隐函数求导

定理2.若函数F(x,J,z)满足①在点 P(xo,yo,zo)的某邻域内具有连续偏导数②F(xo, o,20)=0③ F,(xo, yo,20)± 0则方程F(x,y,z)=0在点(xo,yo)某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数z=f(x，y)，满足zo=f(xo，yo）并有连续偏导数HozFxdzaxF.Fdy定理证明从略，仅就求导公式推导如下目录上页下页返回结束机动

定理2 . 若函数 F ( x, y, z) z y z x F F y z F F x z = −   = −   , 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下: 满足 ( , , ) 0 0 0 0 F x y z = ( , , ) 0 0 0 0 F x y z  z ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确

设z=f(x,J)是方程F(x,)=0所确定的隐函数,则F(x,y,f(x,y))=0两边对x求偏导azFx+ F.ax在(xo,Jo,zo)的某邻域内F, ≠0O2F-Eax02同样可得Eay目录上页下页返回结束机动

F ( x, y , f ( x , y ) )  0 两边对 x 求偏导 Fx z x F F x z = −   z y F F y z = −   同样可得 则 + Fz x z    0