《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第6章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算

第6章第一节向量及其线性运算一、向量的概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影下页返回

第6章 四、利用坐标作向量的线性运算 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影

一、向量的概念向量：既有大小，又有方向的量称为向量（又称矢量）表示法：有向线段MM，或a，或a向量的模：向量的大小,记作M,M2，或a|,或a起点为原点的向量向径(矢径）：自由向量：与起点无关的向量M2单位向量：模为1的向量，记作a或aM零向量：模为0的向量，记作0，或0目录上页下页返回结束机动

表示法: 向量的模 : 向量的大小, 一、向量的概念 向量: (又称矢量). M1 M 2 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量: 与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量, 有向线段 M1 M2 , 或 a

则称a与b相等若向量a与大小相等，方向相同记作a=b：若向量a与6方向相同或相反，则称a与b平行，记作a//b规定：零向量与任何向量平行与a的模相同，但方向相反的向量称为α的负向量记作-a；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线若k(>3)个向量经平移可移到同一平面上，则称此k个向量共面目录上页下页返回结束机动

规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作－a ;

二、向量的线性运算1.向量的加法C(a+b)+c平行四边形法则b+c6/a+6a+(b+)a+bba三角形法则a+baaa+b-b+a运算规律：交换律(a+b)+c=a+(b+)=a+b+c结合律三角形法则可推广到多个向量相加目录上页下页返回结束机动

二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . b b a + b = b + a ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c a b c a + b b + c a + ( b + c ) ( a + b ) + c a a a + b a + b

$=a +a, +a,+a+asaa5a3Saa上页目录下页返回结束机动

s a3 a4 a5 a2 a1 1 2 3 4 5 s = a + a + a + a + a

2.向量的减法ab-a=b+(-a)b-a6b-特别当b=a时，有aa-a=a+(-a)=0三角不等式+]≤|+a-b|≤|a|+|b目录上页下页返回结束机动

2. 向量的减法 三角不等式 a

3.向量与数的乘法是一个数，入与α的乘积是一个新向量，记作a规定：>0时，a与a同向，a=a；<o时，a与a反向，「a=-a=0时，a=0总之：[a[={a]a]运算律：结合律(ua)=μ(aa)=μa分配律(a+μa=aa+ua(a+b)=aa+aba若0.则有单位向量a因此a=laa目录上页下页返回结束机动

a a    =  3. 向量与数的乘法  是一个数 , a .   规定 : 1 a a ;   = 可见 1 a a ;   − = −  与 a 的乘积是一个新向量, 记作 总之: 运算律 : 结合律 ( a )    ( a )  =   a  =   分配律 (a b )    + a b   =  +  =   则有单位向量 a . 1 a a   因此     a = a a

定理1.设为非零向量，则allb b=aa(2为唯一实数）al,,b同向时证：“—”设a/b,取入=±取正号，反向时取负号，则6与入同向，且16[a|=[6]a=2a=司故b=aa.再证数的唯一性.设又有b=μ?,则(-μ)?=而a0,故-μ=0,即=μ目录上页下页返回结束机动

定理1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) 证: “ ”. , 取 ＝± 且 再证数  的唯一性 . 则 故  −  = 0 , 即  =  . a∥b 设 a∥b 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与  a 同向, 设又有 b＝ a , ( − ) a = 0 = = b 故 b =  a

已知b=入a,则C3当入=0时，6=0val/b当>0时，a,b同向当a<0时，a，b反向例1.设M为口ABCD对角线的交点，AB=a，AD=6试用a与b表示MA,MB，MC,MD解: a+b=AC=2MC=-2MAD466-a=BD=2MD=-2MBMBaMB=-(b-a)MA=-(a+b)MC =(a+b)MD =(b-a)目录上页下页返回结束机动

“ ” 则 例1. 设 M 为 M A B 解: D C ABCD 对角线的交点, b a AC = −2 M A BD = −2 M B 已知 b＝ a , b＝0 a , b 同向 a , b 反向 a∥b 试 用 a 与 b 表 示 M A , M B , M C , M D . a + b = b − a = ( ) 2 1  M A = − a + b ( ) 2 1 M B = − b − a ( ) 2 1 M C = a + b ( ) 2 1 M D = b − a

三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的基本概念过空间一定点o，由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系Z =轴(竖轴)II·坐标原点IⅢI·坐标轴yoz面IV1zox面·坐标面yoxoyh·卦限（八个）y轴(纵轴)VIIKVIx轴(横轴)VVII目录上页返回结束机动下页

Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ x y z Ⅴ Ⅷ Ⅳ 三、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. • 坐标原点 • 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , o • 坐标面 • 卦限(八个) xoy面 yoz面 1. 空间直角坐标系的基本概念 Ⅰ