《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第2章 导数与微分 第三节 高阶导数

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第2章 二、高阶导数的运算法则 第三节 高阶导数 一、高阶导数的概念

一、高阶导数的概念引例：变速直线运动s=s(t)ds速度即v=SV=dtdyd加速度a=dtdtd即a=(s')上页目录下页返回结束机动

一、高阶导数的概念 速度 即 v = s  加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动

若函数y=f(x）白的导数y=f（x）可导，则称定义.1f(x）的导数为f(x）的二阶导数，记作y"或即dx2或y"=(y)"类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推n-1阶导数的导数称为 n 阶导数，分别记作(4)v(n)7d3d"y21福或dx3dxndx目录上页下页返回结束机动

定义. 若函数 y = f ( x) 的导数 y  = f ( x) 可导, 或 即 y  = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n − 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称

例1. 设 y=ao +ajx+azx? +..+anx", 求 y(n)解：' = a1 +2a2x+ 3a,x? + ..+ na,x"- y" = 2 .la2 +3.2agx + ..+n(n -1)ann-2依次类推，可得y(n) = nlan思考：设=x"（μ为任意常数）,问(n)=？(x")(n) = μ(μ -1)(μ-2)..(μ-n+ 1)xu-n 目录上页下页返回结束机动

设 求 解: y  = a1 + 2a2 x + −1 + n n  na x y  = 2 1a2 + a x3 3  2 2 ( 1) − + + − n n  n n a x 依次类推 , n n y n!a ( ) = + 2 3 3a x 例1. 思考: 设 (  为任意常数 ),  y = x 问 可得

例2. 设 y=eax,求 (n)解: y'=aeax, y"=a’eax, j"=a'eaxy(n) =a"eax1- x特别有：(e*)(n) =er1例3. 设 y= ln(1+x),求y(n)(1 - x)1.2福"=(-1)解：V(1+x)2 ,(1+x)351+xy(n) = (-1)"-I (n-1)!规定0！=1(1+ x)n(n-1)!思考: y=ln(1-x), y(n) ,(1-x)n目录上页下页返回结束机动

n (1+ x) , , y  = a 3 e a x  例2. 设 求 解: 特别有: 解: (n −1)! 规定 0 ! = 1 思考: , ax y = e . (n) y , ax y  = ae , 2 ax y  = a e n n ax y = a e ( ) x n x e =e ( ) ( ) 例3. 设 求 , 1 1 x y +  = , (1 ) 1 2 x y +  = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y +   = − = (n) y 1 ( 1) − − n x y −  = − 1 1 y  = − 2 (1 ) 1 − x 

例4. 设y= sin x, 求 (n)解: y'=cosx =sin(x+号)y"= cos(x+)= sin(x++)= sin(x + 2 ·)y"=cos(x+2·号)= sin(x+3·号2元一般地，(sinx)(n)= sin(x+n2类似可证：(cos x)(n) = cos(x + n ·元2上页目录下页返回结束机动

例4. 设 求 解: y  = cos x sin( ) 2  = x + cos( ) 2  y  = x + sin( ) 2 2   = x + + sin( 2 ) 2  = x +  cos( 2 ) 2  y  = x +  sin( 3 ) 2  = x +  一般地 , x = x + n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x = x + n (cos ) cos( ( ) ) 2  n  ) 2  n 

例5.设 =ea× sin bx (a,b为常数),求y(n)解: y'= aeax sin bx + beax cos bx= eax (asinbx +bcos bx)=eaxx/a? +b? sin(bx + )(@ = arctan 1一a[aeax sin(bx + p)+ beax cos(bx +)]y"=Va?+b?= Va? + b? eax a? + b? sin(bx + 2p)hy(n) =(a? +b?)2 eax sin(bx + np)@ = arctana目录上页下页返回结束机动

例5 . 设 y e bx ax = sin 解: y  = a e b x + a x sin e (a sin bx b cos bx) a x = + (a , b为常数 ), 求 . (n) y be bx a x cos ( sin cos ) 2 2 2 2 2 2 bx a b b bx a b a a b + + + + cos  sin ax = e sin( ) 2 2 a + b b x +  ( arctan ) a b  = 2 2 y  = a + b ( ) 2 2 2 ( ) n n y = a + b a x a b e 2 2 = +    ( arctan ) a b  = sin( 2 ) 2 2 a + b b x +  e sin(b x n ) a x +

例6. 设 f(x)=3x3 + x2||， 求使 (n)(O)存在的最高阶数n= 2x≥04x分析：f(x)12x3x<02x3-0: f'(O)= lim=0(12x2, x ≥0xX-0-. f'(x)=1 6x2, x<04x3-0f*(0)= lim0二xX-0+6x2又 f"(O)= lim=024x, x≥0xf"(x)=X-0-12x, x<012x2f*(0) = lim.0一X→0+但是 f"(0)=12，f(0)=24, f"(0)不存在上页目录下页返回结束机动

例6. 设 ( ) 3 , 3 2 f x = x + x x 求使 (0) (n) f 存在的最高 分析:    f (x) = 4 , x  0 3 x 2 , x  0 3 x x x f x 2 0 (0) lim 3 0 −  = → −  − = 0 x x f x 4 0 (0) lim 3 0 −  = → + + = 0 x  0  x  0    f (x) = 12 , 2 x 6 , 2 x f − (0) = x x x 2 0 6 lim → − = 0 f + (0) = x x x 2 0 12 lim → + = 0     f (x) = 但是 (0) = 1 2 , − f (0) = 2 4 , + f  f (0) 不存在 . 2 又 24x , x  0 12x , x  0 阶数

二、 高阶导数的运算法则设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数，则1. (u±v)(n) =u(n) ±v(n)2. (Cu)(n) = Cu(n)(C为常数)n(n-1)(n-2)3. (uv)(n) =u(n)v+ nu(n-1)'+u2!n(n -l)...(n-k + 1)(n-k).,(k)+k!+..+uv(n)）公式莱布尼兹（Leibniz)目录上页下页返回结束机动

二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + +   莱布尼兹(Leibniz) 公式 设函数 及

例7. =x2e2x, 求y(20)解：设 u=e2x,=x2,则u(k) = 2ke2x (k =1,2,..,20)v'=2x, v"=2,v(k) = 0 (k = 3,., 20)代入莱布尼兹公式，得20.19018v(20) _220 e2x.x2 + 20 .219e2x.2x2!020e2x(x2+20x+95)目录上页下页返回结束机动

例7. 求 解: 设 , , 2 2 u e v x x = = 则 k k x u e ( ) 2 = 2 v  = 2x , v  = 2 , 0 ( ) = k v 代入莱布尼兹公式 , 得 = (20) y x e 20 2 2 2  x x e 19 2 + 20  2  2x 2 ! 2019 +  2 x e 18 2 2 ( k = 1 , 2 ,  , 2 0 ) (k = 3 ,  , 2 0)