《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第1章 函数、极限与连续 第四节 无穷小与无穷大

第四节无穷小与无穷大一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、练习

二、无穷大 一、无穷小 三、无穷小与无穷大的关系 四、练习 第四节 无穷小与无穷大

一、无穷小1.无穷小的定义定义1若函数f(x)当 x→>xo(或x →8)时的极限为零，则称函数f(α)为x→xo（或x→）时的无穷小量,简称无穷小，例如，因为 lim sinx=O,所以函数sinx为x→0x-0时的无穷小，lim(x-1)=0, 月因为所以函数 x-1 为 x→1 时的x-1无穷小lim=0,为×→8时的无穷小因为一所以函数Xx>0 x上页目录下页返回结束机动

一、无穷小 定义1 若函数 f x( ) 当 x x → 0 时的极限 时的无穷小 例如， sin 0 lim = 0, x→ 因为 x − 1 lim ( 1) = 0, x→ 因为 x 所以函数 x −1 为 x → 1 时的 时的无穷小. 所以函数 sin x 为 x → 0 1 lim = 0, x→ x 因为 所以函数 1 x 为 x →  时的无穷小. 为零， 量， 则称函数 f x( ) 为 → 0 x x 简称无穷小. 1.无穷小的定义 ( 或 x → ) ( 或 x → ) 无穷小

(-1)nlim (-1)n=0.1是当因为所以数列x-→>8x→8时的无穷小注意(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆(2)零是可以作为无穷小的唯一的数2.无穷小与函数极限的关系定理1在自变量的同一变化过程x→xo（或x→8)中，函数f(x)具有极限A 的充分必要条件是f(x)= A+a,其中α是无穷小目录上页下页返回结束机动

x →  时的无穷小. − 1 lim ( 1) = 0, →  n x n 因为 所以数列 是当     −   1 ( 1)n n 注意 (1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数. 2. 无穷小与函数极限的关系 定理1 中， 在自变量的同一变化过程 → 0 x x f x A ( ) = + , α 其中 α 是无穷小. ( 或 x → ) 函数 f x( ) 具有极限 A 的充分必要条件是

lim f(x)=A, 则设证必要性x→xo>0,>0,当0-xo时，有If(x)-A0,>0,当0x-x时，有α，即上页目录下页返回结束机动

证 必要性 设 0 lim ( ) = , x x → f x A 则 有 | ( ) | 0, δ > 0, 当 0 0, δ > 0, 即

Lf(x)-A<&.这就证明了A是f()的极限定理1意义①将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小）给出了函数f(x)在xo 附近的近似表达式1f(x) ~ A,误差为 α(x)3．无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的和仍是无穷小证考虑两个无穷小的和目录上页下页返回结束机动

| ( ) |< . f x A− ε 这就证明了 A 是 f x( ) 的极限. 定理1意义  将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); f x A ( ) ,   给出了函数 f x( ) 在 0 x 附近的近似表达式 误差为 α( ). x 3. 无穷小的运算性质 定理2 在同一过程中，有限个无穷小的和仍是无穷 小. 证 考虑两个无穷小的和

设 lim α=0,lim β=0,则 ε>0,x-→xox→xo>0,当0x-xo 时，有lα/2;2>0, 当 0x-xo2 时，有Iβ8/2.取=mini,2},则当0x-xo时，有α+βα/+/β</2+ε/2=8,因此lim (α+β)= 0,x-→xo即 α+β是x→xo 时的无穷小量类似可证：在同一过程中，有限个无穷小的差仍是无穷小目录上页下页返回结束机动

当 0 0, δ2 > 0, 设 0 lim = 0, x x → α 0 lim = 0, x x → β 取 = min{ , }, 1 2 δ δ δ 则当 0 0, 类似可证：在同一过程中, 有限个无穷小的差仍是 无穷小

说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！例如，lim2十元n2 +2元+n元n-0定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小证 设VxeU°(xo,di),， 有lyM． 又设lim α = 0.x→xo即Vε>0, 3j>0, 当xU(xo,2)时, 有lαε/M.取=min[0j,02}, 则当xeU°(xo,})时，有 ya/=I ylla<M./M =,lim yα=0，即 yα 是x→xo 时的无穷小量因此x→xo目录上页返回结束机动下页

说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，       2 2 2 1 1 1 lim + + + = 1. n + + 2 + n →  n π n π n nπ 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 设 0 1  x U x( , ), δ 有 | | 0, δ1 > 0, 当 x U x  ( , ) 0 2δ 时，有 | |< . α ε M 取 min = { , } 1 2 δ δ δ , 则当 x U x  ( , ) 0 δ 时， 有 | |=| || |< = , yα y α M  ε M ε 因此 0 lim = 0, x x yα → 即 0 yα 是 x x → 时的无穷小量

推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小sinx求lim例1.Xx-→o0目录上页下页返回结束机动

有极限的变量与无穷小的乘积 常数与无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论1 在同一过程中, 是无穷小. 推论2 推论3 例1. 求 sin lim . x x→ x

二、无穷大定义2 设函数f(x)在U°(xo）内有定义（或lxl大于于某一正数时有定义).如果对任意给定的正数M，总存在正数（或正数X），只要x适合不等式0x-xo(或Ix>X)对应的函数值f(x）总满足不等式I f(x)> M,则称函数f(x)为 x→xo(或x→)时的无穷大量，简称无穷大，记作lim f(x)=o (或 lim f(x)=o).x→8x→xo上页目录下页返回结束机动

二、无穷大 定义2 设函数 f x( ) 0 ( ) o 在 U x 内有定义 (或 | | x 大于 于某一正数时有定义).如果对任意给定的正数 M, 总存 在正数 只要 x 适合不等式 − 0 0 , f x M 时的无穷大量， 称无穷大， 则称函数 f x( ) 为 0 x x → 简 记作 δ( 或正数 X), ( 或 | |> ), x X ( 或 x → ) 0 lim ( ) = x x f x →  lim ( ) = ). →  x (或 f x

lim例如x-1x-1如果在定义2中，把f(x)I>M 换成 f(x)>M(或f(x)xox-→xo(x→80)(x→>00)注意：无穷大不是数，不可以与很大的数混为一谈limIg x = -80,lim x- = +o0例如：x-→0+x-8上页目录下页返回结束机动

0 ( ) lim ( ) = + , x x x f x → →   (或 f x( ) f x M 换成 f x M ( ) > 注意：无穷大不是数，不可以与很大的数混为一谈. − 0 ( ) lim ( ) = , x x x f x → →   或 时，就记作 例如： 1 − 1 lim = . x→ x 1  0 lim lg , x x → + = − 2 lim . x x → = + 例如