《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第8章 重积分

第八章重积分教学提示：在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限，本章和下一章是多元函数积分学的内容：定积分这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念，本章将介绍重积分（包括二重积分和三重积分)的概念、计算法以及它们的一些应用，教学要求：理解二重积分的概念、几何意义、物理意义；掌握二重积分的性质：掌握二重积分计算方法（直角坐标、极坐标）：理解三重积分的概念及物理意义；理解三重积分的性质；掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）：理解“微元法”的思想，会用重积分解决一些几何、物理及力学中的某些简单应用问题（平面图形的面积空间曲面面积、立体体积、物体的质量、质心转动惯量、引力等）.教学重点：二重积分、三重积分的计算。教学难点：二重积分的定义，确定二、三次积分的积分限第一节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积设一个立体的底是xOy平面上的有界闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于=轴的柱面，它的顶是曲面==J(x,y)，这里的f(x,y)≥0且在D上连续(图8-1)，这种立体叫做曲顶柱体，现在我们来讨论如何来求这个曲顶柱体的体积V.=J(xy)J(x,y)f(x,y)(e.n)图8-1图8-2图8-3我们知道，对于二个平顶柱体的体积可以用公式体积=底面积×高来定义和计算：关于曲项柱体，当点（xy)在区域D上变动时，高度f(x,y)是个变量，因此它的体积不能直接用上式来定义和计算，但如果回忆起求曲边梯形面积的问题，就不难想到那里所采用的“分割、近似代替、近似求和、取极限”解决方法，原则上可以用来解决目前的问题，下面仿照求曲边梯形面积的求之分割：用任意曲线网格分割D为n个小区域Ao,Aα2,Ag（图8-2)．以它们为底把曲顶柱体分成n个小曲顶柱体，以<V表示第i个小曲顶柱体的体积，则

第八章 重积分 教学提示: 在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限，本章和下一章是 多元函数积分学的内容．定积分这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情 形， 便得到重积分、 曲线积分及曲面积分的概念． 本章将介绍重积分(包括二重积分和三重积分)的概念、 计算法以及它们的一些应用． 教学要求：理解二重积分的概念、几何意义、物理意义；掌握二重积分的性质；掌握二重积分计 算方法（直角坐标、极坐标）；理解三重积分的概念及物理意义；理解三重积分的性质；掌握三重积分 的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；理解“微元法”的思想， 会用重积分解决一些几何、 物理及力学中的某些简单应用问题（平面图形的面积,空间曲面面积、 立体体积、物体的质量、质心转 动惯量、引力等） ． 教学重点：二重积分、三重积分的计算． 教学难点: 二重积分的定义，确定二、三次积分的积分限． 第一节 二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积 设一个立体的底是 xOy 平面上的有界闭区域 D ， 它的侧面是以 D 的边界曲线为准线而母线平行于 z 轴的柱面，它的顶是曲面 z = f (x, y) ，这里的 f (x, y) ³ 0 且在 D 上连续(图 8­1)，这种立体叫做曲顶柱 体．现在我们来讨论如何来求这个曲顶柱体的体积V ． 图 8­1  图 8­2  图 8­3  我们知道，对于一个平顶柱体的体积可以用公式 体积=  底面积¥ 高 来定义和计算．关于曲顶柱体，当点(x, y) 在区域 D 上变动时，髙度 f (x, y)是个变量，因此它的体积不 能直接用上式来定义和计算．但如果回忆起求曲边梯形面积的问题，就不难想到那里所采用的 “分割、 近似代替、近似求和、取极限” 解决方法，原则上可以用来解决目前的问题．下面仿照求曲边梯形面 积的求之． 分割：用任意曲线网格分割 D 为 n 个小区域 1 2 , , , ( Ds Ds L Ds n 图 8­2 ) ．以它们为底把曲顶柱体分 成 n 个小曲顶柱体， 以DVi 表示第i 个小曲顶柱体的体积，则

240第八章重积分V-ZAV.1近似代替：在Ag,中任取一点（5,n），由于在闭区域Ao,内f(5,n）的变化很小，小曲顶柱体可看成小平顶柱体（图8-3)，因而以这个平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积，即AV,=f(5,n)Ao,i=1,2,",n近似求和：整个曲顶柱体的体积近似地等于n个小平顶柱体的体积之和，即V=AV,-(5,n)A0,.正取极限：显然，曲线网格越细密，和式之(5,n)Ao，就越接近曲项柱体的体积V.令小闭区域Ao,=的直径（△g，上任意两点间距离的最大值)为△2（i=1,2.….n)并记=max42,42..42..当曲线网格越细密，即→0时，有V=limZf(5,n,)Ao, .i=l2.非均匀平面薄片的质量设有一密度不均匀平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点（x,y）处的面密度为μx,J)，这里μ(x,J)>0且在D上连续，现在要计算该平面薄片的质量M.我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，那么薄片的质量可以用公式质量=面密度×面积来计算，但现在的面密度u(x,")为变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算．但是上面用来处理曲顶柱体体积问题的“分割、近似代替、近似求和、取极限”方法完全适用于本问题，分割：用任意曲线网格分割D为n个小闭区域Ao,Ao2,,A，（图8-4).以Ac,既代表第i个小薄片又代表其闭区域的面积，以△M，代表小薄片△，的质量，则M=ZAM,Y4.n)Aaot图8-4近似代替：在△g中任取一点（5,n），由于在闭区域△g内面密度μs,n）的变化很小，可近似地看作是均匀的，因而以u(5,n)Ac,近似代替小薄片的质量AM，即AM,=μ(5,n,)Ao,,i=1,2,...,n近似求和：整个薄片的质量近似地等于n个小薄片的质量之和，即M~(Sin)Ao=l取极限：显然，曲线网格越细密，和式u(5i,n.)Ac,就越接近整个薄片的质量M.令小闭区域△o,的直径为i=1,2,,n)，并记=max(,")．当曲线网格越细密，即→0时，有

240 第八章 重积分 1 = . n i  i  V V = ÂD 近似代替：在Ds i 中任取一点( , ) i i x h ，由于在闭区域Ds i 内 ( , ) i i  f x h 的变化很小，小曲顶柱体可看 成小平顶柱体(图 8­3)，因而以这个平顶柱体的体积近似代替小曲顶柱体的体积，即 ( , ) , Vi i i i  D ª f x h Ds i = 1,2,L ,n . 近似求和：整个曲顶柱体的体积近似地等于n 个小平顶柱体的体积之和，即 1 1 = ( , ) n n i i i i  i i  V V f x h s = = ÂD ª Â D ． 取极限：显然，曲线网格越细密，和式 1 ( , ) n i i i  i  f x h s = Â D 就越接近曲顶柱体的体积V . 令小闭区域 Ds i 的直径( Ds i 上任意两点间距离的最大值)为Δli (i = 1,2,L ,n) , 并记 m 1 2 ax{Δ ,Δ , ,Δ } l = l l ln ××× ．当曲线网 格越细密，即l Æ 0 时，有 0 1 lim ( , ) n i i i  i  V f l x h s Æ = = Â D ． 2．非均匀平面薄片的质量 设有一密度不均匀平面薄片占有 xOy 面上的闭区域 D ，它在点(x, y) 处的面密度为 μ (x, y) ，这里 μ (x, y) > 0 且在 D 上连续，现在要计算该平面薄片的质量M ． 我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，那么薄片的质量可以用公式 质量= 面密度¥ 面积 来计算．但现在的面密度 μ (x, y) 为变量，薄片的质量就不能直接用上式来计箅．但是上面用来处理曲 顶柱体体积问题的“分割、近似代替、近似求和、取极限”方法完全适用于本问题． 分割：用任意曲线网格分割 D 为 n 个小闭区域 1 2 , , , Ds Ds L Ds n （图 8­4）．以Ds i 既代表第i 个小 薄片又代表其闭区域的面积，以DMi 代表小薄片Ds i 的质量，则 1 = . n i  i  M M = ÂD 图 8­4  近似代替：在Ds i 中任取一点( , ) i i x h ，由于在闭区域Ds i 内面密度 ( , ) i i  μ x h 的变化很小，可近似地 看作是均匀的，因而以 ( , ) i i i  μ x h Ds 近似代替小薄片的质量DMi ，即 ( , ) , M i i i i  D ª μ x h Ds i = 1,2,L ,n . 近似求和：整个薄片的质量近似地等于n 个小薄片的质量之和，即 1 ( , ) . n i i i  i  M  μ x h s = ª Â D 取极限：显然，曲线网格越细密，和式 1 ( , ) n i i i  i  μ x h s = Â D 就越接近整个薄片的质量M .令小闭区域Ds i 的直径为Δli (i = 1,2,L ,n) , 并记 m 1 2 ax{Δ ,Δ , ,Δ } l = l l ln ××× ．当曲线网格越细密，即l Æ 0 时，有

241第一节二重积分的概念与性质M =lim Zu(5i,n,)Ao, .101s上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限，在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限，因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义，3．二重积分的定义定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将D分成n个小闭区域，用Ao,(i=1,2,,n)代表第i个小闭区域，也代表它的面积，在每个Ao,中取点(5,n)，作乘积f(5,n)Ao,，并求和(5,n,)Ao,记表示A,的直径，且=max(A,,A).如果极限lim(5,n)A,存在，i=l0=且与D的分割方法及(5,n)的取法无关，则称f(x,y)在D上可积，并称此极限为f(x,J)在D上的的二重积分，记作f(xy)da，即JJ f(x,y)do=lim(5,n)Ao,,10D其中f(x,y)称为被积函数，do称为面积元素，D称为积分区域，f(x,y)d叫做被积表达式，x与y之(5,n)Ao,称为积分和.称为积分变量，i=1在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计），其余的小闭区域都是矩形闭区域（图8-5）Jt4a92-Ax图8-5设矩形闭区域A,的边长为Ax,和Ayx，则Ac,=AxAy·因此在直角坐标系中，有时也把面积元素do记作dxdy，而把二重积分记作[[ (x, y)da = J] f(x, y)dxdy ,0其中dxdv叫做直角坐标系中的面积元素，这里需要指出，当函数(x,J)在闭域D上连续时，积分和的极限必存在，也就是说，函数f(x,y)在D上的二重积分存在：我们总假定函数f(x,y)在闭域D上连续，所以f(x,J)在D上的二重积分存在，以后的讨论中不再每次说明，利用二重积分的定义，前面所讨论的两个实际问题可以分别表示如下：以曲面z=f(xy）（f(x,y)≥O)为顶，xOy平面内的有界区域D为底的曲顶柱体的体积V=[f(x,y)da .D密度为μ(x,)的平面薄片D的质量M=u(x,y)d

第一节 二重积分的概念与性质 241 0 1 lim ( , ) n i i i  i  M  μ l x h s Æ = = Â D ． 上面两个问题的实际意义虽然不同， 但所求量都归结为同一形式的和的极限，在物理、力 学、 几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限， 因此我们要一般地研究 这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义． 3．二重积分的定义 定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将 D 分成 n 个小闭区域，用 Ds i (i =1,2,××× ,n) 代表 第 i 个小闭区域，也代表它的面积，在每个 Ds i 中取点 ( , ) i i x h ，作乘积 ( , ) i i i  f x h Ds ，并求和 1 ( , ) n i i i  i  f x h s = Â D ． 记Δli 表示Ds i 的直径， 且 m 1 2 ax{Δ ,Δ , ,Δ } l = l l ln ××× ． 如果极限 0 1 lim ( , ) n i i i  i  f l x h s Æ = Â D 存在， 且与 D 的分割方法及( , ) i i x h 的取法无关，则称 f (x, y)在 D 上可积，并称此极限为 f (x, y)在 D 上的的二 重积分，记作 ( , ) D  f x y ds ÚÚ ，即 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i  D  i  f x y d f l s x h s Æ = = Â D ÚÚ ， 其中 f (x, y)称为被积函数，ds 称为面积元素， D 称为积分区域， f (x, y)ds 叫做被积表达式， x 与 y  称为积分变量， 1 ( , ) n i i i  i  f x h s = Â D 称为积分和． 在二重积分的定义中对闭区域 D 的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网 来划分 D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外 ( 求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的 极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计) ，其余的小闭区域都是矩形闭区域( 图 8­5 ) ． 图 8­5  设矩形闭区域 Ds i 的边长为Δ i  x 和 Δ k  y  ，则 i = Δ i Δ k  Ds x × y ．因此在直角坐标系中，有时也把面积 元素ds 记作 dxdy ，而把二重积分记作 ( , ) = ( , ) D D  f x y dσ  f x y dxdy ÚÚ ÚÚ ， 其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素． 这里需要指出，当函数 f (x, y) 在闭域 D 上连续时，积分和的极限必存在，也就是说，函数 f (x, y)在 D 上的二重积分存在．我们总假定函数 f (x, y)在闭域 D 上连续，所以 f (x, y)在 D 上的二重 积分存在，以后的讨论中不再每次说明． 利用二重积分的定义，前面所讨论的两个实际问题可以分别表示如下： 以曲面 z = f (x, y) ( f (x, y) ³ 0) 为顶， xOy 平面内的有界区域 D 为底的曲顶柱体的体积 ( , ) D  V = f x y ds ÚÚ ． 密度为 μ (x, y) 的平面薄片 D 的质量 ( , ) D  M  = μ x y ds ÚÚ ．

242第八章重积分4.二重积分的几何意义一般的，如果f(x,J)≥0，被积函数f(x,J)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,J)处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f(x,y)是负的，柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果f(x,y)在D的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么f(x,y)在D上的二重积分就等于xOy面上方的柱体体积减去xOy面下方的柱体体积所得之差。二、二重积分的性质从重积分的定义可以看出，重积分与定积分本质上是一致的，都是反映函数整体性质的一个量，且定义方式也是一样的.因此定积分的所有性质都可以平移到重积分上来，以下仅对二重积分列出其有关性质性质1运算的线性性）设α，β为常数，则[αf(x,y)+ βg(x, y)]da=α[ f(x,y)da +β[[g(x, y)da .DD性质2(二重积分对区域的可加性）如果积分区域D可以分解成，D和D,两个部分，则：[ f(x,y)da=Jf f(x,y)da+[[f(x,y)do二重积分对区域的可加性可以把它推广至多个部分。性质3当被积函数(x,)=1时，二重积分的值等于区域的面积，即区域D的面积A=[Jd性质4如果在D上f(x,y)≤p(x,y)，则有[f(x,y)d≤[[o(x,y)d'DD性质5（二重积分的估值定理）如果f(x,y)在D上的最大值和最小值分别为M和m，区域D的面积为A，则mA≤[[(x,y)dg≤MA .性质6（二重积分的中值定理）设f(x,y)在D上连续，则在D上至少存在一点(5,n)，使[Lf(x,y)do= f(5,n)-A.D证由性质5可得：-([ f(x, y)do≤M ,n<AD由于二[f(x,y)do是介于m和M之间的数值.由闭域上连续函数的介值定理可知：在D上至少存在A一点(5,n)，使f(x,y)daf(5,n)这个值也是f(x,J)在D上的平均值.例1设f(x,y)在区域上可积，求证[(xy)da[f(x,y)dD证在D上f(x,)≥0或f(x,j)≤0时，有[[(x,y)da≥0或[[(x,)d≤0D-(x,y)f(x,y)≤(x,y)

242 第八章 重积分 4．二重积分的几何意义 一般的，如果 f (x, y) ³ 0 ，被积函数 f (x, y)可解释为曲顶柱体的顶在点 (x, y) 处的竖坐标，所以二 重积分的几何意义就是柱体的体积.如果 f (x, y)是负的，柱体就在 xOy 面的下方，二重积分的绝对值仍 等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果 f (x, y)在 D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部 分区域上是负的，那么 f (x, y)在 D 上的二重积分就等于 xOy 面上方的柱体体积减去 xOy 面下方的柱体 体积所得之差． 二、二重积分的性质 从重积分的定义可以看出，重积分与定积分本质上是一致的，都是反映函数整体性质的一个量， 且定义方式也是一样的.因此定积分的所有性质都可以平移到重积分上来，以下仅对二重积分列出其有 关性质.  性质 1  (运算的线性性) 设a ， b 为常数，则 [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) D D D  a f x y + b g x y ds =a f x y ds + b g x y ds ÚÚ ÚÚ ÚÚ ． 性质 2 (二重积分对区域的可加性) 如果积分区域 D 可以分解成， D 1和 D 2 两个部分，则： 1 2  ( , ) ( , ) ( , ) D D D  f x y ds = f x y ds + f x y ds ÚÚ ÚÚ ÚÚ ． 二重积分对区域的可加性可以把它推广至多个部分． 性质 3  当被积函数 f (x, y) = 1时，二重积分的值等于区域的面积，即区域 D 的面积 D  A = ds ÚÚ ． 性质 4  如果在 D 上 f (x, y) £ j(x, y) ，则有 ( , ) ( , ) D D  f x y ds £ j x y ds ÚÚ ÚÚ ． 性质 5  (二重积分的估值定理) 如果 f (x, y)在 D 上的最大值和最小值分别为M 和 m ，区域 D 的面 积为 A ，则 ( , ) D  mA £ f x y ds £ MA ÚÚ ． 性质 6  （二重积分的中值定理）设 f (x, y)在 D 上连续，则在 D 上至少存在一点(x,h) ，使 ( , ) ( , ) D  f x y ds = f x h × A ÚÚ ． 证 由性质 5 可得： 1 ( , ) D  m f x y d M  A £ s £ ÚÚ ， 由于 1 ( , ) D  f x y d A s ÚÚ 是介于 m 和 M 之间的数值．由闭域上连续函数的介值定理可知：在 D 上至少存在 一点(x,h) ，使 1 ( , ) ( , ) D  f f x y d A x h = s ÚÚ ， 这个值也是 f (x, y)在 D 上的平均值． 例 1  设 f (x, y)在区域 D 上可积，求证 ( , ) ( , ) D D  | f x y ds |£ | f x y | ds ÚÚ ÚÚ ． 证 在 D 上 f (x, y) ³ 0 或 f (x, y) £ 0 时，有 ( , ) 0 D  f x y ds ³ ÚÚ 或 ( , ) 0 D  f x y ds £ ÚÚ ， - | f (x, y)|£ f (x, y) £| f (x, y)|．

243第一节二重积分的概念与性质故有Jjif(x,y)]da≤[] f(x,y)da≤Jj1f(x, )Ida,即I[ (x, y)do≤ [ 1f(x, y)]do .例2求f(x)=R-x2-在区域D：x+≤R上的平均值解由二重积分的几何意义可知，{(x,)d是半个球体的体积，其值为元R3．D的面积3A=元R2.故在D上，f(x,y)的平均值为2RF(x, y)da=f(E,n)=AJ33．对称区域上奇偶函数的积分性质定理4设f(x,y)在有界闭域D上连续,若D关于x轴对称，则[o,f(x,y)对y为奇函数[f(x,y)da=2 [[ (x, y)do,f(x,y)对y为偶函数其中D为D在x轴的上半平面部分定理5设f(x,J)在有界闭域D上连续,若D关于y轴对称，则[o,f(x,y)对x为奇函数(/f(x,y)da =2[[f(x,y)do,f(x,y)对x为偶函数其中D,为D在y轴的右半平面部分定理6设f(x,J)在有界闭域D上连续,若D关于原点对称，则[0,f(-x,-y)=-f(x,y),(x,y)e D,J(x,y)d =2[(x,y)do,f(-x,-y)= f(x,y),(x,y)e D,DD其中D为D的上半平面或右半平面定理7设f(x,J)在有界闭域D上连续，若D关于直线y=x对称，则J (x,y)da= J (y,x)doD若D=D,UDs,D4,D,分别为D在y=x的上方与下方部分,则Jf f(x, y)dg = Jf f(y,x)doD.D

第一节 二重积分的概念与性质 243 故有 ( , ) ( , ) ( , ) D D D  - | f x y |ds £ f x y ds £ | f x y | ds ÚÚ ÚÚ ÚÚ ， 即 ( , ) ( , ) D D  | f x y ds |£ | f x y | ds ÚÚ ÚÚ ． 例 2  求 2 2 2 f (x, y) = R - x - y 在区域 D ： 2 2 2 x + y £ R 上的平均值． 解 由二重积分的几何意义可知， ( , ) D  f x y ds ÚÚ 是半个球体的体积，其值为 2 3 3 p R ． D 的面积 2 A = pR ．故在 D 上， f (x, y) 的平均值为 1 2 ( , ) ( , ) 3 D  f f x y d R  A x h = s = ÚÚ ． 3．对称区域上奇偶函数的积分性质 定理 4  设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续,若 D 关于 x 轴对称，则 1  0,                               ( , ) ( , ) 2 ( , ) ,          ( , ) D  D  f x y y  f x y d f x y d f x y y s s Ï Ô = Ì Ô Ó ÚÚ ÚÚ 对 为奇函数 对 为偶函数 其中 D 1为 D 在 x 轴的上半平面部分.  定理 5  设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续,若 D 关于 y 轴对称，则 2  0,                             ( , ) ( , ) 2 ( , ) ,        ( , ) D  D  f x y x  f x y d f x y d f x y x s s Ï Ô = Ì Ô Ó ÚÚ ÚÚ 对 为奇函数 对 为偶函数 其中 D 2 为 D 在 y 轴的右半平面部分.  定理 6  设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续,若 D 关于原点对称，则 3  0,                           ( , ) ( , ),( , ) ,  ( , ) 2 ( , ) ,          ( , ) ( , ),( , ) , D  D  f x y f x y x y D  f x y d f x y d f x y f x y x y D s s Ï - - = - Œ Ô = Ì - - = Œ Ô Ó ÚÚ ÚÚ 其中 D 3 为 D 的上半平面或右半平面.  定理 7 设 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续,若 D 关于直线 y = x 对称，则 ( , ) ( , ) D D  f x y ds = f y x ds ÚÚ ÚÚ 若 D = D4 U D5 , D4 , D 5 分别为 D 在 y = x 的上方与下方部分,则 4 5  ( , ) ( , ) D D  f x y ds = f y x ds ÚÚ ÚÚ

244第8章重积分第二节二重积分的计算计算二重积分从定义上看是要求积分和式的极限，这在实际上是不可行的。实际计算二重积分的基本思路是：在二重积分存在的前提下，利用特殊的两组曲线，通常是所谓的坐标线来对积分区域作分划，以此化成做两个相串的定积分，叫做二次积分积分（或累次）：而化二次积分的实质是把二重极限化成二次极限来计算：因此，同一个二重积分在不同的坐标系中（例如直角坐标系、极坐标系等）可以化为不同形式的二次积分。一、利用直角坐标计算二重积分下面用几何观点来讨论二重积分[[f(x,y)da的计算间题，在讨论中我们假定f(x,y)≥0.1.直角坐标系下二次积分计算公式在直角坐标平面上，由连续曲线y=g(x),y=p(x)(g(x)≤p(x)及直线x=a,x=b(a≤b)所围成的区域D称为X型区域（图8-6)，用不等式表示为D:a≤x≤b,p(x)≤y≤p(x)其特点是过D内部任意一点且平行于y轴的直线与D的边界交点不多于两点，y=o,(x)J-(x)图8-6类似地，直角坐标平面上由连续曲线x=(y),x=(y)(y,(y)≤(y))及直线y=c,y=d所围成的区域D称为Y型区域（图8-7)，用不等式表示为D:,(y)≤x≤w,(),c≤y≤d其特点是过D内部任意一点且平行于x轴的直线与D的边界交点不多于两点，价.W()图8-7注意：如果积分区域D是一些规则区域如矩形、圆或椭圆形、三角形等，那么D既是X型区域又是Y型区域：如果积分区域D如图8-8（@)那样，任意穿过D内部且平行于v轴的直线与D的边界交点不多于两点，而有一部分使穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交多于两点，那么D是X型区域，但不是Y型区域，如果积分区域D如图8-8（b）那样，任意穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界交点不多于两点，而有一部分使穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交多于两点，那么D不是X型区域，是Y型区域：如果积分区域D如图8-8（c）那样，既有一部分使穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交多于两点：又有一部分使穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交多于两点，那么D既不是X型区域，又不是Y型区域

244 第 8 章 重积分 第二节 二重积分的计算 计算二重积分从定义上看是要求积分和式的极限，这在实际上是不可行的．实际计算二重积分的 基本思路是：在二重积分存在的前提下，利用特殊的两组曲线，通常是所谓的坐标线来对积分区域作 分划，以此化成做两个相串的定积分，叫做二次积分积分(或累次) ．而化二次积分的实质是把二重极 限化成二次极限来计算．因此，同一个二重积分在不同的坐标系中(例如直角坐标系、极坐标系等)可以 化为不同形式的二次积分． 一、利用直角坐标计算二重积分 下面用几何观点来讨论二重积分 ( , ) D  f x y dσ ÚÚ 的计算问题，在讨论中我们假定 f (x, y) ³ 0 ． 1. 直角坐标系下二次积分计算公式 在直角坐标平面上，由连续曲线 1 2 1 2 y =j (x), y =j (x)(j (x) £j (x))及直线 x = a, x = b(a £ b) 所围成的 区域 D 称为 X 型区域(图 8­6)，用不等式表示为 D : 1 2 a £ x £ b,j (x) £ y £ j (x) ． 其特点是过 D 内部任意一点且平行于 y 轴的直线与 D 的边界交点不多于两点． 图 8­6  类似地，直角坐标平面上由连续曲线 1 2 1 2 x =y ( y), x =y ( y)(y ( y) £y (y))及直线 y = c, y = d 所围成的 区域 D 称为 Y 型区域(图 8­7)，用不等式表示为 D : 1 2 y ( y) £ x £y ( y), c £ y £ d ． 其特点是过 D 内部任意一点且平行于 x 轴的直线与 D 的边界交点不多于两点． 图 8­7  注意：如果积分区域 D 是一些规则区域如矩形、圆或椭圆形、三角形等，那么 D 既是 X 型区域又 是Y 型区域；如果积分区域 D 如图 8­8(a)那样，任意穿过 D 内部且平行于 y 轴的直线与 D 的边界交点 不多于两点，而有一部分使穿过 D 内部且平行于 x 轴的直线与 D 的边界相交多于两点，那么 D 是 X 型 区域，但不是Y 型区域． 如果积分区域 D 如图 8­8(b)那样， 任意穿过 D 内部且平行于 x 轴的直线与 D 的 边界交点不多于两点，而有一部分使穿过 D 内部且平行于 y 轴的直线与 D 的边界相交多于两点，那么 D 不是 X 型区域，是Y 型区域．如果积分区域 D 如图 8­8(c)那样，既有一部分使穿过 D 内部且平行于 x 轴的直线与 D 的边界相交多于两点；又有一部分使穿过 D 内部且平行于 y 轴的直线与 D 的边界相交 多于两点，那么 D 既不是 X 型区域， 又不是Y 型区域．

245第二节二重积分的计算(6)(c)(a)图8-8据二重积分的几何意义可知，[f(x,y)dg的值等于以x型区域D为底，以曲面z=f(x,)为顶的D曲顶柱体的体积（图8-9)(xy)f(xy2(x)P2(x)p,(x)=p,(x)图8-9图8-10用平行于yOz坐标面的平面x=x(a≤x≤b)去截曲顶柱体得一截面，它是一个以区间[9(x),9,())为底，以==f(x,J)为曲边的曲边梯形(图8-9)，其面积为A(x)=["f(xo,y)dy.一般地，过区间[a,b]上任一点且平行于yO坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为A(x)= [f(x,y)dy,其中y是积分变量，x在积分时保持不变，因此A(x)是x的函数，在区间[a,b]上，用平行于yOz坐标面的平面把曲顶柱体切割成许多薄片(图8-10)在位于x与x+d之间的薄片的厚度为dx，于是薄片的体积微元为dV = A(x)dx.所以曲顶柱体的体积为V=f"'dv -"A(x)dx='tfa( (x,y)dy]dx,即JJ(x,y)dxdy=a((x,y)dyldx'axa(, (x,)dy该公式是直角坐标系下求二重积分的二次积分公式，称为X型公式，它是先对y，后对x的二次积分．也就是先把x当作常数，把f(xy)看作y的函数，并对y从(x)到,(x)的定积分：这样积分的结果是x的函数：然后把这个结果在区间[a,b]上再对x积分在上述讨论中，假定了f(x,Jy)≥0，但公式并不受此条件限制，没有这个假设公式仍然成立，类似地，可得以Y型区域D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积的Y型公式：[[(x, )ddy=I't (x,y)dxdy= d) (,y)dx.Y型公式是先对x，后对y的二次积分也就是先把y当作常数，把f(x,y)看作x的函数，并对x从y(y)到y(y)的定积分．这样积分的结果是y的函数：然后把这个结果在区间[c,d上再对y积分对于积分区域D既非X型又非Y型的情形，通过适当增加辅助线的方法，将其分成一些小块（图8-11),而每小块都至少是X型或Y型区域，再利用二次积分公式及重积分对区域的可加性就可算得二重积分

第二节 二重积分的计算 245 图 8­8  据二重积分的几何意义可知， ( , ) D  f x y dσ ÚÚ 的值等于以 X 型区域 D 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶的 曲顶柱体的体积(图 8­9)． 图 8­9  图 8­10  用 平行于 yOz  坐 标面 的平面 0 0 x = x (a £ x £ b) 去 截曲顶 柱体得 一截面 ，它是 一个以 区间 1 0 2 0 [j (x ),j (x )]为底，以 0 z = f (x , y) 为曲边的曲边梯形(图 8­9)，其面积为 2 0  1 0  ( ) 0 0 ( ) ( ) ( , ) x  x  A x f x y dy j j = Ú ． 一般地，过区间[a,b ]上任一点且平行于 yOz 坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为 2 1  ( ) ( ) ( ) ( , ) x  x  A x f x y dy j j = Ú ， 其中 y 是积分变量， x 在积分时保持不变．因此 A(x) 是 x 的函数． 在区间[a,b ] 上，用平行于 yOz 坐标面的平面把曲顶柱体切割成许多薄片(图 8­10)．在位于 x 与 x + dx 之间的薄片的厚度为dx ，于是薄片的体积微元为 dV = A(x)dx ． 所以曲顶柱体的体积为 2 1  ( ) ( ) ( ) [ ( , ) ] b b b x  a a a x  V dV A x dx f x y dy dx j j = = = Ú Ú Ú Ú ， 即 2 2  1 1  ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) [ ( , ) ] ( , ) b x b x  a x a x  D  f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy j j j j = ÚÚ Ú Ú Ú Ú @ ． 该公式是直角坐标系下求二重积分的二次积分公式，称为 X 型公式，它是先对 y ，后对 x 的二次 积分．也就是先把 x 当作常数，把 f (x, y)看作 y 的函数，并对 y 从 1 j (x) 到 2 j (x)的定积分．这样积分的 结果是 x 的函数．然后把这个结果在区间[a,b ]上再对 x 积分． 在上述讨论中，假定了 f (x, y) ³ 0 ，但公式并不受此条件限制，没有这个假设公式仍然成立． 类似地，可得以Y 型区域 D 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶的曲顶柱体的体积的Y 型公式： 2 2  1 1  ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) [ ( , ) ] ( , ) d y d y  c y c y  D  f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx y y y y = ÚÚ Ú Ú Ú Ú @ ． Y 型公式是先对 x ，后对 y 的二次积分．也就是先把 y 当作常数，把 f (x, y)看作 x 的函数，并对 x 从 1 y ( y) 到 2 y ( y) 的定积分．这样积分的结果是 y 的函数．然后把这个结果在区间[c,d ] 上再对 y 积分． 对于积分区域 D 既非 X 型又非Y 型的情形，通过适当增加辅助线的方法，将其分成一些小块(图 8­11),而每小块都至少是 X 型或 Y 型区域， 再利用二次积分公式及重积分对区域的可加性就可算得二重 积分．

246第8章重积分.图8-112.直角坐标系下二次积分的计算直角坐标系下，把二重积分化为二次积分的计算，大致需要以下几个过程：1）画积分区域D的草图，求出D的边界曲线的交点坐标2)确定积分区域D的类型，即选择X型公式还是Y型公式，也就是选择积分次序.确定积分区域D的类型，其第一原则-函数原则：必须保证各层积分的原函数能够求出：第二原则一区域原则：若积分区域是X型（或Y型），则先对y（或x型）积分。第三原则一分块原则：若积分区域既是X型又是型Y且满足第一原则时，要使积分分块最少3)用几何法确定二次积分的上下限.如果积分区域D是X型的（图8-12(α)），后积分的x先确定下限a和上限b，其次限内划条线，即在x的积分限[a,b]内上任取一点x，过x作平行于y轴的直线，该直线穿过区域D，最后是先交下限写，后交上限见，即穿入点与穿出点的纵坐标g(x)、(x)就是积分变量y的下限和上限类似地，如果积分区域D是Y型的（图8-12(b)），后积分的y先确定积分下限c和上限d，其次限内划条线，即在y的积分限[c,d]内任取一点y，过y作平行于x轴的直线，该直线穿过区域D，最后是先交下限写，后交上限见，即穿入点与穿出点的横坐标(y)、()就是积分变量x的下限和上限．将二次积分的上下限的确定概括为：后积先定限，限内划条线，先交下限写，后交上限见，4)将被积函数及上下限代入二次积分计算公式，求出二重积分：一般二次积分中的两个定积分的积分下限未必小于上限，但表示重积分的二次积分中的两个定积分的积分下限必须小于上限，w(y)(b)(a)图8-12例1计算[[xydxdy，其中D是由x=1，y=x，y=0所围成的区域.1,1(a)(b)图8-13解法1首先画出积分区域D的草图，其边界交点(0.0)(1,0)(1,1)，如图8-13(α)所示.选择D为X型区域D:0≤x≤1,0≤y≤x则积分变量x的下限和上限分别为0,1.在x的积分限[0,1]上任意取定一个x值，过x作平行于y轴的直线，该直线穿过区域D，穿入点与穿出点的纵坐标分别为O,x，即积分变量y的积分下限和上限分别为0,x：利用X型公式得

246 第 8 章 重积分 图 8­11 2. 直角坐标系下二次积分的计算 直角坐标系下，把二重积分化为二次积分的计算，大致需要以下几个过程： 1)画积分区域 D 的草图，求出 D 的边界曲线的交点坐标． 2)确定积分区域 D 的类型， 即选择 X 型公式还是Y 型公式， 也就是选择积分次序． 确定积分区域 D  的类型，其第一原则­­函数原则：必须保证各层积分的原函数能够求出；第二原则—区域原则：若积分 区域是 X 型（或Y 型），则先对 y （或 x 型）积分．第三原则—分块原则：若积分区域既是 X 型又是型 Y 且满足第一原则时，要使积分分块最少． 3)用几何法确定二次积分的上下限．如果积分区域 D 是 X 型的（图 8­12(a)） ，后积分的 x 先确定 下限a 和上限b ，其次限内划条线，即在 x 的积分限[a,b ]内上任取一点 x ，过 x 作平行于 y 轴的直线， 该直线穿过区域 D ，最后是先交下限写，后交上限见，即穿入点与穿出点的纵坐标 1 j (x) 、 2 j (x) 就是 积分变量 y 的下限和上限．类似地，如果积分区域 D 是Y 型的（图 8­12(b)），后积分的 y 先确定积分下 限c 和上限 d ，其次限内划条线，即在 y 的积分限[c,d ] 内任取一点 y ，过 y 作平行于 x 轴的直线，该 直线穿过区域 D ，最后是先交下限写，后交上限见，即穿入点与穿出点的横坐标 1 y ( y) 、 2 y ( y) 就是积 分变量 x 的下限和上限．将二次积分的上下限的确定概括为：后积先定限，限内划条线，先交下限写， 后交上限见． 4)将被积函数及上下限代入二次积分计算公式，求出二重积分．一般二次积分中的两个定积分的 积分下限未必小于上限，但表示重积分的二次积分中的两个定积分的积分下限必须小于上限． 图 8­12  例 1  计算 2 D  xy dxdy ÚÚ ，其中 D 是由 x =1， y = x ， y = 0所围成的区域． 图 8­13  解法1  首先画出积分区域 D 的草图，其边界交点(0,0),(1,0),(1,1) ，如图8­13(a)所示．选择 D 为 X  型区域 D: 0 £ x £1, 0 £ y £ x ．则积分变量 x 的下限和上限分别为 0,1 ．在 x 的积分限[0,1] 上任意取定 一个 x 值，过 x 作平行于 y 轴的直线，该直线穿过区域 D ，穿入点与穿出点的纵坐标分别为0, x ， 即积 分变量 y 的积分下限和上限分别为0, x ．利用 X 型公式得

247第二节二重积分的计算'rdx=![] xy'dxdy =1dxxydy=3J015解法2积分区域D的草图，其边界交点(0,0),(1,0)(1,1)，如图8-13(b)所示.选择D为Y型区域D：y≤x≤1,0≤y≤1.则积分变量y的下限和上限分别为0,1.在y的积分限[0,1]上任意取定一个y值，过y作平行于x轴的直线，该直线穿过区域D，穿入点与穿出点的横坐标分别为y,1，即积分变量y的积分下限和上限分别为y,1.利用Y型公式得13-(y(1-y")dy =[xydxdy=['dy[xydx=y'[x'],dy =-本例中选择积分区域D为X型区域或Y型区域的两种解法，尽管它们的积分顺序不同，但解题过程的难易程度不分伯仲。例2求[[xydo，其中D是由y=x，y=2-x和x轴所围成的区域.解法1首先画出积分区域D的草图，其边界交点(0,0),(2,0),(1,1)，如图8-14(a)所示．选择D为X型区域，那么D分为两个子区域D:0≤x≤10≤y≤x，D,:1≤x≤2,0≤y≤2-x，当积分变量x的积分下限和上限分别为0,1时，在x的积分限[0,1]上任意取定一个x值，过x作平行于y轴的直线穿过区域D，穿入点与穿出点的纵坐标分别为0,x，即积分变量y的积分下限和上限分别为0,x：当积分变量x的积分下限和上限分别为1,2时，在x的积分限[1,2]上任意取定一个x值，过x作平行于y轴的直线穿过区域D，，穿入点与穿出点的纵坐标分别为0,2-x，即积分变量y的积分下限和上限分别为0,2-x：利用X型公式及重积分的对区域可加性得I a+a+da(2-=+pr-+++-xdx+2.J0834.1(a)(b)图8-14解法2积分区域D的草图，其边界交点为(0,0)(2,0),(1,1)，如图8-14(b)所示。选择D为Y型区域D:y≤x≤2-y,0≤y≤1，则积分变量y的下限和上限分别为0,1.在y的积分限[0,1]上任意取定一个值，过y作平行于x轴的直线穿过区域D，穿入点与穿出点的纵坐标分别为y,2-y，即积分变量x的积分下限和上限分别为y,2-y.利用X型公式得[ xdxdy=Ja,xdx=Jr/2]-dy =J(2y-2y)dy=[y-2/3] =3本例中选择积分区域D为X型区域或Y型区域的两种解法，它们的积分顺序不同，解题过程的难易程度出现差异，显然解法2比解法1简单一些例3计算[【xydo，其中D是抛物线y=x与直线y=x-2所围成的区域

第二节 二重积分的计算 247 2 D  xy dxdy ÚÚ 1 2 0 0 x  = dx xy dy Ú Ú 1 4 0 1 3 = x dx Ú 1 15 = ． 解法 2  积分区域 D 的草图，其边界交点(0,0),(1,0),(1,1) ，如图 8­13(b)所示．选择 D 为Y 型区域 D: y £ x £1, 0 £ y £ 1．则积分变量 y 的下限和上限分别为 0,1 ．在 y 的积分限[0,1] 上任意取定一个 y  值，过 y 作平行于 x 轴的直线，该直线穿过区域 D ，穿入点与穿出点的横坐标分别为 y,1， 即积分变量 y 的积分下限和上限分别为 y,1．利用Y 型公式得 2 D  xy dxdy ÚÚ 1 1 2 0 y  = dy xy dx Ú Ú 1 2 2 1 0 1 [ ] 2 y  = y x dy Ú 1 2 2 0 1 (1 ) 2 = y - y dy Ú 3 5 1 0 1 1 1 [ ] 2 3 5 = y - y 1 15 = ． 本例中选择积分区域 D 为 X 型区域或Y 型区域的两种解法，尽管它们的积分顺序不同，但解题过 程的难易程度不分伯仲． 例 2 求 D  xyds ÚÚ ，其中 D 是由 y = x ， y = 2 - x 和 x 轴所围成的区域． 解法 1  首先画出积分区域 D 的草图，其边界交点 (0,0),(2,0),(1,1) ，如图 8­14(a)所示．选择 D 为 X 型区域，那么 D 分为两个子区域 1 D : 0 £ x £1, 0 £ y £ x ， 2 D :1£ x £ 2, 0 £ y £ 2 - x ，当积分变量 x 的 积分下限和上限分别为0,1时，在 x 的积分限[0,1] 上任意取定一个 x 值，过 x 作平行于 y 轴的直线穿过 区域 D 1，穿入点与穿出点的纵坐标分别为0, x ， 即积分变量 y 的积分下限和上限分别为0, x ．当积分变 量 x 的积分下限和上限分别为1,2 时，在 x 的积分限[1,2] 上任意取定一个 x 值，过 x 作平行于 y 轴的直 线穿过区域 D 2 ，穿入点与穿出点的纵坐标分别为 0,2 - x ，即积分变量 y 的积分下限和上限分别为 0,2 - x ．利用 X 型公式及重积分的对区域可加性得 1 2 2 0 0 1 0 + x x  D  xydxdy dx xydy dx xydy - = ÚÚ Ú Ú Ú Ú 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 [ ] + [ ] 2 2 x x  x y dx x y dx - = Ú Ú 1 2 3 2 0 1 1 1 + (2 ) 2 2 = x dx x - x dx Ú Ú 4 1 2 3 4 2 0 1 1 1 4 1 + [2 + ] 8 2 3 4 = x | x - x x 1 3 = ． 图 8­14  解法 2  积分区域 D 的草图，其边界交点为(0,0),(2,0),(1,1) ，如图 8­14(b)所示．选择 D 为Y 型区域 D: y £ x £ 2 - y, 0 £ y £ 1，则积分变量 y 的下限和上限分别为 0,1 ．在 y 的积分限[0,1] 上任意取定一个 y 值，过 y 作平行于 x 轴的直线穿过区域 D ，穿入点与穿出点的纵坐标分别为 y,2 - y ，即积分变量 x 的积分下限和上限分别为 y,2 - y ．利用 X 型公式得 1 2 1 2 2 0 0 [ 2] y  y  y  y  D  xydxdy dy xydx x y dy - - = = ÚÚ Ú Ú Ú 1 2 2 3 1 0 0 1 (2 2 ) [ 2 3] 3 = y - y dy = y - y = Ú ． 本例中选择积分区域 D 为 X 型区域或Y 型区域的两种解法，它们的积分顺序不同，解题过程的难 易程度出现差异，显然解法 2 比解法 1 简单一些． 例 3  计算 D  xyds ÚÚ ，其中 D 是抛物线 2 y = x 与直线 y = x - 2 所围成的区域．

248第8章重积分解画出积分区域D的草图，其边界交点分别为(1.-1)(4.2)，如图8-15(@）所示.D既是X型的，又是Y的．如果利用Y型公式，可得L,(-y+y+4y+4y)ay =45[ydo-,ayxdx=xydy=8a图8-15如果利用X型公式（如图9-15(b))，则D分为两个子区域D:0≤x≤1-Vx≤y≤/，D,:1≤x≤4,x-2≤y≤Vx，根据重积分的对区域可加性，得JJ xyda = J xydxdy + J xydxdy = J'ax " ydy + ' dx]rydy由此可见，这里用X型公式来计算比较麻烦，上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f(x,y)的特性.例4求两个底面圆半径都等于R的直交圆柱面所围的立体体积，解设两个直圆柱方程为x2+y2=R2，x2+=2=R2利用对称性，只要计算出第一卦限部分（图8-17(a))的体积V，再乘以8即可．所求立体它在第一卦限部分可以看作是一个曲顶柱体，它的底如图8-17(b)所示，利用X型公式，则D的区域为D:0≤x≤R，0≤y≤VR2-x2，它的顶为柱面2=R2-x2：于是，所求立体体积为V=8),=8J VR?-xdo =8f d/R R-dy =8f (R -x)dx=1RDo图8-173.交换积分次序在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，交换二次积分次序的关键是正确画出积分区域的图形，要经历“由限画图和由图定限两个过程，即1)由所给积分的上下限列出表示积分区域D的联立不等式，画出D的草图；2)由D的图形，确定新的积分限，写出新的二次积分.例7计算+a22.dy解该二次积分的积分区域D是X型的，由积分限可知，积分区域D是：D,：≤x≤l≤y≤22D,:1≤x≤2,x≤y≤2,其D的图形如图8-19所示，求得三线的三个交点分别是(1/2,2)，（1,1)及

248 第 8 章 重积分 解 画出积分区域 D 的草图，其边界交点分别为(1,- 1),(4,2) ， 如图 8­15(a) 所示． D 既是 X 型的， 又是Y 的．如果利用Y 型公式，可得 D  xyds ÚÚ 2  2 2 1 y  y  dy xydx + - = Ú Ú 2  2 2 2 1 1 [ ] 2 y  y  x y dy + - = Ú 2 5 3 2 1 1 ( 4 4 ) 2 y y y y dy - = - + + + Ú 45 8 = ． 图 8­15  如 果 利 用 X  型 公 式 ( 如 图 9­15(b)) ， 则 D  分 为 两 个 子 区 域 1 D : 0 £ x £1, - x £ y £ x ， 2 D :1£ x £ 4, x - 2 £ y £ x ，根据重积分的对区域可加性，得 D D1 D 2 xyds = xydxdy + xydxdy ÚÚ ÚÚ ÚÚ 1 4 0 1 2 x x  x x  dx xydy dx xydy - - = + Ú Ú Ú Ú ． 由此可见， 这里用 X 型公式来计算比较麻烦． 上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次 序．这时，既要考虑枳分区域 D 的形状，又要考虑被积函数 f (x, y)的特性． 例 4  求两个底面圆半径都等于 R 的直交圆柱面所围的立体体积． 解 设两个直圆柱方程为 2 2 2 x + y = R  ， 2 2 2 x + z = R  利用对称性，只要计算出第一卦限部分(图 8­17(a))的体积V 1 ，再乘以 8 即可．所求立体它在第一卦限部分可以看作是一个曲顶柱体，它的底如图 8­17(b) 所 示 ， 利 用 X  型 公 式 ， 则 D  的 区 域 为 D: 0 £ x £ R, 2 2 0 £ y £ R - x ， 它 的 顶 为 柱 面 2 2 z = R - x ．于是，所求立体体积为 = 1 V 8V 2 2 = 8 D  R - x ds ÚÚ 2 2  2 2 0 0 8 R R x  dx R x dy - = - Ú Ú 2 2 0 8 ( ) R  = R - x dx Ú 16 3 .  3 = R 图 8­17 3. 交换积分次序 在直角坐标系中，两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段，交换二次积分次序的 关键是正确画出积分区域的图形，要经历 “由限画图”和“由图定限”两个过程，即 1)由所给积分的上下限列出表示积分区域 D 的联立不等式，画出 D 的草图； 2)由 D 的图形，确定新的积分限，写出新的二次积分． 例 7  计算 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 x  x  x x  dx dy dx dy  y y + Ú Ú Ú Ú ． 解 该二次积分的积分区域 D 是 X 型的，由积分限可知，积分区域 D 是： 1 1 1 : 1, 2 2 D x y  x £ £ £ £ ； 2 D :1£ x £ 2, x £ y £ 2 ,其 D  的图形如图 8­19  所示，求得三线的三个交点分别是 (1 2,2) ， (1,1) 及