《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第3章 微分中值定理与导数的应用

第三章中值定理与导数的应用教学提示：我们知道导数是差商的极限：差商刻画的是函数再区间商的平均变化率，而导数刻画的则是函数在一点处的瞬时变化率，也就是说，差商反映了函数在区间上的性态，导数反映了函数在一点处的形态。上章中，我们介绍了导数与微分这两个有密切关系的概念，并集中讨论了如何求各类函数和各种形式所表示的函数的导数，同时推出了求导的基本公式和一套方法与法则，即所谓的微分法.在本章中，我们将利用导数来研究函数本身的某些基本性质．为了便于研究，需要先阐明微分学的几个中值定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具，也是解决实际问题的理论基础.教学要求：掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件及结论：了解三个定理之间的关系，理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义；并会利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式证明有关命题和不等式；掌握运用洛必达法则求极限的方法；掌握函数增减性的判定方法：掌握函数凹凸性的判定方法；掌握函数的极值及其判定法会求最大最小值问题.掌握利用导数研究函数性态描绘函数图像的方法，教学重点：微分中值定理的应用，洛必达法则的应用：用导数研究函数性态，教学难点：利用中值定理证题；综合应用各种方法简便地求出各种极限；泰勒中值定理的条件、结论与应用：利用函数的单调性证明不定式；极值与最值的应用：函数图形的描绘：弧微分公式的推导.第一节微分中值定理在本章中，我们将利用导数来研究函数本身的某些性质，例如，常数的导数为零，当反过来，若以函数f(x)在区间I的导数为零，那么这个函数在区间I是否一定为常数？此问题若从导数的几何意义去考虑，很难想象f(x)在1不是常数，但要想从差商的极限关系式f(x+Ax)- f() =0, xe IlimAx来推出f(x）为常数并不是一望可知的：因而为便于研究，需要去寻找差商与导数之间的直接关系，而不是它们之间的极限关系，这个直接关系就是所谓的微分学基本定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具：也是解决实际问题的理论基础，从而应该是首先需要阐明的一、罗尔定理为了应用方便，先介绍费马定理，费马引理若函数f(x)在点x的某邻域U(x)内有定义，且在点x处可导，如果对任意的xeU(x)，有f(x)≤f(o)(或f(x)≥f())则f(x)=0通常称导数为零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）证不妨设xeU()时，有f(x)≤f().则对x+AreU(x)，有f(x+Ax)≤f()，从而

第三章 中值定理与导数的应用 教学提示: 我们知道导数是差商的极限．差商刻画的是函数再区间商的平均变化率，而导数刻 画的则是函数在一点处的瞬时变化率．也就是说，差商反映了函数在区间上的性态，导数反映了函 数在一点处的形态．上章中，我们介绍了导数与微分这两个有密切关系的概念，并集中讨论了如何 求各类函数和各种形式所表示的函数的导数，同时推出了求导的基本公式和一套方法与法则，即所 谓的微分法．在本章中，我们将利用导数来研究函数本身的某些基本性质．为了便于研究，需要先 阐明微分学的几个中值定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具，也是解决实际问题的理 论基础． 教学要求：掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件及结论；了解三个定理之 间的关系，理解罗尔定理和拉格朗日中值定理的几何意义；并会利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、 柯西中值定理、 泰勒公式证明有关命题和不等式；掌握运用洛必达法则求极限的方法;掌握函数增 减性的判定方法； 掌握函数凹凸性的判定方法；掌握函数的极值及其判定法;  会求最大最小值问 题.掌握利用导数研究函数性态描绘函数图像的方法． 教学重点：微分中值定理的应用，洛必达法则的应用；用导数研究函数性态． 教学难点: 利用中值定理证题；综合应用各种方法简便地求出各种极限；泰勒中值定理的条件、 结论与应用；利用函数的单调性证明不定式；极值与最值的应用；函数图形的描绘；弧微分公式的 推导． 第一节 微分中值定理 在本章中，我们将利用导数来研究函数本身的某些性质，例如，常数的导数为零，当反过来， 若以函数 f (x) 在区间 I 的导数为零，那么这个函数在区间 I 是否一定为常数？此问题若从导数的几 何意义去考虑，很难想象 f (x) 在 I 不是常数，但要想从差商的极限关系式 0  ( ) ( ) lim 0, x f x x f x  x I D Æ x + D - = Œ D 来推出 f (x) 为常数并不是一望可知的．因而为便于研究，需要去寻找差商与导数之间的直接关系， 而不是它们之间的极限关系．这个直接关系就是所谓的微分学基本定理，它是用导数来研究函数本 身性质的重要工具．也是解决实际问题的理论基础，从而应该是首先需要阐明的． 一、罗尔定理 为了应用方便，先介绍费马定理． 费马引理 若函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 0  U(x ) 内有定义，且在点 0 x 处可导，如果对任意的 0  x Œ U(x ) ，有 0  f (x) £ f (x ) (或 0  f (x) ³ f (x ) )， 则 0  f ¢(x ) = 0． 通常称导数为零的点为函数的驻点(或稳定点，临界点)． 证 不妨设 0  x Œ U(x ) 时，有 0  f (x) £ f (x )．则对 0 0  x + Dx Œ U(x ) ，有 0 0  f (x + Dx) £ f (x ) ，从而

75第一节微分中值定理当x>0时，有(g+At)-()≤0;Ax当Arm·因为f(a)=f(b)，所以M和m这两个数中至少有一个不等于f(x)在[a,b)的端点处的函数值，为确定起见，不妨设mf(a)，那么必定在开区间(a,b)内有一点使f()=m，因此，Vxe[a,b]，有f(x)≥f()，从而由费马引理可知，f()=0.罗尔定理的几何意义如图3-1所示，即连续曲线y=f(x）（α≤x≤b)的弧AB上，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则弧上除端点外至少有一点C，在该点处曲线的切线平行于x轴，从而平行于弦AB.o1图3-1必须指出，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见图3-2．习惯上把结论中的称为中值，它不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个f(x)0缺染件1)缺件2)快染件3)图3-2例1设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，证明：存在=(0,1)，使f()+5f'()=0

第一节 微分中值定理 75 当 Dx > 0 时，有 0 0  ( ) ( ) 0 f x x f x  x + D - £ D ； 当 Dx m ．因为 f (a) = f (b) ，所以M 和m 这两个数中至少有一个不等于 f (x) 在[a,b ]的端点处 的函数值．为确定起见，不妨设m ¹ f (a) ，那么必定在开区间(a,b )内有一点x 使 f (x ) = m ．因此， "x Œ [a,b] ，有 f (x) ³ f (x ) ，从而由费马引理可知， f ¢(x ) = 0 ． 罗尔定理的几何意义如图 3­1  所示,  即连续曲线 y = f (x) (a £ x £ b) 的弧 AB 上，除端点外处处 有不垂直于 x 轴的切线，则弧上除端点外至少有一点C ，在该点处曲线的切线平行于 x 轴,  从而平 行于弦 AB ． 图 3­1  必须指出，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将 不一定成立，见图 3­2．习惯上把结论中的 ξ 称为中值，它不一定唯一，可能有一个，几个甚至无 限多个． 图 3­2  例 1  设 f (x) 在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，且 f (0) = f (1) = 0 ，证明：存在x Œ (0,1) ，使 f (x ) +x f ¢(x ) = 0 ．

76第三章中值定理与导数的应用证设F(x)=xf(x)，则函数F(x)在[0,1)上连续，在(0,1)内可导，且F(0)=F(I)，于是在(0,1)内至少存在一点5，使得F（)=0，即f()+5（)=0.讨论方程的根有重要和广泛的实际意义，利用罗尔定理可以帮助讨论某些方程的根的情形．对可导函数y=f(x)在区间(a,b)内，如果f(x)有两个等值点，由罗尔定理，方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根在两个等值点之间；如果f(x)有3个等值点，则方程f(x)=0在(a,b)内至少有两个根；以此类推例2不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方程f(x)=0有几个实根解函数f(x)在R上可导，由于f(x)有3个零点：X=1,予=2,=3.因此方程f(x)=0至少有两个实根：又f(x)=0是二次方程，至多有两个实根所以方程f(x)=0有且仅有两个实根分别落在区间(1,2),(2,3)内二、拉格朗日中值定理罗尔定理中f(α)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到了限制.如果把这个条件取消并保留其余两个条件，并相应的改变结论，就是如下一个十分重要的拉格朗日定理：定理2（拉格朗日中值定理）若函数f(x)满足1】在闭区间[a,b]上连续；2）在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点5，使得F(5)= 1(b)-f(a) b-a该式称为拉格朗日中值公式。在证明拉格朗日定理之前，我们先来看它的几何意义，拉格朗日中值公式左端为曲线在点C处的切线斜率，而右端是弦AB的斜率，如图3-3所示：因此拉格朗日定理的几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处有不垂直x轴的切线。那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线与弦AB平行.图3-3利用罗尔定理来证明拉格朗日定理。由于所证等式F(5)=(b)-/()可转化为等式b-a(5)- ()--()=0.,b-a若把该等式左端看作是函数(x)在点的导数，即4(5)= F(5)- (b)- 1(a)b-a那么可以构造辅助函数9(t)= (1)- (6)-(a)x,b-a在[a,b]上满足罗尔定理

76 第三章 中值定理与导数的应用 证 设 F(x) = xf (x) ，则函数 F(x) 在[0,1] 上连续，在(0,1) 内可导，且 F(0) = F(1) ，于是在(0,1) 内 至少存在一点x ，使得 F¢(x ) = 0 ，即 f (x ) +x f ¢(x ) = 0 ． 讨论方程的根有重要和广泛的实际意义，利用罗尔定理可以帮助讨论某些方程的根的情形．对 可导函数 y = f (x) 在区间(a,b )内，如果 f (x) 有两个等值点，由罗尔定理，方程 f ¢(x) = 0 在(a,b )内至 少有一个根在两个等值点之间；如果 f (x) 有 3 个等值点，则方程 f ¢(x) = 0 在(a,b )内至少有两个根； 以此类推． 例 2  不求函数 f (x) = (x -1)(x - 2)(x - 3) 的导数，说明方程 f ¢(x) = 0 有几个实根． 解 函数 f (x) 在 R 上可导，由于 f (x) 有 3 个零点： 1 2 3  x = 1, x = 2, x = 3．因此方程 f ¢(x) = 0 至少 有两个实根；又 f ¢(x) = 0 是二次方程，至多有两个实根.  所以方程 f ¢(x) = 0 有且仅有两个实根分别 落在区间(1,2),(2,3) 内.  二、拉格朗日中值定理 罗尔定理中 f (a) = f (b) 这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到了限制．如果把这个 条件取消并保留其余两个条件，并相应的改变结论，就是如下一个十分重要的拉格朗日定理： 定理 2（拉格朗日中值定理）若函数 f (x) 满足 1)  在闭区间[a,b ]上连续； 2)  在开区间(a,b )内可导， 那么在(a,b )内至少存在一点x ，使得 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a x - ¢ = - ． 该式称为拉格朗日中值公式． 在证明拉格朗日定理之前，我们先来看它的几何意义．拉格朗日中值公式左端为曲线在点C 处 的切线斜率，而右端是弦 AB 的斜率，如图 3­3  所示．因此拉格朗日定理的几何意义是：如果连续 曲线 y = f (x) 的弧 AB 上除端点外处处有不垂直 x 轴的切线．那么这弧上至少有一点C ， 使曲线在C 点处的切线与弦 AB 平行． 图 3­3  利用罗尔定理来证明拉格朗日定理．由于所证等式 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a x - ¢ = - 可转化为等式 ( ) ( ) ( ) 0 f b f a f b a x - ¢ - = - ， 若把该等式左端看作是函数φ (x)在点x 的导数，即 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ f b a x x - ¢ = ¢ - - ， 那么可以构造辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ x f x x  b a - = - - ， 在[a,b ]上满足罗尔定理．

第一节微分中值定理77证明引进辅助函数(x)= (x)- (b)- (@),b-a则(1)在[a,b)上连续, 在(a,b)内可导,且(a)=5(a)-ar(b)=0(b),从而函数(1)满足罗尔定理的b-a条件，于是(x)在(a,b)内至少存在一点，使得()=0，即1(5)= 1(6)-1(a) ,b-a所以拉格朗日中值公式成立。显然，拉格朗日中值公式对于b0，有元0).因此1+ x例4（导数极限定理）设函数f(x)在点x的某邻域U(x)内连续，在U）内可导，且极限limf(x)存在，则f(x)在点x可导，且f(xo)=limf(x).证分别按左右导数来证明上式成立.(1)任取xeU(x)，f(x)在[xo,x)上满足拉格朗日中值定理条件，则存在e(x,x)，使得

第一节 微分中值定理 77 证明 引进辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ x f x x  b a - = - - ， 则φ (x)在[a,b ]上连续，在(a,b )内可导，且 ( ) ( ) ( ) ( ) bf a af b φ a φ b b a - = = - ，从而函数φ (x)满足罗尔定理的 条件，于是φ (x)在(a,b )内至少存在一点x ，使得φ¢(x ) = 0，即 ( ) ( ) ( ) f b f a f b a x - ¢ = - ， 所以拉格朗日中值公式成立． 显然，拉格朗日中值公式对于b 0 ，有 ln(1 ) 1 x  x x  x 0) ． 例 4（导数极限定理） 设函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 0  U(x )内连续，在 0  U (x ) o 内可导，且极限 0 lim ( ) x x  f x Æ ¢ 存在，则 f (x) 在点 0 x 可导，且 0 0 ( ) lim ( ) x x  f x f x Æ ¢ = ¢ ． 证 分别按左右导数来证明上式成立． (1)任取 0  0  x U (x ) Œ + ， f (x) 在 0  [x , x]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在 0  x Œ (x , x) ，使得

78第三章中值定理与导数的应用f(x)- f(x0) = f'() .x-Xo由于x0的导数.解首先易得1+2xcosx2,x0[1+x"进一步考虑f(x)在x=0处的导数.在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理来解决.由于lim f(x) = lim In(1+x)=0= f(0),lim f(x) = lim(x+sin x)=0= f(0).因此f(x)在x=0处连续,又因为f(0-0)=lim(1+2xcosx)=1,f'(0+0)=lim→01+x所以limf(x)=1,依导数极限定理可知f(x)在x=0处可导,且f(0)=1.注若把f在x≤0处改为f(x)=sinx，即[x+sinx, x≤0f(x)=[In(1 + x),x>0则f(x)在x=0处仍连续。但是由于2xcosx2,x0'[i+x'1从而f(0-0)=lim(2xcosx)=0，f(0+0)=lim=1.从而f(x)在x=0的导数不存在。但是(x)?0*1+在x=0的左、右导数都存在f(x)- f(0)sinx-0f'(0) = lim0=f(0-0),=limx-0xx→0f(x)- f(0)In(1+ x)-0limf(0) = lim1= f(0+0)x-0030x所以f(O)不存在

78 第三章 中值定理与导数的应用 0  0  ( ) ( ) ( ) f x f x  f x x x - = ¢ - ． 由于 0 x 的导数. 解 首先易得 2  1 2 cos 0 ( ) 1 0 1 x x x  f x  x  x Ï + , Ó + 进一步考虑 f (x) 在 x = 0 处的导数.在此之前,我们只能依赖导数定义来处理,现在则可以利用导 数极限定理来解决.由于 0  lim ( ) x f x Æ + 0  lim ln(1 ) 0 (0) x x f Æ + = + = = , 0  lim ( ) x f x Æ - 2 0 lim( sin ) 0 (0) x  x x f Æ - = + = = . 因此 f (x) 在 x = 0 处连续,又因为 2 0 (0 0) lim(1 2 cos ) 1 x  f x x Æ - ¢ - = + = , 0  1 (0 0) lim 1 x 1 f x Æ + ¢ + = = + . 所以 0  lim ( ) 1 x f x Æ ¢ = ,依导数极限定理可知 f (x) 在 x = 0 处可导,且 f ¢(0) = 1. 注 若把 f 在 x £ 0 处改为 2  f (x) = sin x ，即 2  sin 0 ( ) ln(1 ) 0 x x x  f x  x x Ï + , £ = Ì Ó + , > ， 则 f (x) 在 x = 0 处仍连续. 但是由于 2  2 cos 0 ( ) 1 0 1 x x x  f x  x  x Ï , Ó + ， 从而 2 0 (0 0) lim(2 cos ) 0 x  f x x Æ - ¢ - = = , 0  1 (0 0) lim 1 x 1 f x Æ + ¢ + = = + .从而 f (x) 在 x = 0 的导数不存在. 但是 f (x) 在 x = 0 的左、右导数都存在 0  ( ) (0) (0) lim  x 0 f x f f x - Æ - - ¢ = - 2  0  sin 0 lim 0 (0 0) x x  f x Æ - - = = = ¢ - , 0  ( ) (0) (0) lim  x 0 f x f f x + Æ + - ¢ = - 0  ln(1 ) 0 lim 1 (0 0) x x  f x Æ + + - = = = ¢ + . 所以 f ¢(0) 不存在

79第一节微分中值定理三、柯西中值定理对于参数方程[x=g(t),a≤t≤bly=f()的图像是 xOy面上的曲线弧 AB，如图 3-4所示，比值L)二(是弦 AB 的斜率，曲线上点(sJ)g(b)-g(a)处的切线的斜率为dx_ f(α)dyg(x)若曲线上存在一点C，对应参数t=Ee(a,b)，那么曲线上点C处的切线与平行弦AB，可表示为f(b)-f(a)f'()g(5)g(b)-g(a)与这一事实相应的是Jt1(6)6f()f(a0g(a) g(c)g(b) 图3-4定理3（柯西中值定理）设函数f(x)与g(x)满足1)在闭区间[a,b]上连续，2)在开区间(a,b)内可导，3)在开区间(a,b)内g(x)±0，则在(a,b)内至少存在一点三，使得f(b)-f(a)f()g()g(b)-g(a)该式称为柯西中值公式利用罗尔定理来证明柯西中值定理。由于函数g(x)满足拉格朗日中值定理的条件，从而有g(b)-g(a)=g(n)(b-a),a<n<b.又由假定知，g(n)±0，且b-a±0，所以g(b)-g(a)+0.于是所证等式f(b)- f(a)_ f'()g(b)-g(a) g()转化为证等式(5)- (6)-T(a).g()=0g(b)-g(a)若把该等式左端看作是函数(x)在点的导数，即f(b)-f(a)9(5)= f'(5)-g(3),g(b)-g(a) 8那么可以构造辅助函数f(b)- f(a)9(x)= f(x)- g(x),b-a

第一节 微分中值定理 79 三、柯西中值定理 对于参数方程 ( ) ,  ( ) x g t y f t Ï = Ì Ó = a £ t £ b 的图像是 xOy 面上的曲线弧 AB ，如图 3­4 所示, 比值 ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a g b g a - - 是弦 AB 的斜率，曲线上点(x, y) 处的切线的斜率为 ( ) ( ) dx f x  dy g x ¢ = ¢ ． 若曲线上存在一点C ，对应参数t = x Œ (a,b) ，那么曲线上点C 处的切线与平行弦 AB ，可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f g b g a g x x - ¢ = - ¢ ． 与这一事实相应的是 图 3­4  定理 3（柯西中值定理） 设函数 f (x) 与 g(x) 满足 1)  在闭区间[a,b ]上连续， 2)  在开区间(a,b )内可导， 3)  在开区间(a,b )内 g¢(x) ¹ 0 ， 则在(a,b )内至少存在一点x ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f g b g a g x x - ¢ = - ¢ ． 该式称为柯西中值公式． 利用罗尔定理来证明柯西中值定理．由于函数 g(x) 满足拉格朗日中值定理的条件，从而有 g(b) - g(a) = g¢(h)(b - a) ， a <h < b ． 又由假定知， g¢(h) ¹ 0 ，且b - a ¹ 0 ，所以 g(b) - g(a) ¹ 0 ．于是所证等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a f g b g a g x x - ¢ = - ¢ 转化为证等式 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f b f a f g g b g a x x - ¢ - ¢ = - ． 若把该等式左端看作是函数φ (x)在点x 的导数，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ f g g b g a x x x - ¢ = ¢ - ¢ - ， 那么可以构造辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ x f x g x  b a - = - -

80第三章中值定理与导数的应用在[a,b]上满足罗尔定理证作辅助函数(x)= f(x)- (b)-F(a) g(x),g(b)-g(a)容易验证(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且9()=3(b)(@-1()8(a=(b).g(b)-g(a)由罗尔定理知，至少存在一点e(a,b)，使得(5)=0，即I(5)- (6)- (a)g(5)=0.g(b)-g(a)由gx)≠0，有g（)0，所柯西中值公式成立.很明显，如果取g(x)=x，则g(b)-g(a)=b-a，g(x)=1，于是柯西中值公式就可写成f(b)-f(a)=f'(E)(b-a),aa时，f(x)g(x)．试证，当x>a时，有If(x)-f(a)/a时，g(x)>If(x)[≥0.即g(x)>0时，所以g(x)在(a,+o)内单增.故当x>a时有g(x)>g(a)，即g(x)-g(a)>0.对f(x)和g(x)在[a,x)上应用柯西中值定理，得到f(x)-f(a)_ f'()aa时有/ f(x)-f(a)<g(x)-g(a) 在证明关于两个函数之间的不等式或关系时，往往用柯西中值定理

80 第三章 中值定理与导数的应用 在[a,b ]上满足罗尔定理． 证 作辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f b f a φ x f x g x  g b g a - = - - ， 容易验证φ (x)在[a,b ]上连续，在开区间(a,b )内可导，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b f a f b g a φ a φ b g b g a - = = - ． 由罗尔定理知，至少存在一点x Œ (a,b) ，使得φ¢(x ) = 0，即 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f b f a f g g b g a x x - ¢ - ¢ = - ． 由 g¢(x) ¹ 0 ，有 g¢(x ) ¹ 0 ，所柯西中值公式成立． 很明显，如果取 g(x) = x ，则 g(b) - g(a) = b - a ， g¢(x) = 1，于是柯西中值公式就可写成 f (b) - f (a) = f ¢(x )(b - a)， a a 时，| f ¢(x) | a 时，有 | f (x) - f (a) | a 时，g¢(x) >| f ¢(x) |³ 0．即 g¢(x) > 0 时，所以 g(x) 在(a,+• )内单增．故当 x > a 时 有 g(x) > g(a) ，即 g(x) - g(a) > 0 ．对 f (x) 和 g(x) 在[a, x ] 上应用柯西中值定理，得到 ( ) ( ) ( ) ,  ( ) ( ) ( ) f x f a f a x  g x g a g x x x - ¢ = a 时有 f (x) - f (a) < g(x) - g(a) ． 在证明关于两个函数之间的不等式或关系时，往往用柯西中值定理．

81第三节泰勒公式第二节洛必达法则本节研究函数之商的极限转化为导数之商的极限一、极限的七种末定式假定在x的同一变化过程中，若1) lim (x)=0,limg(t)=0，且lim(不一定存在，则这种极限称为为~型未定式，0g(x)2) lim (1)=0,limg(1)=0,且lim(不一定存在， 则这种极限称为=型未定式,g(x)o3)limf(x)=0,limg(x)=0，且limf(x)8()不一定存在，则这种极限称为0°型未定式4)limf(x)=00limg(x)=c0，且lim(f(x)-g(x))不一定存在，则这种极限称为0=00型未定式5)limf(x)=0,limg(x)=0，且lim(f(x)g(x))不一定存在，则这种极限称为0.0型未定式6)limf(x）=80,limg(x)=0，且limf(x）(x)不一定存在，则这种极限称为°型未定式7)limf(x)=1,limg(x)=0，且limf(x)8(*)不一定存在，则这种极限称为1°型未定式对于这类极限，即使它存在也不能用使用前面讲过的极限法则来求。但洛必达法则提供了一个非常简便有效的方法下面我们将根据柯西中值定理来推出求这类极限的一种简便且重要的方法：，其中1)和2）两种未定式是最基本的，其它儿种未定式都可以经过变形转化为1）和2）：下面利用柯西中值定理对洛必达法则加以证明二、洛必达法则定理1(洛必达法则I)若函数f(x)与g(x)满足下列条件：1)lim f(x)=0, limg(x)=0;2）在x的某去心邻域U(x）内f(x)与g(x)存在，且g(x)￥0；3）lim(=4(或为无穷大)。+g(x)mam2=A(或为无穷大).则* g(x)x-→ro g(x)证因为极限lim()与J(x)和g()无关，不妨设()=g()=0．定义辅助函数+og(x)Jf(x), x*x[g(x), x±xoF(x)=,G(x)=[0,x=xo[0,x=xo由条件I)知函数F(x)与G(x)在x=x处连续；由条件2)知函数F(x)与G(x)在U(x）内连续，且G(x)=g(x)0.从而在U(x)内任取一点x，以x与x为端点的区间上函数F(x)与G(x)满足柯西中值定理的条件。于是，在x与x之间存在，使得F(x)-F(0)_F()-f()G(5)g(5)G(x)-G(xo)F(x)-F(xo)-f(x)-0_f(x)而G(x)-G(x)g(x)-00g(x)

第三节 泰勒公式 81 第二节 洛必达法则 本节研究函数之商的极限转化为导数之商的极限 一、极限的七种末定式 假定在 x 的同一变化过程中，若 1) lim f (x) = 0 ,lim g(x) = 0，且 ( ) lim ( ) f x  g x  不一定存在，则这种极限称为 0 0 型未定式． 2) lim f (x) = • ,limg(x) = • ，且 ( ) lim ( ) f x  g x  不一定存在，则这种极限称为 • • 型未定式． 3) lim f (x) = 0 ,lim g(x) = 0，且 ( ) lim ( ) g x  f x  不一定存在，则这种极限称为 0 0  型未定式． 4) lim f (x) = • ,limg(x) = • ，且lim( f (x) - g(x)) 不一定存在，则这种极限称为• - • 型未定式． 5) lim f (x) = • ,limg(x) = 0 ，且lim( f (x)g(x)) 不一定存在，则这种极限称为• × 0 型未定式． 6) lim f (x) = • ,limg(x) = 0 ，且 ( ) lim ( ) g x  f x  不一定存在，则这种极限称为 0 • 型未定式． 7) lim f (x) =1,limg(x) = 0，且 ( ) lim ( ) g x  f x  不一定存在，则这种极限称为 0 1 型未定式． 对于这类极限，即使它存在也不能用使用前面讲过的极限法则来求．但洛必达法则提供了一个非 常简便有效的方法.下面我们将根据柯西中值定理来推出求这类极限的一种简便且重要的方法．其中 1) 和 2) 两种未定式是最基本的， 其它几种未定式都可以经过变形转化为1) 和 2) .下面利用柯西中值定 理对洛必达法则加以证明. 二、洛必达法则 定理 1(洛必达法则 I) 若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件： 1) 0  lim ( ) 0 x x  f x Æ = ， 0  lim ( ) 0 x x  g x Æ = ； 2) 在 0 x  的某去心邻域 0 U (x ) o 内 f ¢ (x) 与 g¢ (x) 存在，且 g¢ (x) ¹ 0 ； 3) 0  ( ) lim ( ) x x  f x  A  Æ g x ¢ = ¢ (或为无穷大)． 则 0 0  ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x  f x f x  A  Æ g x Æ g x ¢ = = ¢ (或为无穷大)． 证 因为极限 0  ( ) lim ( ) x x  f x  Æ g x 与 0 f (x )和 0 g(x ) 无关，不妨设 0 0 f (x ) = g(x ) = 0 ．定义辅助函数 0 0 ( ),  ( ) 0, f x x x  F x  x x Ï ¹ = Ì = Ó ， 0 0 ( ),  ( ) 0, g x x x  G x  x x Ï ¹ = Ì = Ó ． 由条件1) 知函数 F(x) 与G(x) 在 0 x = x 处连续；由条件2) 知函数 F(x) 与G(x) 在 0 U (x ) o 内连续， 且G¢(x) = g¢ (x) ¹ 0 ．从而在 0 U (x ) o 内任取一点 x ，以 0 x  与 x 为端点的区间上函数 F(x) 与G(x) 满足 柯西中值定理的条件．于是，在 0 x  与 x 之间存在x ，使得 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F x F f  G x G x G g x x x x - ¢ ¢ = = - ¢ ¢ ． 而 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) F x F x f x f x  G x G x g x g x - - = = - -

82第三章中值定理与导数的应用f(x)'()所以（在x与x之间)：g(x)g()故由x→x时=→x及条件3)，有lm= lim= im=limC)x-og(x)-+ g()5→0 g()1→o g(x)定理2(洛必达法则II）若函数f(x)与g(x)满足下列条件：1)lim f(x)=00,lim g(x) = 00 ;→2）在x的某去心邻域U(x）内f(x)与g(x)存在，且g(x)±0；f'(x)3)limA(或为无穷大).1→% g'(x)lim=lim=4(或为无穷大)则x- g(x) → g(x)在使用洛必达法则时，应注意下面四点：1.若lm不是未定式或=时，不能使用洛必达法则1或1进行计算，这时应使用其他008g(x)方法求解2：如果用洛必达法则计算1m(所得lm(仍是或=型时，可再次使用洛必达法则 100t-o g(x)g(x)8或IⅡI进行计算，直至不是未定式为止.3.如果把洛必达法则或IⅡ中的x→x换成x→，x→，x→，x→+或x→-时，只需对洛必达法则I中的假设（2）作相应的修改，结论仍然成立4°使用洛必达法则I或IⅡI的过程中，但最好能与其他求极限的方法结合使用．例如，能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代出现的无穷小因子，出现极限不为零的因子，可用该因子极限替代，这样可以使运算简捷x3-3x+2例1求limx-x-x+1x-3x+2(%型)解lim-x-x+103x2-3(Ca)=limx-1 3x2 -2x-16x= lim-（不是未定式）*→16x-23=2:x-sinx求lim例2x3x-→0(%型)x-sinx解lim*01cOsx0(%型)=lim3x20r→0(型)sinx= limim6x0

82 第三章 中值定理与导数的应用 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f  g x g x x ¢ = ¢ ，(x 在 0 x  与 x 之间) ． 故由 0 x Æ x 时 0 x Æ x 及条件3) ，有 0 0 0 0  ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x  f x f f f x  g x g x g g x x x Æ Æ x Æ x Æ ¢ ¢ ¢ = = = ¢ ¢ ¢ ． 定理 2(洛必达法则Ⅱ) 若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件： 1) 0  lim ( ) x x  f x Æ = • ， 0  lim ( ) x x  g x Æ = • ； 2) 在 0 x  的某去心邻域 0 U (x ) o 内 f ¢ (x) 与 g¢ (x) 存在，且 g¢ (x) ¹ 0 ； 3) 0  ( ) lim ( ) x x  f x  A  Æ g x ¢ = ¢ (或为无穷大)． 则 0 0  ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) x x x x  f x f x  A  Æ g x Æ g x ¢ = = ¢ (或为无穷大)． 在使用洛必达法则时，应注意下面四点： 1.  o 若 0  ( ) lim ( ) x x  f x  Æ g x 不是未定式 0 0 或 • • 时，不能使用洛必达法则 I 或Ⅱ进行计算，这时应使用其他 方法求解.  2 .  o 如果用洛必达法则计算 0  ( ) lim ( ) x x  f x  Æ g x 所得 0  ( ) lim ( ) x x  f x  Æ g x ¢ ¢ 仍是 0 0 或 • • 型时，可再次使用洛必达法则 I 或Ⅱ进行计算，直至不是未定式为止． 3 .  o 如果把洛必达法则 I 或Ⅱ中的 0 x Æ x 换成 0 x x Æ + ， 0 x x Æ - ，x Æ • ，x Æ +• 或 x Æ -• 时， 只需对洛必达法则 I 中的假设(2)作相应的修改，结论仍然成立． 4 .  o 使用洛必达法则 I 或Ⅱ的过程中，但最好能与其他求极限的方法结合使用．例如，能化简 时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代出现的无穷小因子，出现极限不为零的因子，可用该 因子极限替代，这样可以使运算简捷． 例 1  求 3 3 2 1 3 2 limx  1 x x  Æ x x x - + - - + ． 解 3 3 2 1 3 2 limx  1 x x  Æ x x x - + - - + ( 0 0 型) 2 2 1 3 3 limx  3 2 1 x  Æ x x - = - - ( 0 0 型) 1 6 limx  6 2 x  Æ x = - ( 不是未定式) 3 2 = ． 例 2  求 3 0 sin limx  x x  Æ x - ． 解 3 0 sin limx  x x  Æ x - ( 0 0 型) 2 0 1 cos  limx  3 x  Æ x - = ( 0 0 型) 0 sin limx  6 x Æ x = ( 0 0 型)

83第三节泰勒公式161-cos'x例3求lim-0xcosx0该极限为二型，在运用洛比达法则的过程中，分母的导数较繁，但分母出现极限不为零的因子0cosx，用该因子极限替代，这样可以达到简化计算极限的目的.1-cos'x0解（~型，用1替代分母因子cosx）lim-0 x"cosx01-cos'x(%型)= limx20H3cosxsinx02型，用1替代分子因子cos?×）= lim02xx-→03.(%型)sinxlim02 x0x3(ln x)"例4求lim（m为正整数）ox(ln.x)"(=型，变形)解limx00（=型，用公式）= lim [In x/ x/m jm8(%型)=[lim (In x/xVm)"0mm=[lim -（不是未定式）+-0-/m=(0)" =0.Intan5x例5求lim0*Intan3x5sec5xIntan5x5tan3x1+tan5xtan5x解=lim-=lim(limr>0*3sec23x3tan5x11+tan3xx->0*lntan3xrtan3x5tan3x1+tan25x5×3x1+tan25x=limlim=lim.lim=1r>0*3tan5x01+tan3xx→0*3×5xr>0*1+tan23xX0三、其它末定式的极限对于其它末定式的极限可以通过恒等变形或简单变换将它们转化为或=型，再应用洛比达法08则.1.0.8型未定式这种类型的未定式通常采用如下恒等变形

第三节 泰勒公式 83 1 6 = ． 例 3  求 3 2 2 0 1 cos  lim cos x  x  Æ x x - ． 该极限为 0 0 型，在运用洛比达法则的过程中，分母的导数较繁，但分母出现极限不为零的因子 2 cos x ，用该因子极限替代，这样可以达到简化计算极限的目的． 解 3 2 2 0 1 cos  lim cos x  x  Æ x x - ( 0 0 型，用 1 替代分母因子 2 cos x ) 3 2 0 1 cos  limx  x  Æ x - = ( 0 0 型) 2 0 3cos sin limx  2 x x  Æ x = ( 0 0 型，用 1 替代分子因子 2 cos x ) 0 3 sin lim 2 x  x Æ x = ( 0 0 型) 3 2 = ． 例 4  求 (ln ) lim m  x  x  Æ+• x ( m 为正整数) 解 (ln ) lim m  x  x  Æ+• x ( • • 型，变形) 1 lim[ln ] m m  x  x x Æ+• = ( • • 型，用公式) 1 [ lim(ln )] m m  x  x x Æ+• = ( • • 型) 1 [ lim ]m  m  x  m Æ+• x = ( 不是未定式) (0) 0 m = = ． 例 5  求 0 ln tan 5 lim x  ln tan 3 x  x Æ + ； 解 0 ln tan 5 lim x  ln tan 3 x  x Æ + 2 2 0 5sec 5 tan 5 lim 3sec 3 tan 3 x  x x  x x Æ + = 2 2 0 5tan 3 1 tan 5 lim( ) x  3tan 5 1 tan 3 x x  x x Æ + + = × + 2 2 0 0 5tan 3 1 tan 5 lim lim x 3tan 5 x  1 tan 3 x x  x x Æ + Æ + + = × + 2 2 0 0 5 3 1 tan 5 lim lim x 3 5 x  1 tan 3 x x  x x Æ + Æ + ¥ + = × ¥ + =1． 三、其它末定式的极限 对于其它末定式的极限可以通过恒等变形或简单变换将它们转化为 0 0 或 • • 型， 再应用洛比达法 则． 1．0 ו 型未定式 这种类型的未定式通常采用如下恒等变形