《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第3章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理

第3章第一节微分中值定理一、罗尔（Rolle）定理二、拉格朗日中值定理三、柯西（Cauchy）中值定理下页返回

第3章 第一节 微分中值定理 一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理

一、罗尔(Rolle）定理费马（fermat）引理y=f(x)在U(xo）有定义：>f'(xo)=0且f(x)≤f(xo), f(xo)存在V(或≥)证:设Vxo +△xeU(xo),f(xo+Ax)≤f(xo)Xox福f(xo +Ax)- f(xo)则 f'(xo)= limArAr-0f"(xo)≥0 (△x→0-)>f(xo)=0f*(xo)≤0 (△x→0+)证毕目录上页下页返回结束机动

一、罗尔( Rolle )定理 费马(fermat)引理 且 存在 (或  ) 证: 设 则  0  0 x y o 0 x 证毕

(y=f(x)罗尔（Rolle）定理y=f(x）满足(1)在区间[α,b]上连续bxEa(2)在区间（α,b)内可导(3) f(a)=f(b)在(α,b）内至少存在一点 ,使 f'（)=0V证:因f(x)在[α,b]上连续,故在[aα,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则f(x)=M,xE[a,b]因此V(a,b),f()=0上页目录下页返回结束机动

罗尔（ Rolle ）定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 f ( ) = 0. x y o a b y = f ( x )  证: 故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 因此 在( a , b ) 内至少存在一点

若M>m，则M和m中至少有一个与端点值不等不妨设M±f(a),则至少存在一点E(a,b),使f（）=M,则由费马引理得f（）=0注意：例如1）定理条件条件不全具备，结论不一定成立.0≤x<1x.f(x)=0,x=1xVf(x)=xf(x)=xxe[0,1]x[-1,1]+目录上页下页返回结束机动

若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 则至少存在一点 使 f ( ) = 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如, 1 x y o 则由费马引理得 1x y −1 o 1 x y o

2）定理条件只是充分的．本定理可推广为y=f(x）在（ab）内可导，且lim f(x)= lim f(x)x-atx-b在(α,b)内至少存在一点,使f（)=0(f(at),x=a证明提示：设F(x)=^ f(x),a<x<bf(b-),x=b证F(x)在[α，b]上满足罗尔定理上页目录下页返回结束机动

使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且 = → + lim f (x) x a lim f (x) x b → − 在( a , b ) 内至少存在一点 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理

x-5x+1=0有且仅有一个小于1的例1.证明方程正实根证：1)存在性设f(x)= x2-5x+1,则f(x)在[0,1]连续,且f(O)=1,f(1)=-3.由介值定理知存在 xoE(0,1),使f（xo）=0，即方程有小于1的正根Xo2)唯一性假设另有x E(0,l),x ≠xo,使f(x)=0,：f(x)在以Xo，Xi为端点的区间满足罗尔定理条件，：在 xo，xi之间至少存在一点 ≤,使 f()=0但f'(x)=5(x4-1)<0,xE(0,1),矛盾,故假设不真！目录上页下页返回结束机动

例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x = x − x + ( ) 0, f x0 = 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0 ,1), x0  使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有  f ( x)在 以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,  在 x0 , x1 之 间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设

y=f(x)二、拉格朗日中值定理Vy=f(x）满足(1)在区间［α，b1上连续bxSa(2）在区间（α，b）内可导至少存在一点 ≤e(a,b),使 f(≤)=(b)-T(a)b-af(5)-(6)-(a)=0证：问题转化为证b-ap(x) = f(x) _ f(b)-f(a)作辅助函数b-a显然,Φ(x)在「α,bl上连续,在（aα,b）内可导，且(a) _ bf(a)-af(b)=(b),由罗尔定理知至少存在一点b-a=E(a,b),使β(5)=0,即定理结论成立证毕目录上页下页返回结束机动

二、拉格朗日中值定理  ( )   (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − −   =  x y o a b y = f ( x ) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证  (x) = f (x) x b a f b f a − − − ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点 即定理结论成立 . =  (b), b a b f a a f b − − = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) = − −  − b a f b f a f  证毕

拉格朗日中值定理的有限增量形式：令a=xo，b=xo+△x，则(0<0<1)y=f(xo+0△x)AxE若函数f(x)在区间I上满足f(x）=0,则f(x）推论：在1上必为常数证：在1上任取两点x,x（xi<x2），在[xi,x2]上用拉日中值公式，得f(x2)-f(xi)=f(5)(x2-x)=0 (Xi<=<x2)f(x2)= f(x1)由xi,x2的任意性知，f(x)在I上为常数目录上页下页返回结束机动

拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 则 在 I 上必为常数. 证: 在 I 上任取两点 日中值公式 , 得 = 0 由 的任意性知, 在 I 上为常数 . ( ) (0 1)  y = f  x0 +  x x    令 则 

元xe[-1,1]例2.证明等式arcsinx+arccosx=2证：设f(x)=arcsinx+arccosx，则在（-1,1)上110三f'(x)=-xX由推论可知(常数)f(x) = arcsin x +arccos x = CC-令x=0得2元又f(±1)故所证等式在定义域「-1,1]上成立二2经验：欲证xEI时f(x)=Co，只需证在I上f(x)=0,且日xo EI,使 f(xo)=CoN自证：xE(-8,+8)arctanx +arccot x =2目录上页下页返回结束机动

例2. 证明等式 证: 设 由推论可知 (常数) 令 x = 0 , 得 又 故所证等式在定义域 上成立. 自证: , x  (−  , + ) 2 arctan arc cot  x + x = 经验: 欲证 x  I 时 ( ) , C0 f x = 只需证在 I 上 f ( x)  0, , 0 且  x  I ( ) . 0 C0 使 f x =

0)例3.证明不等式1+x证：设f(t)=ln(1+t)，则f(t)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理条件，因此应有f(x)-f(0)=f()(x-0), 00)1+x目录上页下页返回结束机动

例3. 证明不等式 证: 设 f (t) = ln(1 + t) , 中值定理条件, 即 因为 故 ln(1 ) ( 0). 1  +   + x x x x x 因此应有