《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第2章 导数与微分 第二节 函数的求导法则

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第2章 第二节 函数的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则

思路：f(x+△x)- f(x)f'(x) = lim（构造性定义）Ax△x->0本节内容求导法则(C)'= 0(sin x)'= cos x证明中利用了1其它基本初等(ln x)'= -两个重要极限函数求导公式X初等函数求导问题目录上页下页返回结束机动

思路: ( 构造性定义 ) 求导法则 其它基本初等 函数求导公式 0 c o s x x 1 ( C ) = ( s in x ) = ( ln x ) = 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容

一、四则运算求导法则定理1.函数u=u(x）及v=v(x）都在x具有导数u(x)及v(x)的和、差、积、商(除分母为0的点外）都在点x可导，且(l) [u(x)±v(x)]'=u'(x)±v(x)(2) [u(x)v(x)])' = u(x)v(x) +u(x)v(x)u(x)v(x)-u(x)v(x)u(x)(v(x) ± 0)(3)v2(x)v(x)并同时给出相应的推论和下面分三部分加以证明例题目录上页下页返回结束机动

一、四则运算求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . ( v ( x )  0 )

(l) (u±v)=u±v证: 设f(x)= u(x)±v(x),则f(x+h)- f(x)f(x) = limhh-0[u(x+h)±v(x+h)]-[u(x)±v(x)]= limhh-→0u(x + h)-u(x)v(x+h) -v(x)= lim± limhhh→0h-0= u'(x)±v'(x)故结论成立此法则可推广到任意有限项的情形例如，例如,(u+v-w)=u'+v'-w上页目录下页返回结束机动

此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 , 则 (1) ( u  v ) = u   v  f ( x ) = u ( x )  v ( x ) h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] lim 0 +  + −  = → h u x h u x h ( ) ( ) lim 0 + − = → h v x h v x h ( ) ( ) lim 0 + −  → = u ( x )  v ( x ) 故结论成立. 例如

(2) (uv)'= u'+uy证: 设 f(x)=u(x)v(x)，则有f(x+h)-f(x)u(x +h)v(x+ h)- u(x)v(x)f'(x)= limlimhhh→0h-0u(x+h)-u(x)v(x + h)+ u(x) '(x +h) - v(x)= limhhh-0= u'(x)v(x) + u(x)v'(x)故结论成立推论：1l）（Cu）=Cu'（C为常数）2) (uvw)'= u'vw +uv'w +uvwInx中3)(logax)Inaxlna上页目录下页返回结束机动

(2) ( u v ) = u  v + u v  证: 设 f ( x) = u ( x)v( x) , 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h u x h v x h u x v x h ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 + + − = → = u ( x)v( x) + u ( x)v ( x) 故结论成立.    + − = → h u x h h ( ) lim 0 u(x) v( x + h)   −  + h v(x) u(x) v( x + h) 推论: 1) (C u ) = 2) ( uvw ) = C u  u  vw + uv  w + uvw  3) ( log a x ) =        a x ln ln x ln a 1 = ( C为常数 )

例1. = /x(x3 - 4cos x-sinl),求y'及ylx=l.解: y'=(Vx)'(x3 - 4cos x - sinl)+ /x(x3 - 4cos x - sinl)-4cosx-sin1)+x(3x+4sinx）X(1-4cosl-sin1)+(3+4sin1)277sinl-2cosl一22目录上页下页返回结束机动

例1. 解: + 4 sin x ( 1 21 − sin1) ( 4 cos sin 1) , 3 y = x x − x − y = ( x ) + x = ( − 4 cos − sin1) + 2 1 3 x x x 2 x ( 3 x ) y x=1 = − 4 cos 1 + ( 3 + 4 sin 1) sin1 2 cos1 27 27 = + − ( 4 cos sin 1) 3 x − x − ( 4 cos sin 1) 3 x − x − 

- u'v-uy'(3)(")=证:设f(x)=淄则有v(x)u(x+h)u(x)f(x+h)- f(x)v(x+h)v(x)f'(x)= limlimhhh-→0h-0v(x+ h) -v(x)u(x+h) -u(x) r(x) -u(x)hh= limv(x +h)v(x)h→0u(x)v(x)-u(x)v(x)故结论成立v(x))==Cv推论：（C为常数）上页目录下页返回结束机动

      + = → ( ) ( ) lim h 0 v x h v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v x h v x u x h v x u x v x h + + − + h  u ( x ) v ( x ) (3) ( ) 2 v u v u v v u  −  =  证: 设 f ( x) = 则有 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 + −  = → h h lim →0 = , ( ) ( ) v x u x ( ) ( ) v x h u x h + + ( ) ( ) v x u x − h u(x + h) − u ( x) v(x) h v(x + h) − u( x) − v( x) 故结论成立. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 v x u  x v x − u x v  x = 推论: ( ) 2 v C v v C −  =  ( C为常数 )

例2. 求证 (tan x) = sec2 x , (csc x)'= -csc xcot x .sinx(sinx)'cosx-sinx(cosx)证: (tanx)1cos"xcOSxcos' x +sin' x = sec? xcos"x(sinx)"-cosx(csc x)"2sinxsinsin'xx=-cscxcotx类似可证:(cot x)"=-csc2 x，(sec x)'= sec xtan x上页目录下页返回结束机动

(csc x) =        sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例2. 求证 证:         = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x) cos x − sin x (cos x) = x 2 cos x 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = − csc x cot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x  = − x (sec x) = sec x tan x

二、反函数的求导法则定理2. 设 y= f(x)为x= f-l(y)的反函数,f-l(y)在y的某邻域内单调可导，且「f-（y)"0dy11或f'(x) =dx[f-'(y)]"dxdy证：在x处给增量△x±0，由反函数的单调性知Ay△y= f(x+△x)- f(x)± 0,ArAxAy口△x→0时必有△y→0，因此且由反函数的连续性知11Af'(x)= limlimAx[f-'(y)]Ax-0△xAV-0目录上页下页返回结束机动

f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为 x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1   − 且 f y d d = x y 或 x  0 , y = f ( x + x) − f ( x)  0 , =    x y y x   x → 0 时必有 y → 0 , x y f x x    =  →0 ( ) lim lim  →0 = y y x   y x d d = 1 [ ( )] 1  − f y 1 1 [ ( )] 1  − f y 1 1

例3.求反三角函数及指数函数的导数元1解：1）设y=arcsinx，则x=siny,ye.cosy>O,则1(arcsin x)'(sin y)COSy1-sin2y11-x2利用元(arccosx)'=arccosx=arcsinx2-x类似可求得11(arctanx)(arccotx)21+x1+x上页目录下页返回结束机动

例3. 求反三角函数及指数函数的导数. 解: 1) 设 则 ) , 2 , 2 (   y  − (sin y) cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = 类似可求得 x arcsin x 2 arccos = −  利用  cos y  0 , 则