《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第1章 函数、极限与连续 第二节 数列极限

第二节数列极限及其性质一、数列的定义二、数列极限的定义三、数列极限的性质

第二节 数列极限及其性质 一、数列的定义 二、数列极限的定义 三、数列极限的性质

一、数列文1,2,3.·…·：依次排列的一列数定义1按正整数其中的每一称为数列，记为{x，，Xi,X2soo,Xng个数称为数列的项，第n项x，称为数列的通项123例如：2'3'4'1+n+(-1)*)1,-1,.,(-1)n+1,..n+(-1)n-1n+(-1)"-i目录上页返回结束机动下页

按正整数 1,2,3, 依次排列的一列数 1 2 , , , , n x x x 称为数列， 记为 { }, n x 其中的每一 第 n 项 称为数列的通项. n x 例如： 个数称为数列的项， 1 2 3 , , , , , ; 2 3 4 + 1 n n − − +1 1, 1, ,( 1) , ; n       + 1 n n  −  +1 ( 1)n 定义1 一、数列 − − 1 1 4 + ( 1) 2, , , , , ; 2 3 n n n −   −     1 + ( 1)n n n

注意：①数列x对应着数轴上一个点列可看作一动点在数轴点依次取Xi,X2,o,Xnposxx2数列（x也可以看作是如下整标函数X, = f(n),nezt若数列x满足≤≤≤≤·定义2则x称为单调递增数列目录上页下页返回结束机动

= ( ), . + n x f n n Z  注意： 1 2 , , , , . n 点在数轴点依次取 x x x  数列 { } xn 也可以看作是如下整标函数  数列 { } 对应着数轴上一个点列. n x 可看作一动 x 1 x 2 x 3 x n x 定义2 1 2 , n 若数列 { } 满足 x x x     n x 则 { } xn 称为单调递增数列. x 2 x1 x n x

若数列x满足x≥x≥≥x≥定义3则x，称为单调递减数列X单调递增和单调递减的数列统称为单调数列说明：对应于单调数列的点x，只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情况：①x，沿x轴移向无穷远(x，→80);xn沿x轴无限趋近于某个定点a(xn→a)目录上页下页返回结束机动

若数列 { } xn 满足 1 2 , n x x x     则 { } xn 称为单调递减数列. 定义3 x 2 x 1 x n x 单调递增和单调递减的数列统称为单调数列. 说明：对应于单调数列的点 xn 只可能向一个方向 移动， 所以只有两种可能情况：  xn 沿 x 轴移向无穷远 ( ); n x →   xn 沿 x 轴无限趋近于某个定点 a ( ). n x a →

定义4 若数列(x}满足 x,≤M, n=1,2,，则{x,}称为有上界的数列，M为一个上界则定义5若数列(x,}满足x≥m,n=1,2,g(x,}称为有下界的数列，m为一个下界定义6若{x,为既有上界又有下界的数列，即3M>0,有|x,<M,n=1,2,，则(x, 称为有界数列．M 为一个界．否则，{x, 称为无界数列定义7在数列（x中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得的一个数列称为原数列的子数列或子列上页目录下页返回结束机动

定义4 若数列 { } xn 满足 , = 1,2, , n x M n  则 { } xn 称为有上界的数列， M 为一个上界． 若 { } xn 为既有上界又有下界的数列， 即 有 | | , = 1,2, , n M  , x M n  则 { }n x 称为有界 M 为一个界． 定义5 若数列 { } xn 满足 , = 1,2, , n x m n  则 { } xn 称为有下界的数列， m 为一个下界． 定义6 否则， { }n 数列． x 称为无界数列． 定义7 在数列 { } xn 中任意抽取无限多项， 持这些项在原数列中的先后次序，这样得的一个数列 称为原数列的子数列或子列． 并保

数列极限的定义二、李对于我们讨论的数列x来说，重要的是：当n无限增大时，对应的x，三f(n）是否能无限地接近某如果能够的话，这个数值等于多少？个确定的数值？1.描述性定义我们先看两个例子：>1(n→8); 收敛小n+in+lx,=(-1)"+1 趋势不定． 发散1,-1,...,(-1)"+..;上页目录下页返回结束机动

二、数列极限的定义 1. 描述性定义 重要的是：当 n 无限增大时，对应的 ( ) n x f n = 是否能无限地接近某 个确定的数值？ 如果能够的话， 对于我们讨论的数列 { }n x 来说， 这个数值等于多少？ 我们先看两个例子： 1 2 , , , , ; 2 3 + 1 n n + 1 n n x n = → 1( ) n →  ; − − +1 1, 1, ,( 1) , ; n − +1 = ( 1)n n x 趋势不定． 收敛 发散

一般地，我们有如下描述性定义定义8如果当n无限增大时，x，无限地接近某个确定常数a，则a 称为数列(x的极限，或称数列x子收敛于a，记作limx, =a,或 x,→a(n→)n→00如果当n无限增大时，x，不能无限地接近某个确定常数，则称数列{x无极限，或称数列(x，发散，limx，不存在。习惯上也说100目录上页下页返回结束机动

一般地，我们有如下描述性定义． 定义8 如果当n无限增大时， xn 无限地接近某个 确定常数 a, 则 a 称为数列 { }n x 的极限， 或称数列 { }n x 收敛于 a, 记作 lim , n n x = a → ( ). n 或 x a n → →  如果当n无限增大时， xn 不能无限地接近某个确 定常数，则称数列 { } xn 无极限，或称数列 { }n x 发散， 习惯上也说 n lim → xn 不存在．

2.数列极限的ε一N定义当数列极限存在时，随着数列x，的不同，趋于极限的形式也各不相同.从数轴上看有三种情形：一是从点a的左边趋于a，二是从点a的右边趋于a三是时而从点a的左边，时而从点a的右边趋于a.不管x，趋于a的过程有多复杂，在数轴上它们有一个共同之处，就是当n越来越大时，xn与极限α之间的距离越来越小，或者说，当n无限增大时，点xn无限接近点a.在数学上，用lx，-a<&来表示x与a之间的接近程度．当ε任意小时，表示x,与a无限接近上页目录下页返回结束机动

2. 数列极限的 ε− N 定义 当数列极限存在时， 随着数列 { } xn 的不同，趋于 极限 a 的形式也各不相同．从数轴上看有三种情形： 一是 从点 a 的左边趋于 a, 二是从点 a 的右边趋于 a, 三是 时而从点 a 的左边，时而从点 a 的右边趋于 a. 不管 n x 趋于 a 的过程有多复杂， 在数轴上它们有一个 共同之处，就是当 n 越来越大时， 的距离越来越小，或者说，当 n 无限增大时，点 n x 在数学上， a 之间的接近程度． 当 ε 任意小时，表示 xn 与 a 无限 n x 与极限 a 之间 无限接近点 a. 用 | |< x a n − ε 来表示 n x 与 接近．

它表明只要N很大，用n>N来表示n无限增大.而n>N就是n无限增大了。定义9设x，为数列，若存在常数α，对任意给定的正数 &，存在正数 N，当 n>N 时，有Ix,-a<8,则a称为数列x，的极限，或称数列x，收敛于alimx, =a, 或 x,→a(n→).记为1100如果不存在这样的常数a，就说数列x，没有极限或者说数列x是发散的目录上页下页返回结束机动

用 n > N 来表示 n 无限增大． 它表明只要 N 很大， n 而 n > N 就是 n 无限增大了． 定义9 设 { } xn 为数列，若存在常数 a, 对任意 给定的正数 ε, 存在正数 N , 当 n > N 时， 有 | |< − , n x a ε 则 a 称为数列 { } xn 的极限，或称数列 { } xn 收敛于 a, 记为 lim , n n x a → = ( ). n 或 x a n → →  如果不存在这样的常数 a, 就说数列 { } xn 没有极限， 或者说数列{ } xn 是发散的

上述数列极限的ε一N定义，通常简记为limx,=V>0,N>0,当n>N时,有1-00Ix,-ak<8.注意：N与任意给定的正数ε有关，它随着ε给定而确定上页目录下页返回结束机动

上述数列极限的 ε− N 定义， 通常简记为: lim n n x = a →    ε > 0, > 0, N 当 n > N 时, | |< . x a n − ε 有 注意： N 与任意给定的正数 ε 有关， 它随着 ε 给定而确定