《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第4章 不定积分 第二节 换元积分法

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第4章 二、第二类换元法 第二节 换元积分法 一、第一类换元法

基本思路设F'(u)= f(u),u=(x)可导,则有dF[o(x)]= f[o(x)]p'(x)dx[ f[0(x)]g'(x)dx = F[0(x)]+ C = F(u)+ Cu=p(x)=J f(u)duu=p(x)第一类换元法J f(u) du[ f[o(x)]0'(x) dx第二类换元法目录上页下页返回结束机动

第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 F (u) = f (u), 可导, F[ ( x)] + C ( ) ( )d u x f u u =  = ( ) ( ) C u x F u = + = dF[ ( x)] = f [ ( x) ] ( x)dx 则有

一、第一类换元法定理1．设f(u)有原函数，u=β(x)可导，则有换元公式J f[o(x) p(x)dx =f f(u)duu=p(x)即[ f[o(x)]p(x)dx = [ f(o(x)d p(x)（也称配元法，凑微分法目录上页下页返回结束机动

一、第一类换元法 定理1. 设 f (u) 有原函数 , u =  ( x)可 导 , 则有换元 公式  f (u)du u =  ( x)  f ( (x))d (x) (也称配元法 即  =  f [ (x)] (x)dx , 凑微分法)

例1. 求(ax+b)"dx (m±-l).解：令u=ax+b,则du=adx,故m+1m+C原式um+1aa(ax + b)m+1 + Ca(m + 1)注：当m=-1时dx= -Inlax+ bl+ Cax+bQ上页目录下页返回结束机动

例1. 求 解: 令 u = ax + b , 则 d u = adx , 故 原式 =  m u u a d 1 a 1 = u C m m + +  +1 1 1 注: 当 时

dx例2.求想到公式dudxdx解：1+u()= arctan u +令u=×,则dudx一adu-arctanu+Ca十uarctan(=)+Ca目录上页下页返回结束机动

 + = 2 2 1 ( ) 1 d axx a 例2. 求 解 : , ax 令 u = 则 x a u d 1 d =  + 2 1 u d u a1 u C a = arctan + 1 想到公式  + 2 1 d uu = arctan u + C ( ) ax =

dr例3. 求(a >0).dxdxdx解：AX= arcsin=+ Cadu想到arcsinu+C1[ f[o(x)0(x)dx = [ f(0(x)dp(x)（直接配元）福目录上页下页返回结束机动

例3. 求 = −  2 1 d u u 想到 arcsin u + C 解:  − 2 1 ( ) d a x a x   = f ( (x))d (x) (直接配元)  f [ (x)] (x)dx  − = 2 1 ( ) d ( ) a x a x

例4. 求[ tan xdx.dcosxsinx解：tan xdx =dx =cosxcosx=-In cos x|+ C类似cosxdxdsinxcot xdxsinxsinx= In sinx+C上页目录下页返回结束机动

例4. 求 解:  x x x d cos sin  = − x x cos dcos  x x x sin cos d  = x x sin d sin 类似

dx例5.求解：1(x+a)-(x-a) l(2a (x-a)(x+a)2ax-ax+a[-[ a原式x+ad(x-α) -{d(x+a)[x+ax-ax-a-[1n x-a|-In x+al +C=二nC2a2.0x+a目录上页下页返回结束机动

C x a x a a + + − = ln 2 1 例5. 求 解: 2 2 1 x − a  (x − a)(x + a) ( x + a) − ( x − a) 2a 1 = ) 1 1 ( 2 1 a x a x + a − − = ∴ 原式 =    2a 1   + − − x a x x a dx d       = 2a 1  − − x a d(x a)     2a 1 = ln x − a − ln x + a + C  + + − x a d(x a)

常用的几种配元形式(1) [ f(ax +b)dx =f(ax+b) d(ax +b)万能凑幂法(2) J f(x")xn-I dx :[f(x") dxn(3) J f(x")dx=(r")dxn(4) J f(sin x)cos xdx =J f(sinx)dsinx(5) J f(cos x)sin xdx = - J f(cos x) dcosx目录上页下页返回结束机动

常用的几种配元形式: + =  (1) f (ax b)dx d(ax + b) a 1 =  − f x x x n n (2) ( ) d 1 n dx n 1 =  x x f x n d 1 (3) ( ) n dx n 1 n x 1 万 能 凑 幂 法 =  (4) f (sin x)cos xdx dsin x =  (5) f (cos x)sin xdx − dcos x

(6) f f(tan x)sec xdx = [ f(tanx) dtan x(7) [ f(e*)e*dx=J f(e") de(8) J f(Inx)-dx = f(nx) dlnxXdx例6. 求x(1+2lnx)dlnxd(1 + 2ln x)解：原式=J1+2lnx1+2lnx=In|1+2 lnx|+C目录上页下页返回结束机动

=  (6) f (tan x)sec xdx 2 dtan x =  f e e x x x (7) ( ) d x de =  x x f x d 1 (8) (ln ) dln x 例6. 求  1+ 2ln x dln x 解: 原式 =  + = 2 1 2 ln x 1 d(1 + 2 ln x)