《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第3章 微分中值定理与导数的应用 第二节 洛必达法则

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第3章 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 0 0 第二节 洛必达法则

函数的性态一微分中值定理导数的性态本节研究：0f(x)8或，lim二型)函数之商的极限0g(x)8转化洛必达法则f'(x)导数之商的极限limg'(x)目录上页下页返回结束机动

微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则

O1型未定式0定理 1.1) lim f(x)= lim F(x)= 0x>axva2) f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F'(x)±0f'(x)3)lim存在（或为80）x-→>a F(x)1(a)= lim ['(a)→> lim :（洛必达法则）x→a F(x) x-aF'(x)目录上页下页返回结束机动

一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a   → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a   = → → 2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,   定理 1. 型未定式 0 0 (洛必达法则)

定理条件：1)limf(αx)=limF(x)=0x-ax->aO2）f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F(x)±0f(x)lim3)存在（或为）x-a F'(x)证：无妨假设 f(α)=F(α)=0,在指出的邻域内任取x≠a,则f(x),F(x)在以x,α为端点的区间上满足柯西定理条件，故f(x) _f(x)-f(a) -f()（在x，a之间）F(x) F(x)-F(a) F'()f'(x)f(x)f'(E)3)limlim.limF'(x)x->aF(x)x→aF()x-a目录上页下页返回结束机动

(  在 x , a 之间) 证: 无妨假设 f (a) = F (a) = 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( )   F f   = ( ) ( ) lim   F f x a   = → 3) 定理条件: 西定理条件, ( ) ( ) 3) lim F x f x x a   → 存在 (或为 ) 2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,  

f(x)f'(x)limlim洛必达法则x->aF'(x)x->aF(x)推论1.定理1中x→α换为xa.xa.x.x+x-0之一，条件2）作相应的修改，定理1仍然成立f'(x)0推论 2. 若 lim仍属型，且f(x）,F(x）满足定F'(x)0理1条件，则f(x)f(x)(xlimlimlimF(x)F'(x)F"(x)目录上页下页返回结束机动

推论1. 定理 1 中 x → a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x   理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +  , 洛必达法则

x3 -3x+20型例1.求lim03-x2-x+1x->1WLBr解：原式， = limx→1 3x2- 2x -136xlim=2x-→16x-2注意：不是未定式不能用洛必达法则6x6limlim二x-16x - 2x→16目录上页下页返回结束机动

例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 =  x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x −

元-arctanx福2型例2.求 lim01X→+0x1+解: 原式 = lim8X→+8型2x8Xlimlim21+1X→+801+x福x→+00七-arctan n2思考：如何求为正整数）？limn1n00n上页目录下页返回结束机动

例2. 求 解: 原式 lim → +  = x 型 0 0 2 2 1 lim x x x + = → +  = 1 2 1 1 + x − 2 1 x − 1 1 lim 2 1 + = → +  x x 思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim − →  ( n 为正整数) ? 型  

X二、型未定式8定理2.1) lim|f(x)= lim F(x)=00x->ax→a02）f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F(x)≠0f(x)存在 (或为)3) limx-a F(x)() = lim ()lim :（洛必达法则）x-→a F(x)x-→aF'(x)f(x)证：仅就极限lim存在的情形加以证明x-→aF(x)目录上页下页返回结束机动

二、   型未定式 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a   → 存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x x→a 定理 2. 证: ( ) ( ) lim F x f x x→a 仅就极限 存在的情形加以证明 . ( ) ( ) lim F x f x x a   = → (洛必达法则) 2) f ( x)与F ( x) 在 (a)内可导,  

0f(x)型￥0的情形lim1-0x→a F(x)1F'(x)F2(x)f(x)F(x)limlimlim1x→aF(x)一1x→ax→af'(x)f2(x)f(x)[(]F'(x)3 ()= limlim-11f'(x)x>ax-→aX→2. lim F(α)f(x)1 = limx-aF(x) x-a f'(x)C= lim )lim从而x-a F((x)x-→>a F(x)目录上页下页返回结束机动

1) 0 ( ) ( ) lim  → F x f x x a 的情形 ( ) ( ) lim F x f x x→a lim x→a = ( ) 1 F x ( ) 1 f x lim x→a = ( ) ( ) 1 2 F x F x  − ( ) ( ) 1 2 f x f x  −               = → ( ) ( ) ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 2 f x F x F x f x x a x a         = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) 1 lim f x F x F x f x x a x a    =  → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a   = → → 从而 型 0 0

f(x)2)=0 的情形lim取常数k±0，x→a F(x)f(x)f(x)+kF(x)lim= lim+kF(x)F(x)x→alx-→af(x)+kF(x)lim=k≠0,可用1)中结论F(x)x-af'(x)+kF'(x)f'(x)= lim:lim+kF(x)F'(x)x→ax-→af(x)f(x)limlimx→a F(x)x→a F(x)目录上页下页返回结束机动

2) 0 ( ) ( ) lim = → F x f x x a 的情形. 取常数 k  0 , = k  0 ,     +   → k F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + = → ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a + → ( ) ( ) ( ) lim F x f x kF x x a   +  = →       +   = → k F x f x x a ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a    = → → 可用 1) 中结论