《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第5章 定积分及其应用 第五节 定积分的应用

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第5章 一、定积分的元素法 二、定积分在几何中的应用 三、 定积分在物理学中的应用 第五节 定积分的的应用

一、定积分的元素法1.回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线 =f(x)(f(x)≥0),x 轴与x=a=b两条直线所围成，这个曲边梯形的面积A可表示为f (x)dx.目录上页返回结束机动下页

一、定积分的元素法 由连续曲线 y = f x f x ( )( ( ) 0),  x 轴与 x = a,= b 所围成． 这个曲边梯形的  ( ) . b a A = f x dx 1. 回顾 曲边梯形求面积的问题 曲边梯形 两条直线 面积 A 可表示为

面积表示为定积分的步骤如下(1）把区间[a,b]分成 n 个长度为 △xi的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄边梯形的面积为△AinEi,则A=i=1计算A的(2)近似值A;~f(si)AxiSiEAxi.目录上页返回结束机动下页

则  1 = Δ , n i i = A A 面积表示为定积分的步骤如下: (1) 相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i 个小窄 Δ , 边梯形的面积为 Ai 把区间 [ , ] a b 分成 Δ i n 个长度为 x 的小区间， (2) 计算 ΔAi 的 Δ ( )Δ , A f i i i  ξ x Δ . i i ξ  x 近似值

求和，得A的近似值(3)E f(si)Axi~i1求极限，得A的精确值nZ f(si)Axi = I' f(x)dx.A= lim20=1上页机动目录下页返回结束

(3) 求和， 得 A 的近似值  1 ( )Δ . n i i i = A f  ξ x 求极限， (4) 得 A 的精确值 lim 0 1 = ( )Δ n i i λ i = A f ξ x →  ( ) . b a = f x dx

2.用定积分表达量U的条件对曲边梯形面积A这个量表示为定积分的过程，可以若用A表示任一小区间[x,x+△x上窄边梯简化为：于是形的面积，则 A=ZAA,并取 A~f(x)dxA~Ef(x)dx,y=f(x)nZ (si)AxiA = limdA2-0i=1bxXx+dx0f (x)dx.面积元素目录上页下页返回结束机动

2. 用定积分表达量U的条件 对曲边梯形面积 A 这个量表示为定积分的过程， 若用 ΔA 表示任一小区间 [ , + x x xΔ ] 上窄边梯 形的面积，则 A A = Δ , 简化为： 可以 并取 ΔA f x dx  ( ) , 于是 A f x dx   ( ) , lim 0 1 = ( )Δ n i i λ i = A f ξ x →  ( ) . b a = f x dx 面积元素 dA y = f x( ) y o a x x dx + b x

一般在实际问题中，当所求量U如果满足下列条件U是与一个变量x的变化区间[a,bl有关的量；1(2）U对区间[a,b具有可加性，就是说，如果把区间[a,b]分成许多部分小区间，则U相应的分成许多部分量，而U等于所有部分量之和：(3）部分量△U;的近似值可表示为f（）Axi;就可以考虑用定积分来表达这个量U目录上页下页返回结束机动

一般在实际问题中，当所求量U如果满足下列条件： (2) (1) 如果把区间 则U相应的分成许多部分量， 而U等于所有部分量之和； (3) 部分量 ΔUi 的近似值可表示为 ( )Δ ; i i f ξ x 就可以考虑用定积分来表达这个量U． U对区间 [ , ] a b 具有可加性，就是说， [ , ] a b 分成许多部分小区间， U是与一个变量 x 的变化区间 [ , ] a b 有关的量；

3.元素法的一般步骤：根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为1积分变量，并确定它的变化区间[a,b](2)设想把积分区间a，b分成n个小区间，取其中任一小区并记为[x,x+dxl，求出相应于这小区间的部分量△U的近似值，如果^U能近似地表示为[a,b上的一就把f(x)dx个连续函数在x处的值f（x）与x的乘积即称为量U的元素且记为dU，dU = f (x)dx;以所求量U的元素3f(x）dx为被积表达式，在区间目录上页返回结束机动下页

3. 元素法的一般步骤： 根据问题的具体情况， 积分变量， (1) 选取一个变量例如 x 为 并确定它的变化区间 [ , ]; a b (2) 设想把积分区间 [ , ] a b 分成 n 个小区间，取其中 任一小区并记为 [ , + ], x x dx 求出相应于这小区间的部分 量 ΔU 的近似值. 如果 ΔU 能近似地表示为 [ , ] a b 上的一 个连续函数在 x 处的值 f x( ) 与 dx 的乘积， 就把 f x dx ( ) 称为量 U 的元素且记为 dU, 即 dU f x dx = ( ) ; (3) 以所求量U的元素 f x dx ( ) 为被积表达式，在区间

[a,b]上作定积分，得f(x)dx,即为所求量U的积分表达式此方法通常称为元素法应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功：水压力；引力和平均值等目录上页下页返回结束机动

得 应用方向： 水压力；引力和平均值等． [ , ] a b 上作定积分，  ( ) , b a U = f x dx 此方法通常称为元素法. 即为所求量 U 的积分表达式． 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；

二、定积分在几何中的应用1·平面图形的面积(1）直角坐标情形f(x)≥ 0f" f(x)dx1=曲边梯形的面积目录上页返回结束机动下页

二、定积分在几何中的应用 １．平面图形的面积 (1) 直角坐标情形  = ( ) b a A f x dx f x( ) 0  曲边梯形的面积

f(x)≤0f(x)dx三曲边梯形的面积目录上页下页返回结束机动

f x( ) 0  − = ( ) b a A f x dx 曲边梯形的面积