《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第8章 重积分 第三节 三重积分

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第8章 第三节 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算

一、三重积分的概念引例：成Q内分布着某种不均匀的设在空间有限闭区域物质,密度函数为μ(x,y,z)C,求分布在 Q 内的物质的质量M类似二重积分解决问题的思想，采用解决方法：“大化小，常代变，近似和，求极限'福2可得nAVkM = limu(Ek,nk,Sk)AVk元-0k=l(Ek,nk,Sk)目录上页下页返回结束机动

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k  ( , , )v  ( , , ) k k k    k v 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质,  ( x, y, z)  C, 求分布在  内的物质的 可得  = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为

定义设f(x,y,),(x,y,z),若对Q作任意分割AVk（=l,2...n)任意取点（k,nk,Sk）△Vk下列"乘极限积和式"n记作JEf(Ek,nk,k)AVklimf(x, y,z)dv一1-0k=1存在，则称此极限为函数f（x,y,2)在Q上的三重积分dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz性质：：三重积分的性质与二重积分相似.例如设f(x,y,)在有界闭域上连续,V为Q的中值定理体积，则存在（5,n5)EQ，使得Jl, (x, y,2)dv= (5,n.5)V目录上页下页返回结束机动

定义. 设 f ( x, y, z) , ( x, y, z)   , k k k n k k  f v → = lim ( , , ) 1 0     存在, f ( x, y, z)  f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对  作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域  上连续, 则存在 ( ,, )   , 使得  f (x, y,z) d v = f ( ,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作

二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分【f(x,y,z)≥0，并将它看作某物体先假设连续函数的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算方法：方法1.投影法（先一后二”方法2：截面法（先二后一”）方法3.三次积分法最后，推广到一般可积函数的积分计算目录上页返回结束机动下页

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f ( x, y, z)  0 , 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:

方法1.投影法（“先一后二"z = 22(x, y)Jz1(x,y)≤z≤z2(x,y)Q:(x,y)ED细长柱体微元的质量为=2(x,y)dxdyf(x, y,z)dz /oz=zi(xy)zi(x,y)该物体的质量为LDxJJf。 f(x, y,=)dydxdyz2(x,y)=ID(dxdyf(x, y,z)dz微元线密度~zi(x,y)f(x, y,z)dxdy22(x,y)记作JDdxdyf(x, y,z)dzzi(x,y)目录上页下页返回结束机动

z x y D  = D d xd y 方法1. 投影法 (“先一后二” )        x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1        该物体的质量为  f (x, y,z) d v        ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D  z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f ( x, y, z) d xd y 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d x d y 微元线密度≈ 记作

方法2.截面法（“先二后一"6[(x,y)eDQ:Qa≤z≤bD72以D,为底，dz为高的柱形薄片质量为a(JJD.f(x,y,z)dxdy)dzX该物体的质量为面密度~J/ f(x,y,z)dvf(x, y,z)dz=J(JD, f(x,y,2)dxdy)d记作['d=J, (x,y,2)ddy目录上页下页返回结束机动

a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 (  = b a DZ f (x, y,z) d x d y  DZ b a dz f (x, y,z)dxd y z Dz f ( x, y, z) d z 面密度≈ )dz 记作 

方法3三次积分法z1(x,y)≤z≤z2(x,y)设区域Q：(, y)e D : [mi(t)sy≤y2(x)a≤x≤b利用投影法结果，把二重积分化成二次积分即得Jl, f(x, y,2)dvb[y2(x)z2(x,y)·dxdyf(x,y,z)dzayi(x)zi(x,y)投影法z2(x,y)J/,(x,y,z)dvdxdyf(x, y,z)dz二zi(x,y)目录上页下页返回结束机动

投影法 方法3. 三次积分法 设区域  : 利用投影法结果 ,         a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y  z  z x y 把二重积分化成二次积分即得:   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z  ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z  ( ) ( ) 2 1 d y x y x y  = b a dx

当被积函数在积分域上变号时，因为f(x,y,z)(f(x,y,2)+ f(x,y,2) If(x,y,2)[- f(x,y,2)22= fi(x, y,2) - f2(x, y,2)均为非负函数根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算目录上页下页返回结束机动

当被积函数在积分域上变号时, 因为 f ( x, y, z) 2 f (x, y,z) − f (x, y,z) − ( , , ) 1 = f x y z ( , , ) 2 − f x y z 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 f (x, y,z) + f (x, y,z) =

小结：三重积分的计算方法方法1.“先一后二22(x,y)dxdyf(x, y,z)d z[fo f(x, y,z)dv=Dzi(x,y)：方法2.“先二后一"bJf, (x,y,2)dv=dzllDf(x,y,z)dxdya方法3.“三次积分”7h[y2(x)1z2(x,y)J/of(x, y,z)dv=df(x,y,z)d zdxJyi(x)zi(x,y)a具体计算时应根据三种方法（包含12种形式）各有特点，被积函数及积分域的特点灵活选择上页目录下页返回结束机动

小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分”   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z   = DZ b a d z f (x, y,z)dxd y    = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择

.例1.计算三重积分xdxdydz，其中Q为三个坐标面及平面X+2y+z=1月所围成的闭区域0≤z≤1-x-2y解: Q:(0≤≤(1-x)0≤x≤1Mxdxdydz2(1-x)1-x-2yxdxdydzJo00(2(1-x)(1-x-2y)dyaXJ0-2x2 +x3)dx48目录上页下页返回结束机动

例1. 计算三重积分  d d d , 其中 为三个坐标  x x y z x + 2 y + z = 1 所围成的闭区域 . 1 x y z 1 2 1 解:  :   x d x d y d z   − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  −x− y z 1 2 0 d  = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0  z  1 − x − 2 y 0 (1 ) 2 1  y  − x 0  x  1 48 1 = 面及平面