《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第9章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质

第一节常数项级数的概念和性质第9章一、常数项级数的概念二、无穷级数的基本性质三、级数收敛的必要条件*四、柯西审敛原理下页返回

第9章 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 第一节 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积依次作圆内接正3×2n（n=0,1,2.）边形，设a表示表示边数内接正三角形面积ak则圆内接正增加时增加的面积3×2n边形面积为ao+ai+a2+..+ann→8时，这个和逼近于圆的面积A即A=ao +a +a2 +..+an +目录上页下页返回结束机动

一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . +  设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正

引例2.小球从1米高处自由落下，每次跳起的高度减说明道理少一半，问小球是否会在某时刻停止运动？2s由自由落体运动方程s==gt'知t=2b0设t表示第k次小球落地的时间，贝小球运动的时间为T=ti +2t2 +2t3 + ..2+1+2+2[1+2(/2+1) ]~ 2.63 (s)g目录上页下页返回结束机动

引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程 2 g 2 1 s = t 知 g 2 s t = 则小球运动的时间为 1 T = t 2 + 2 t 3 + 2 t +    = g 2 1       + 2 1 2 2 ( 2) 1 + +   1 2  2 = + g ( 2 + 1)  2.6 3 ( s )   设 tk 表示第 k 次小球落地的时间

将各项依定义:给定一个数列ui,u2，u3，…,un，….8Eun,即次相加，简记为n=181un=ui+u2+u3+...+un+..1n=1称上式为无穷级数其中第n项un叫做级数的一般项级数的前n项和nSn=Zuk=u +u2 +u3 +... +unk=1若 lim Sn=S存在,则称无穷级数称为级数的部分和n→收敛，并称S为级数的和，记作目录上页下页返回结束机动

定义：给定一个数列 u1 , u 2 , u3 ,  , u n ,  将各项依 , 1   n= un 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作

8S=Zunn=1若limS，不存在，则称无穷级数发散n->当级数收敛时，称差值In = S-Sn =un+1 +un+2 +...显然为级数的余项lim rn = 0n>上页目录下页返回结束机动

当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然

（又称几何级数）例1.讨论等比级数8Eaq" =a+aq+aq?++aq"+. (a*0)n=0（q称为公比）的敛散性解：1)若±1,则部分和a-aqn-lSn=a+aq+aq'+...+aq1-q当ql0因此级数收敛，其和为1-g当q|>1时,由于 lim qn =o0,从而 lim Sn =0 n→00n00因此级数发散目录上页下页返回结束机动

例1. 讨论等比级数 (又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim =  , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为

2).若9=1,则当 q=1时,Sn=nα→0,因此级数发散当g=-1时，级数成为a-a+a-a+...+(-1)n-1.a+..n为奇数S因此n为偶数0从而limSn不存在，因此级数发散n>0综合 1)、2)可知，g|<1时,等比级数收敛q|≥1 时,等比级数发散目录上页下页返回结束机动

2). 若 因此级数发散 ; 因此    Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q  1 时, 等比级数收敛 ; q  1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a , 0, 不存在 , 因此级数发散

例2.判别下列级数的敛散性881n+lZZ(2)(1)Inin(n+l)nn=ln=l解：(1)34n+1S, = ln+ln+lnIn23nEInD+ (In3 - Ink) + + (In(n + 1) - Inm)(1h2= ln(n + l)→ 80 (n→8技巧：利用求和拆项相消所以级数（1）发散目录上页下页返回结束机动

例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 = ln n S = (ln 2 − l n 1) + (ln 3 − l n 2) +  + (ln(n + 1) − l n n ) = ln(n + 1) →  ( n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + + +

(2)SY3.41.2°2.3n·(n+ l)(-++-+-+(n→8n+1所以级数(2)收敛，其和为1技巧：利用求和“拆项相消目录上页下页返回结束机动

(2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1  + + +  +  +  = n n Sn        = − 2 1 1 1 1 1 + = − n → 1 ( n → ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .       + − 3 1 2 1       + − 4 1 3 1       + + + − 1 1 1 n n  技巧: 利用 “拆项相消” 求和

8例3.判别级数E ln(1-的敛散性nn=2解：ln(= ln(n + 1) + ln(n -1)- 2 ln nnMn:. Sn = EIn(k=2=[ln3+ln1-2n2]+[ln4+ln2-2ln3]+[ln5++ln3-2ln4] +...+[ln(n+1)+ ln(n -l)-2lnn)= -ln 2 + ln(n + l)- ln n = In(1 + 1)- In 2lim Sn=-ln2,故原级数收敛，其和为-ln2n0目录上页下页返回结束机动

例3. 判别级数 的敛散性 . 解: = ln(n + 1) + ln(n − 1) − 2 l n n ln(1 ) ln 2 1 = + − n 故原级数收敛 , 其和为