《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第二章 一维随机变量及其分布 第二节 离散型随机变量及其分布

第二节离散型随机变量及其分布一、离散型随机变量及其分布列的概念二、常见的离散型分布王寻求真理的长河中，唯有与习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山跨峻岭。华罗庚

第二节 离散型随机变量及其分布 一、离散型随机变量及其分布列的概念 二、常见的离散型分布

一、离散型随机变量及其分布列的概念定义1取值可数的随机变量为离散型随机变量。定义2：设离散型随机变量的一切可能取值为：x,x.….x,则称取x的概率p,即P（=x）=P,i=1,2,为离散型随机变量的分布列。SxIXX2.p, ≥0,Zp, =1P2p;PPii=l样本空间Q=X=X，=X.由于样本点两两不相容1=P(S)=ZP(X=X)=11写出可能取值一一即写出了样本点概率分布2写出相应的概率一一即写出了每一个样本点出现的概率2

2 一、离散型随机变量及其分布列的概念 定义1 取值可数的随机变量为离散型随机变量。 1 i i 0, 1 i p p      样本空间 由于样本点两两不相容 1 1 1 ( ) ( )i i i i P S P X x p           1.写出可能取值－－即写出了样本点 2.写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率 P . . . . 1 x 2 x i x p1 p2 pi  概率分布     = , , . ,.    x x x 1 2 n  1 2 2 , ,., ,., , ) , 1,2,., n i i i i x x x x p x p i       定义 ：设离散型随机变量 的一切可能取值为： 则称 取 的概率 即P( = 为离散型随机变量 的分布列

例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。解：设A={第个灯为红灯}，则P(A,)=p，=1,2,3且A,A2,A,相互独立P(X =0)= P(A)= p ;P(X =1)= P(AA)=(1-p)p ;P(X = 2) = P(A,A,A,)=(1- p)p ;。P(X =3) = P(AAA,)=(1- p)3 ;注意：（X=0)(X=1)(X232X01（X=3）为S的一个划分(1-p)(1-p)"ppp(1-p)p3

3 例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立 的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p， 0<p<1，以X表示首次停车时所通过的交通灯数，求X的概 率分布律。 1 P X P A p ( 0) ( )    ； 1 2 P X P A A p p ( 1) ( ) (1 )     ； 2 1 2 3 P X P A A A p p ( 2) ( ) (1 )     ； 3 1 2 3 P X P A A A p ( 3) ( ) (1 )     ； p X 0 1 2 3 p p(1-p) (1-p)2 p (1-p)3         0 , 1 , 2 3 X X X X S     注意： 为 的一个划分 解：设Ai={第i个灯为红灯}，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立

例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为p，0<p<1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到x只产品，试写出X的概率分布律。解：设A,={第i次抽到正品}，i=1,2,则A1,A2，相互独立。P(X =k)= P(AA, ... Ak-A)=(1-p)k-' p, k =1,2,...亦称X为服从参数p的几何分布。考试中

4 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率 为p，0<p<1，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已 检测到X只产品，试写出X的概率分布律。 1 1 2 1 ( ) ( ) (1 ) , 1,2, k P X k P A A A A p p k k k          解：设Ai={第i次抽到正品}，i=1,2,. 则A1,A2,.相互独立。 亦称X为服从参数p的几何分布

二、若干常见的离散型分布样本空间中只有两个样本点0X11.0一1(p）分布pqp(p+q=1)2.二项分布设A在n重贝努利试验中发生X次，每次试验中事件A发生的概率为P，则x的分布列为：P(X = k)=Chp*(1-p)n-k, k =0,1,.., n此分布称为二项分布，并称X服从参数为p的二项分布，记作：X~ b(n, p)注;1=(p+q)"=C,pq"-k 其中q=1-p通常二项分布的第项记为b(i;n,p)，即b(i;n, p)=Cnp'qn-i5

5 二、若干常见的离散型分布 1. 0－1(p) 分布 2.二项分布 X p q 0 1 p 样本空间中只 有两个样本点 (p+q=1) 设A在n重贝努利试验中发生X次，每次试验中事件A发生的概率为 p,则X的分布列为： 此分布称为二项分布，并称X服从参数为p的二项分布，记作： ( ) (1 ) 01 k k n k P X k C p p k n n       ， ， ， X b n p ( ) ， ( ; , ) ( ; , )= . i i n i n i b i n p b i n p C p q  通常二项分布的第 项记为 ，即 0 1 ( ) 1 n n k k n k n k p q C p q q p   注： 其中      

例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台：其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小解：按第一种方法。以X记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”以A（i=1,2,3,4表示事件“第i人维护的20台中发生故障不能及时维修”，则已知80台中发生故障不能及时维修的概率为：6

6 例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生 故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理 。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护， 每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这 两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。 i  1,2,3,4 20  X A i i  解： 以 记“第一人维护的20台中同一时刻发生故障的台数”。 以 表示事件“第 人维护的 台中发生故障不能 及时维修”，则 已知80台中发生故障不能及时维 按第一种 修的 方法。 概率为：

P(A UA, UA, UA)≥P(A)= P(X ≥2)而X~b(20,0.01),故有：P(X ≥ 2) = 1- Z P(X = k) =1-Z(C%)(0.01)* (0.99)20-k = 0.0169k=0k=0即有: P(A U A, UA, UA4)≥0.0169按第二种方法。以Y记80台中同一时刻发生故障的台数，此时,Y~b(80,0.01),故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：P(Y ≥4) =1-Z(Cs)(0.01)* (0.99)80-k = 0.0087

7 P A A A A P A P X  1 2 3 4 1           2 而 故有： X b  20,0.01 ,     1 0 2 1 k P X P X k            1 20 20 0 1 0.01 0.99 0.0169 k k k k C       即有：P A A A A  1 2 3 4     0.0169   80 , 80,0.01 , 80 Y Y b  按第二种 以 记 台中同一时刻发生故障的台数， 此时 故 台中发生故障而不能及时维修 方法。 的概率为：        3 80 80 0 4 1 0.01 0.99 0.0087 k k k k P Y C       

例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2）求恰好遇到2次红灯的概率。Y ~ b(3,p)解：这是三重贝努利试验(I) P(Y = k)=C, p*(1-p)3-k, k = 0,1,2,3(2) P(Y = 2) =Cp(1-p)8

8 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3 个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的 概率为p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。 Y b p (3, )   3 1 ( ) (1 ) , 0,1,2,3 3 k k k P Y k C p p k        2 2 2 ( 2) (1 ) P Y C p p    3 解：这是三重贝努利试验

例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0o0，至少有一次上式的意义为：老若p较小，p≠0，只要n充分大，命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少有一次发生”几乎是必然的

9 例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0<p<1，设命中X 次，(1) 求X的概率分布 律；(2) 求至少有一次命中的概率.  X b n p ( , ) 1 ( ) (1 ) 0,1, ,  k k n k P X k C p p k n n       ， 2 ( 1) 1 ( 0) 1 (1 )  n P X P X p        ( 1) 1 n lim P X    解：这是n重贝努利试验 同时可知： 上式的意义为：若p较小，p≠0,只要n充分大，至少有一次 命中的概率很大。即“小概率事件”在大量试验中“至少 有一次发生”几乎是必然的

例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收：否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为p.求这批产品能被接受的概率L(p).解：设x为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品数；则X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i)与{Y=j独立。A=[接受该批}。P(A|1≤X ≤2)=P(Y=0/1≤X≤2)= P(Y = 0)L(P) =P(X = 0). P(A| X = 0) +P(1≤X ≤2). P(A|1≤X≤2)+P(X >2).P(A X>2)L(P)=P(A)±(1-p)"° +[10p(1-p) +45p(1-p)°].(1 - p)10

10 例：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验， 从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2 拒收；否则作第二次检验，从中任取5件，仅当5件中无次 品便接受这批产品，设产品的次品率为p．求这批产品能被 接受的概率L(p)． L P( )  L(P)=P(A) ( |1 2) ( 0 |1 2) ( 0) P A X P Y X P Y         P X P A X ( 0) ( | 0)          P X P A X (1 2) ( |1 2)     P X P A X ( 2) ( | 2) 10 9 2 8 5         (1 ) [10 (1 ) 45 (1 ) ] (1 ) p p p p p p 解：设X为第一次抽得的次品数，Y为第2次抽得的次品 数；则X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。 A={接受该批}