《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第9章 无穷级数 第五节 函数幂级数展开式的应用

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第9章 第五节 函数幂级数展开式的应用 一、近似计算 二、欧拉公式

一、近似计算例1.计算 5/240的近似值，精确到10-4解: 5/240 =5/243-3 =3(1-±)( - 11.4.911.4.9.141.4+=33/63123853.3!52.2!354.4!1.4++(<0.5 ×10-4RK35/240 ~ 3(1- 1.)=3-0.007412.9926福5目录上页下页返回结束机动

一、近似计算 + x = + m x + m (1 ) 1 +  − 2 2! ( 1) x m m   + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) ( − 1  x  1 ) 例1. 计算 5 240 10 . −4    = 3 2  r 2 8 3 1 5 2! 1 4    3 12 3 1 5 3! 1 4 9     +  +     + 4 1 6 3 1 5 4! 1 4 9 1 4    81 8 1 1 1 3 1 25 6 − =   ) 3 1 5 1 240 3(1 4 5   −   3 − 0.00741  2.9926 的近似值, 精确到    +      + +         2 2 8 8 1 1 8 1 1 1 3 1 5 2! 1 4 3 4 0.5 10 −   3 1   = 4 3 1 5 1 −  2 8 3 1 5 2! 1 4    −  −    − 3 1 2 3 1 5 3! 1 4 9 解: 5 5 240 = 243 − 3 5 1 4 3(1 ) 3 1 = −   

例2.计算 ln 2 的近似值,使准确到 10-4解：已知In(1+x)= x-(-1<x≤1)In(1- x) =-x -(-1≤x<1)2431 +x= In(1 + x) - In(1 - x)故In1-x(-1<x<1)1+x令=2得于是有x=31-xIn2=2目录上页下页返回结束机动

( 1 1) 2 3 4 ln(1 ) 2 3 4  − = − − − − − −  x  x x x x x  例2. 计算 ln 2 的近似值 ,使准确到 10 . −4 解: 已知 故 ln(1 ) ln(1 ) 1 1 ln x x x x = + − − − + = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x 令 2 1 1 = − + x x 得       = +  3 +  5 +  7 + 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 l n 2 2 , 3 1 x = 于是有

在上述展开式中取前四项11(1++()2<0.2×10-478732+3$+73)ln2~:0.6931+1A目录上页下页返回结束机动

4 9 3 1 9 1 2     r =        1 1 + + ) 2 + 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − =          +  +  +  3 5 7 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 l n 2 2  0.6931 11 3 1 11 1 +     +  13 + 3 1 13 1 9 4 3 1  = 4 0.2 1 0 78732 1 − =   在上述展开式中取前四项

说明：在展开式1+xln1-x1中令 x=n为自然数），得2n+1n+ln2n+n: In(n + I) = lnn +22n+1具此递推公式可求出任意正整数的对数，如+)+)s=1.6094ln5=2ln2+2目录上页下页返回结束机动

说明: 在展开式 中,令 2 1 1 + = n x       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 2 1 l n n n n n n 得  ln(n + 1) 具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如       = + + 3 + ) 5 + 9 1 ( 5 1 ) 9 1 ( 3 1 9 1 l n 5 2 l n 2 2  1.6094 ( n为自然数) ,       + + + + + + = + 3 ) 5  2 1 1 ( 5 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 l n 2 n n n n = ( + + + ) 3 5 5 1 3 1 2 x x x

求sin9°的近似值，并估计例3.利用sinx~x-3!误差元元(弧度)解：先把角度化为弧度X99820180元元+)-)sin20205<=×10-5(0.2)55120120元元sin：0.157080-0.00064620~20~31(20~ 0.1564310-5误差不超过目录上页下页返回结束机动

 = − 3 + 5 − ) 7 + 2 0 ( 7! 1 ) 2 0 ( 5! 1 ) 2 0 ( 3! 1 2 0 2 0 sin      例3. 利用 求 误差. 解: 先把角度化为弧度 9 = (弧度) 5 2 ) 20 ( 5! 1  r  5 (0.2) 120 1  5 10 3 1 −   3! sin 3 x x = x − 5! 5 x + 7! 7 x − +   0.157080 − 0.000646 3 ) 2 0 ( 3! 1 2 0 2 0 sin      − 误差不超过 5 10− 的近似值 , 并估计  0.15643

212-4dx精确到10例4.计算积分的近似值，e1元J0（取=0.56419）e2解：十3!1!2!2n8x= (-1)n 18<X<+8n!n=02n8222xZ(-1)"dxdxn!元n=08(-1)n212E8W1122ndxXn=on!(2n+1) 22n+lJOn!元n=(上页目录下页返回结束机动

( 取 例4. 计算积分 的近似值, 精确到 0.56419) 1   解: 1 2 = −x e ! ( 1) 2 0 n x n n n   = = − (−   x  + ) e x x d 2 2 2 1 0 −   dx 2 2 1 0      =  ! ( 1) 2 0 n x n n n   = −   = − = 0 ! 2 ( 1) n n  n x x n d 2 0 2 1  1! ( ) 2 −x + 2! ( ) 2 2 −x + + − + 3! ( ) 2 3 x   =  − = 0 ! 2 ( 1) n n  n 2 1 2 1 n+ (2n + 1)

福-xAdxO二24.5.2!26.7.3!1V元 n(2n +1) 22/104>n≥4取n=4.则所求积分近似值为edx24.5.2！26.7.3！22.3=0.5205目录上页下页返回结束机动

( ) 2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6   −   +   −   e −x d x =  2 2 1 0 2          +   −   +  = −  2 7 3! 1 2 5 2! 1 2 3 1 1 1 2 4 6  n n n n r 2 !(2 1) 2 1 1 +    4 10 −  2 4  !(2 + 1)  2  1 0 n 则 n 应满足  n n e x x d 2 2 1 2 0  −  则所求积分近似值为 欲使截断误差  0.5205

clsinx例5.计算积分精确到10-4dx的近似值0xsinx解：由于lim1，故所给积分不是广义积分x-0若定义被积函数在x=0处的值为1，则它在积分区间上连续，，且有幂级数展开式62n42xsinxXxX-1)n713！!5!(2n + 1)!x1(-1)nsinxd3.3!5.5!(2n + 1)·(2n + 1)!/<0.3×10-4137.7!352801-0.05556+0.00167=0.9461目录上页下页返回结束机动

例5. 计算积分 的近似值, 精确到 解: 由于 1, sin lim 0 = → x x x 故所给积分不是广义积分. 若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间  + + = − + − + + − (2 1)! ( 1) 3! 5! 7! 1 sin 2 4 6 2 n x x x x x x n n x x x d 1sin 0  = 1 −  + 5 5! 1  + +  + − + (2 1) (2 1)! ( 1) n n n r3   1 − 0.05556 + 0.00167 上连续, 且有幂级数展开式 :  0.9461

欧拉公式二、E8对复数项级数1E(un +ivn)n=l88若之yn=v,则称①收敛，且其和为u+ivun=u,n=ln=18OZlun+ivn|=Eun+v?收敛，！若则称绝对收敛n=ln=1[un]≤/un?+vn, |v]≤un? +v,?,故知由于[888ZZyn！E(un+ivn)绝对收敛绝对收敛un?n=ln=ln=18V（un+ivn）收敛n=1目录上页下页返回结束机动

二、欧拉公式 则称 ① 收敛 , 且其和为 ( ) 1 n n n  u + i v  = 绝对收敛 , 1   n= un ( ) 1 n n n  u + i v  = 收敛 . , 1 u u n  n =  = , 1 v v n  n =  = 若 n n n  u + i v  =1 u + i v . 2 2 1 n n n =  u + v  = 收敛, 若 对复数项级数 , 2 2 n n n u  u + v 2 2 n n n v  u + v ①   n=1 n v 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知