《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第8章 重积分 第二节 二重积分的计算法

第二节二重积分的计算法第8章一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分*三、二重积分的换元法下页返回

第8章 *三、二重积分的换元法 第二节 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分

一、利用直角坐标计算二重积分当被积函数f(x,y)≥0由曲顶柱体体积的计算可知y=Φ2(x)且在D上连续时若D为X-型区域Pi(x)≤≤@2()D :1a≤x≤bday-o(a)bx102(x)则f(x,y)dyJ, f(x, y)dxdy=dxPi(x)aaydy=V2()i(y)≤x≤y2(y)若D为Y-型区域Dc≤dx=CW2(y)则[], f(x,y)dxdy =]f(x,y)dxolx目录上页下页返回结束机动

一、利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 当被积函数 f ( x, y )  0        a x b x y x D ( ) ( ) : 1  2 D f (x, y) dx d y f x y y x x ( , ) d ( ) ( ) 2 1     = b a d x 由曲顶柱体体积的计算可知, 若D为 X – 型区域 则 ( ) 1 y =  x ( ) 2 y =  x o b x y D a x 若D为Y –型区域        c y d y x y D ( ) ( ) :  1  2 y ( ) 1 x =  y ( ) 2 x =  y x d o c y f x y x y y ( , ) d ( ) ( ) 2 1     d c 则 d y

当被积函数f(x,J)在D上变号时,由于(x, y) = I(x,y) +If(x, y)f(x,y)- f(x,y)22fz(x,y) 均非负fi(x,y), f(x, y)dxd y= JJ, i(x, y)dxd y- JJ, J2(x, y)dxd y因此上面讨论的累次积分法仍然有效目录上页下页返回结束机动

当被积函数 f ( x, y ) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于

说明：（1）若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域则有JJ, f(x,y) dx dyy2(x)O192(x)x=W2(y)x=V(y)f(x,y)dydxDPi(x)LayPi(xW2(y）f(x,y)dxXbx0a1(y为计算方便，可选择积分序必要时还可以交换积分序(2）若积分域较复杂,可将它分成若干DDX-型域或Y-型域，则D3。= D, + D, + ,x目录上页返回结束机动下页

o x y 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , D f (x, y) dx d y 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y =  x o x y D a b ( ) 1 x =  y ( ) 2 x =  y d c 则有 x ( ) 1 y =  x y f x y y x x ( , ) d ( ) ( ) 2 1     = b a d x f x y x y y ( , ) d ( ) ( ) 2 1     = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 ,     = + + D D1 D2 D3 则

例1.计算I=xydo,其中D是直线y=1,x=2,及所围的闭区域V=xl≤y≤x解法1.将D看作X-型区域则D1≤x≤22(=’ dx[xyd y=["[1xy2]dx9,[1x3 -1x ]dx =81 x2xRy≤x≤2解法2.将D看作Y-型区域，则DL1≤y≤29I=[rdyydx =[1x]dy=[,[2y-3 ]dy-8目录上页下页返回结束机动

x y 2 1 1 y = x o 2  = 2 1 d y 例1. 计算 d ,  = D I x y  其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1. 将D看作X–型区域, 则    D : I =  2 1 d x xyd y  = 2 1 d x    = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 =   1 2 2 1 x xy 解法2. 将D看作Y–型区域, 则    D : I =  xyd x  2 1 d y   y x y 2 2 2 1    = − 2 1 3 2 1 2 y y d y 8 9 = y 1 x y 2 1  y  x 1  x  2 y  x  2 1  y  2

JDxydo，其中D是抛物线y?=x及直线例2.计算y=x-2所围成的闭区域121解：为计算简便，先对x后对y积分VDD:[sxsy+2则4x(-1≤y≤2V=X-+2JJ, xydo =dyf,xydx[++2 dy=(+2-]dy45614+?8目录上页下页返回结束机动

例2. 计算 d , D x y  其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,    D :  xy d x  D x yd − = 2 1 dy   − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 d y y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 − 1 4 o y x y 2 2 y  x  y + − 1  y  2 2 y y + 2 及直线 则

sinx例3.计算dxdy,其中D是直线y=x,y=0Dx所围成的闭区域x=元V=X解：由被积函数可知，先对x积分不行，X二元D因此取D为X-型域元x[0≤y≤xD0≤x≤元sinx元sinxX小dxdy=dxdiDYX元元sinxdx=[-cosx说明：有些二次积分为了积分方便，还需交换积分顺序目录上页下页返回结束机动

例3. 计算 d d , sin D x y x x 其中D 是直线 所围成的闭区域. o x y D  x =  y = x 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 :        x  y x D 0 0 :  D x y x x d d sin  x y 0 d  =  0 sin x dx = 2  =  0 d sin x x x 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序

例4.交换下列积分顺序8-x22V2I = I'dx[2 f(x, y)dy-dxf(x,y)dy-0解：积分域由两部分组成JoxJ0≤y≤8-x2D1D.22≤x≤2~20≤x≤22DO将 D = Di + D2视为Y-型区域,则22V2 xI = [J, f(x,y)dxdy =f(x,y)dx目录上页下页返回结束机动

例4. 交换下列积分顺序     − = + 2 2 8 0 2 2 2 2 0 2 0 d ( , )d d ( , )d x x I x f x y y x f x y y 解: 积分域由两部分组成: , 0 2 0 : 2 2 1 1        x y x D 8 2 2 x + y = D2 2 2 y o 2 x D1 2 2 1 y = x 2        − 2 2 2 0 8 : 2 2 x y x D 将 D = D1 + D2    D : 视为Y–型区域 , 则 2 2 y  x  8 − y 0  y  2  = D I f ( x, y) d x d y  − 2 8 2 ( , )d y y f x y x  = 2 0 dy

例5. 计算I =xIn(y+1+y)dxdy，其中D由JD= 4-x2,=-3x,×=1 所围成解: 令 f(x,y)= xln(y+/1+y2)V=4DD=D,+D， (如图所示)-3x显然，在D上, f(-x,y)=-f(x,y)D2xO在D2上, f(x,-y)=-f(x,y)x=x In(y+ 1+ y*)dxdyDx ln(y+ /1+ y2)dxdy = 0D目录上页下页返回结束机动

例5. 计算 其中D 由 4 , 2 y = − x y = − 3 x , x = 1 所围成 . o y x2 y = 4 − x y = − 3 x D 2 D1 x = 1 解 : 令 ( , ) ln( 1 ) 2 f x y = x y + + y D D 1 D 2 = + (如图所示 ) 显然 , , 在 D 1 上 f (− x, y ) = − f ( x, y ) , 在 D 2 上 f ( x,− y ) = − f ( x, y ) I x y y x y D ln( 1 )d d 1 2   = + + x y y x y = 0 D ln( 1 )d d 2 2  + + + 4

二、利用极坐标计算二重积分=0+40在极坐标系下，用同心圆r=常数0=0k及射线θ=常数,分划区域D 为NokAok (k=1,2,...,nr=-x则除包含边界点的小区域外，小区域的面积Ao =(r + Ar)?.AOk -k?.0=[ +( + ) ·rh40kNrk= rkArk ·△OkNOkk在△内取点(rk,),对应有Ek = rk cosOk, nk = rk sinOk上页目录返回结束机动下页

x y o k k k = r r   k k k k k k  = r cos  ,  = r sin  对应有 二、利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积  k (k 1, 2 , , n)  k =  在  k ( , ), k k r  k  =  k k  =  +   k r = r  k k k − r   2 2 1 内取点 k k k = r + r   2 2 1 ( ) 及射线  =常数, 分划区域D 为 k r k r  k k k r 