《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第一章 随机事件与概率 第三节 概率的公理化定义及其性质

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHT第3节机概率的公理化定义及其性质柯尔莫哥洛夫，1933年前苏联著名数学家，现代概率论开创者定义3.1设E为随机试验，Q是它的样本空间，F是Q的一些子集所组成的集合族。如果F满足如下条件：1QEF,2°若AEF,则AEF,3° 若A, EF,i=1,2,.,则U,A, EF则称集类F为一代数，称F中的元素为事件，Q为必然事件，空集为不可能事件，（Q，F）为可测空间返回0

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH例1F=[d,为-代数，这是最小的为-代数例2.设AC为任意集合，则F=dA，A,为6-代数例3.设为任意有限集，则F=2=[人的子集|为6一代数例4.设^为任意的集合，则F=2^=[^的子集】为6一代数例5.设人为实数限集，如果F是由所有的有界半闭区间[a,b), -0<a<b<+00生成的为一代数.则称F为Borel o一代数，F中的元素叫做Borel集返回下页

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH可测空间（Q，F）具有以下性质1°deF;2 若A, EF,i =1,2,..,则 A, EF3°若A, EF,i=1,2,..,n, 则A, EF;4°A,BEF.则A-BEF证明从略下页返回顶

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHH定义3.2设（Q，F）是一个可测空间，对每一集AEF，定义实值集函数PA），若它满足如下三个条件：（1）非负性条件：对每一集AEF.都有0≤P(A)≤1;(2）规范性条件：P（Q）=1;(3）可列可加性条件：设AEF,=1,2...,而且AA=0,计i, ij=l,2,...,有P(UA,) -P(A,)1则称集合函数P）为（2，F）上的概率，P（A）为事件A的概率，（Q，FP）为一个概率空间上页下页返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH概率的性质性质1.P（O）=0证明：设A=（n=1,2,..），则UA, =0i=1且对于i±j有AA =Φ于是由可列可加性得P(O)= P(UA,)-ZP(A,)-ZP(0)li-1i-1又由P(O）≥0得，P（)=0上页下页返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH性质2.（有限可加性若有限事件,A2,..,A,是两两不相容的则P(UA,)=ZP(A,)i=-1-1证明令Au+I-Au+2-=①则由可列可加性及P（O）=0得)-(J()-ZZP(0)ZP(A,)+P(A,)=ii-1j=n+1WMo-MP(A,P(A) + -i=l酒j=+1正页下页返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHT性质3.对于任一事件A，有P(A) =1- P(A)证明因为 AUA=Q且AA=Q因此有1 = P(Q2) = P(AUA) = P(A)+ P(A)即P(A) = 1- P(A)返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH性质4设A,B是两个事件，若AB,则有P(B-A)=P(B)-P(A)证明由ACB知B-AU（B-A，且AB-A)=O因此由概率的有限可加性得P(B)=P(A)+P(B-A)从而有P(B-A)=P(B)-P(A)推论若A CB，则P(B)≥P(A)证明由P（B）=P（A）+P(B-A）和P（B-A）≥0知P(B) ≥P(A)上页下页返回

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH推论对于任意两事件A,B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)证明因为A-B=A-AB，且ABCA 故P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)性质5对于任意两事件A,B，有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)上式称为概率的加法公式因证明AUB-AUB-AB且AB-AB=O.ABCB故PAUB=PA+PB-AB=PA+P(B-PAB返回上页下页

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHT概率的加法公式可推广到多个事件的情况设A,B.C是任意三个事件，则有P(AUBUC)=P(A)+P(B+P(C)-PAB-PBC-PCA)+P(ABC)一般地，对于任意n个事件AAA，有P(U A,)-EP(A,)- ZP(A,A)i=11≤i<jSni=lZP(A,A,A,) + ... +(-1)"- P(A,A, ..A.)+1si<j<ksn多除少补原理返回上页下页