《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第五章 大数定律与中心极限定理 第二节 中心极限定理

第二节中心极限定理中心极限定理揭示了正态分布的普遍性。定理1（林德伯格-列维中心极限定理）设X...,X,,...独立同分布,且 E(X,)= μ,D(X)=2则对于任意的实数x，有EX, -nlimP2dt=(x)≤xn→cVno由该定理,当n很大时,就可以认为,X，近似服从正态分布N(nμ,no）

定理2(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设nA是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0< p<1),则对于任意的实数x.有n-nplimP≤ x=Φ()nLVnp(1 -p)[1,第次试验中 A出现证明令 x,=i= 1,2,..0,第i次试验中A没出现1由于E(X,)= p,D(X,)= p(1- p), i = 1,2,...并且nA = Z X i=l故由定理1，得证

根据该定理，若X ~ B(n,p),则当n很大时，有X -npPI≤x) ~Φ(x)/np(1- p)

例1将一枚硬币连续的抛掷1000次分别计算出现正面的次数大于530.550的概率解 设X为出现正面的次数,则有X ～B(1000 ,0.5)由棣莫弗-拉普拉斯定理，有PIX >530 1 = 1 - P[X ≤530 IX - 1000 × 0.5530-1000x0.5=1-PV1000 × 0.5 × 0.5V1000 ×0.5×0.530~1-Φ1-Φ(1.8974）=1-0.9706=0.0294V250同理50P[X > 550 } ~ 1 -@=1-Φ(3.1623)~0V250

例2某车间有同型号的机床200部.每部机器开动的概率为0.7.假定各机床开关是相互独立的.开动时每部机器要耗电能15个单位，问电厂最少要供应该车间多少单位电能.才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产？解设X表示某一时刻机器开动的台数，则X ~ B(200 ,0.7)设电厂至少要供应x个单位的电能.则由题意.有xP/X≤≥0.9515由棣莫弗-拉普拉斯定理，有

x200×0.7X - 200 × 0.7x15PDX三L-15V200 ×0.7 × 0.3V200 ×0.7×0.3x-14015查表得,应有~Φ≥ 0.95V4215-140x≥150.69×15=2260.25xI≥1.65V42故至少须向该车间供应2261个单位的电能.才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产

列3在一次试验中事件A出现的概率为0.4，应至少进行多少次试验，才能使事件A出现的频率与概率之差在±0.1之间的概率不低于0.9？（Φ(1.65）=0.95）（6分）解设需进行n次试验，则在这n次试验中事件A出现的次数X，～B(n,p)，其中 p = P(A)=0.4，于是由德莫弗一拉普拉斯中心极限定理，所求的概率为1X= P(I X, - np <"1010nX,-npn≤10 /np(1 - p)/np(1- p)

nn~Φ10 /np (1 - p)10 /np (1 - p)n=2010 /np(1 - p)n20-1≥ 0.9=24nn即@≥ 0.95 ，所以≥1.65，解得n≥ 65.34，2424故至少应做66次试验才能使事件A出现的频率与概率之差在±0.1之间的概率不低于0.9

例4一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱的平均重50千克，标准差5于克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.997.解 设X,(i=l,2,…,n）是装运的第i箱的重量,n是所求得箱数,有条件可知,可以把，X，，…，X看作是相互独立同分布的随机变量.而总重量T, = X, + X, +...+ X是独立同分布的随机变量之和由题意知E(X,)=50,/D(X）=5,并且要求n 满足P[T, ≤ 5000 } >0.997 = Φ(2)由林德伯格-列维定理

5000 - 50 nT. - 50 nP[T, ≤5000 } =M5Vn5Vn1000-10nd~Vn所以n必须满足1000 -10 nn 2Vn即最多可以装98箱