《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 随机变量的数字特征 第三节 协方差及相关系数

第三节 协方差及相关系数1、、协方差和相关系数的概念二、协方差的性质三、相关系数的性质正相关(2)(1)(3)(4)L

第三节 协方差及相关系数 一、协方差和相关系数的概念 二、协方差的性质 三、相关系数的性质

前面我们介绍了随机变量的数学期望与方差。对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容协方差和相关系数

前面我们介绍了随机变量的数学期望与方 差。对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y 的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间 相互关系的数字特征。这就是本节的内容

一、协方差和相关系数的概念1.问题的提出若随机变量X和Y相互独立那么D(X +Y)= D(X) +D(Y)若随机变量X和Y不相互独立D(X+Y)=E(X+Y)-[E(X+Y))=D(X)+D(Y)+2EI[X-E(X)I[Y-E(Y))协方差

一、协方差和相关系数的概念

2. 定义量E([X-E(X)I[Y-E(Y)}称为随机变量X与Y的协方差记为：Cov(X,Y)，即Cov(X,Y) = E([X - E(X)I[Y - E(Y)])又若D(X)0，D(Y)±0，则称Cov(X,Y)PxYJD(X)D(Y)为随机变量X与Y的相关系数px是一个无量纲的量

2. 定义     [ ( )][ ( )] ( , ) ( , ) [ ( )][ ( )] . ( ) 0 ( ) 0 ( , ) ( ) ( ) XY XY E X E X Y E Y X Y Cov X Y Cov X Y E X E X Y E Y D X D Y Cov X Y D X D Y X Y           量 称为随机变量 与 的协方差， 记为： ，即 又若 ， ，则称 为随机变量 与 的相关系数. 是一个无量纲的量

3.协方差的计算(1)定义法: COV(X,Y)= E{[X-E(X)I[Y-E(Y)I)ZE[x; - E(X)ly, - E(Y)]p(x,y,)ij+8[x -E(X)I[y - E(Y)lf(x, y)dxdy(2)公式法: COV(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)证（2)：COV(X,Y) = E[X - E(X)I[Y - E(Y)])= EIXY - XE(Y)-YE(X)+ E(X)E(Y))=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)注：X,Y相互独立 =>cov(X,Y)=O

                 x E X y E Y f x y dxdy x E X y E Y p x y i j i j i j [ ( )][ ( )] ( , ) [ ( )][ ( )] ( , ) 3.协方差的计算 (1)定义法：COV(X,Y)  E{[X  E(X)][Y  E(Y)]} 证(2): (2)公式法：COV(X,Y)  E(XY) E(X)E(Y) COV(X,Y)  E{[X  E(X)][Y  E(Y)]}  E[XY  XE(Y)YE(X) E(X)E(Y)]  E(XY) E(X)E(Y) E(Y)E(X) E(X)E(Y)  E(XY) E(X)E(Y) 注: X,Y相互独立  cov( X,Y)  0

二、协方差的性质：1. Cov(X,Y) =Cov(Y,X), Cov(X,X)= D(X)2. Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)3. Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) a,b是常数4. Cov(X, + X2, Y) =Cov(Xi,Y)+Cov(X2,Y)思考Cov(aX +bY,cX +dY)=?D(aX +bY)=?答案：acD(X)+bdD(Y）+（ad+bc)Cov(X,Y）aD(X)+bD(Y)+2abCov(X,Y)

二、协方差的性质： Cov aX bY cX dY D aX bY ( , ) ? ( ) ?      2 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 2 ( , ) acD X bdD Y ad bc Cov X Y a D X b D Y abCov X Y      答案： 思考 1. ( , ) ( , ) ( , ) ( ) Cov X Y Cov Y X Cov X X D X   ， 2. ( , Cov X Y E XY E X E Y ) ( ) ( ) ( )   3. ( , ) ( , ) , Cov aX bY abCov X Y a b  是常数 1 2 1 2 4. ( , ) ( , ) ( , Cov X X Y Cov X Y Cov X Y    )

证明4)：利用 COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)4)COV(X, + X, Y)= E[(X, + X,)Y)- E(X, + X,)E(Y)= E(X,Y + X,Y)-[E(X)+E(X,)]E(Y)=[E(X,Y)- E(X)E(Y)]+[E(X,Y) -E(X,)E(Y))=COV(X,,Y)+COV(X,,Y)

4) ( ) COV X X Y 1 2  ， [E(X Y) E(X )E(Y)] [E(X Y) E(X )E(Y)]  1  1  2  2 E[(X X )Y] E(X X )E(Y)  1  2  1  2 证明4)：利用 E(X Y X Y) [E(X ) E(X )]E(Y)  1  2  1  2 COV(X,Y)  E(XY) E(X)E(Y) ( , ) ( , )  COV X1 Y COV X2 Y

例2：设(X,Y)的概率密度为：x+y, 0≤x≤1,0≤y≤1;f(x,y)=0,其它.求 COV(X,Y)解: COV(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)E(XY) = [(xy) f(x, y)dxdy1=f df, xy(x+y)dy=3

例2：设(X,Y)的概率密度为： ( , ). , . , , ; ( , ) COV X Y x y x y f x y 求  其 它         0 0 1 0 1 解 ：COV(X,Y)  E(XY) E(X)E(Y)         E(XY)  (xy) f (x, y)dxdy 3 1 ( ) 1 0 1 0      dx xy x y dy

YE(X) =xf(x, y)dxdy1D['d'x(x+ )dy = 0X01同理 E(Y)= ( yf(x, y)dxdy7-J dxf。 y(x+ y)dy=12:.COV(X,Y)= E(XY)- E(X)E(Y)312144

    1 0 1 0 dx x(x y)dy X Y 1 1 D 0         E(X)  xf (x, y)dxdy12 7  E Y yf x y dxdy ( ) ( , )      同理   1 1 0 0 7 ( ) = 12   dx y x y dy   1 7 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 12 144        COV X Y E XY E X E Y

三、 相关系数的性质(1) |Pxr/ ≤11.a>0(2) Y =aX +b(a+0)台 Pxy =[-1,a<0线性关系证明（1)VkERD(kX + Y) = k"D(X)+ 2k cov(X,Y)+ D(Y) ≥ 0△ = 4(cov(X,Y) - 4D(X) · D(Y)≤ 0cov(X,Y).: |Pxr|≤1≤1Pxy =一D(X)· D(Y)

            1, 0 1, 0 2 ( 0) 1 1 a a Y aX b a X Y X Y   （ ） （ ） 三、相关系数的性质 线性关系 证明（1） k  R 2 0 2 D(kX Y)  k D(X) k cov( X,Y) D(Y)  1 2 2    ( ) ( ) cov ( , ) D X D Y X Y  X Y 4  4 0 2   cov( X,Y)  D(X) D(Y)    XY  1