《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望

第四章随机变量的数字特征第一节数学期望方差第二节第三节协方差与相关系数

第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差与相关系数

问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量；，在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度

问题的提出： 在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布 函数外，更关心的是随机变量的某些特征。 例： 在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均 产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均 长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度； 考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知家庭 的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度；

第一节数学期望例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩如下：甲91098乙810101080次数1520次数65评定他们的成绩好坏。1010808×10+9×80+10×10=8x9x+10x-9解：计算甲的平均成绩：1001001001002065158×20+9×65+10×15=8×9X+10×计算乙的平均成绩：8.95100100100100所以，甲的成绩好于乙的成绩。801010对于甲来说分别是8环、9环、10环的概率；100~100~100206515对于乙来说分别是8环、9环10环的概率；100100100它们是命中的环数与对应的概率的成绩之和。这就是今天我们要讲的数学期望，也称为均值。由此引进如下定义：

第一节 数学期望 例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩如下： 评定他们的成绩好坏。 8 10 9 80 10 10 10 80 10 8 9 10 9 100 100 100 100             甲 次数 10 80 10 8 9 10 乙 次数 20 65 15 8 9 10 8 20 9 65 10 15 20 65 15 8 9 10 8.95 100 100 100 100             10 80 10 8 9 10 100 100 100 对于甲来说, 、 、 分别是 环、环、 环的概率； 20 65 15 8 9 10 100 100 100 对于乙来说, 、 、 分别是 环、环、 环的概率； 它们是命中的环数与对应的概率的成绩之和。这就是今天我们 要讲的数学期望，也称为均值。由此引进如下定义： 解：计算甲的平均成绩： 计算乙的平均成绩： 所以，甲的成绩好于乙的成绩

一、数学期望的定义定义1设离散型随机变量X的分布律为：P(X=x)=pkk=1,2,.若级数亡xPs绝对收敛，则称级数亡xP,的和为随机变量Xk=lk=l的数学期望，记为E(X),即 E(X)=Z×Pk定义2设连续型随机变量X的概率概率为f(x),若积分[xf(x)dx 绝对收敛（即/x(x)dx<o0)则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)即 E(X)=[ xf(x)dx数学期望简称期望，又称均值

    1 1 1 ( ) 1,2, , k k k k k k k k k k k X P X x p E X x x p k x p E p X X              定义1 设离散型随机变量 的分布律为： 若级数 则称级数 的和为随机变量 的数学期望，记为 即 绝对收敛，     , ( ) ( ) ( ) < ( ) ( ) xf x dx E X xf x dx X f x x f x dx xf x dx X E X               数学期望 定义2 设连续型随机变量 的概率概率为 若积分 (即 ) 则称积分 的值为随机变量 的 ， 绝 记为 即 对收敛 数学期望简称期望，又称均值。 一、数学期望的定义

例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为：1.-x>0Oe0>0X (k=1,2),f(x)=}0x≤0若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N（以小时计）的数学期望-XAx>0l-e6是指数分布的密度函数解：X，(k=1,2)的分布函数F(x)=0x≤o串联情况下，N=min(X,X,),故N的分希函数为：_2x2_2x0x>0J1-eoex>0Fmmn(x)=1-(1- F(x)2 == f(x)=0x≤010x≤0根据N的概率密度fmin（x），可得到E(N).2x2x2x232-000+00+001+00/+0000E(N)= /dxdxxe=-xe+eDlo2202从而E（N)=问题：将2个电子装置并联联接组成整机：整机的平均寿命又该如何计算？

例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布， 其概率密度为： 若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望 解： X k k  1,2 , 1 0 ( ) 0 0 0 x e x f x x              1 0 ( 1,2) ( ) 0 0 x k e x X k F x x            的分布函数 2 2 1 0 ( ) 1 (1 ( )) 0 0 x min e x F x F x x              2 2 0 ( ) 0 0 x min e x f x x             2 2 2 0 0 0 | | 2 2 x x x xe e dx e                   是 指 数 分 布 的 密 度 函 数 串联情况下， 故 的分布函数为： N min X X N   1 2 , , 问题：将2个电子装置并联联接组成整机， 整机的平均寿命又该如何计算？ 根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N). 2 0 2 ( ) x E N x e dx       ( ) 2 E N  从而 

例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望解：X的分布律为201X2X0182 12 8Pk4/58/451/45Pk1010 910 98241E(X)=0x+2×+1x954545

例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在 取到正品之前已取出的废品数X的期望。 4 8 1 2 ( ) 0 1 2 5 45 45 9 E X        解：X的分布律为： 0 1 2 8 2 8 2 1 10 10 9 10 9 k X p 0 1 2 4 5 8 45 1 45 k X p 

例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万，发生3元：发生一次故障获利5万元：发生2次故障获利0元，次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，则X～b(5,0.2)设Y表示一周内所获利润，则P(Y =10) = P(X = 0) =(1-0.2)° = 0.328其余同理可得，于是Y的分布率为：10Y5-200.0570.4100.3280.205Pk于是E（Y）=5.216（万元）

例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发 生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万 元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3 次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？ 于是 E Y( ) 5.216  （万元） 解：设X表示一周5天内机器发生故障天数， 则X b ~ (5, 0.2) 设Y表示一周内所获利润，则 5 P Y P X ( 10) ( 0) (1 0.2) 0.328, Y       其余同理可得，于是 的分布率为： 2 0 5 10 0.057 0.205 0.410 0.328 k Y p 

设 X~ P(2),求E(X)例5：2he-1解：X的分布律为：P(X=k)k=0.1... a>0k!X的数学期望为：ALhateE(X)=Zek!(k-1)!k=lk=0= Ne-.e" = 即E(X)=

例5： 设 X P E X  ( ), ( )  求 。 ( ) 0,1, 0 ! k e X P X k k k     解： 的分布律为：     X的数学期望为： 0 ( ) ! k k e E X k k       1 1 ( 1)! k k e k           e e         即 ( ) E X  

例6：设 X ~U(a,b), 求E(X)at[0其他X的数学期望为：E(X)= ( xf(x)dxdx =a+bx2b-a即数学期望位于区间(a,b)的中点

例6： 设 ，求 X U a b E X  ( , ) ( ) 。 1 ( ) 0 a x b X f x b a        解： 的概率密度为： － 其他 X的数学期望为：E X xf x dx ( ) ( )     b a x dx b a    2 a b   即数学期望位于区间 的中点 ( , ) a b

二、几种常见分布的数学期望1. 设X ~ b(1, p),则E(X)= p2. 设X ~ b(n,p),则E(X)= np3. 设X ～ P(2),则E(X)= a+b4. 设X ~U(a,b),则E(X)25. 设X ~ N(u,α2),则E(X)= μ6. 设X服从参数为^a的指数分布,则E(X)=亢

二、几种常见分布的数学期望 2 1. ~ (1, ), ( ) 2. ~ ( , ), ( ) 3. ~ ( ), ( ) 4. ~ ( , ), ( ) 2 5. ~ ( , ), ( ) 1 6. , ( ) X b p E X p X b n p E X np X P E X a b X U a b E X X N E X X E X               设 则 设 则 设 则 设 则 设 则 设 服从参数为 的指数分布 则