《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第六章 数理统计的基本概念 第三节 未知分布的估计

第三节未知分布的估计设所研究的总体为X,其中X的概率分布未知。我们的问题是怎样通过取自X的样本：(Xg, X2..., Xn)来估计总体X的概率分布

第三节 未知分布的估计 •1 设所研究的总体为X,其中X的概率 分布未知。我们的问题是怎样通过取 自X的样本: （x1 , x2 ,., xn ） 来估计总体X的概率分布

一、分布列的估计设总体X是一离散型随机变量，分布列为：XX2... Xn(PP2..Pn..其中p,未知，（Xi,X2… X,)为取自总体X的一个样本,(x,x2,x,)为样本值。统计x,X2,x,中等于x,的个数μu,就是事件[X=x}在n次独立重复试验中出现的频数根据伯努利大数定律，当n充分大时有：P, = P(X =x)~μn这样，我们就得到了X分布列的一种估计例：略2

•2 一、分布列的估计   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . . . , ,., ) , ,., ) , ,., , ( ) n n i n n n i i i i i i i x x x p p p p X X X X x x x x x x x X x n n p P X x n X              设总体X是一离散型随机变量，分布列为： 其中 未知，（ 为取自总体 的一个样本， （ 为样本值。统计 中等于 的个数 就是事件 在 次独立重复试验中出现的频数， 根据伯努利大数定律，当 充分大时有： 这样，我们就得到了 分布列的一种估计。 例：略

密度函数的估计二、1.直方图设x,x2……,x，是一组数据，为了掌握它变化的规律性，我们对它加以整理。首先选取a,b两数，使得a适当小于min(x,x2…x),b适当大于 max(i,x2.,x), 并用分点 (t :a=to<ti <,.,<tm =b)将区间[a,b)分成m个小区间([ti-,t,);i =1,2,.,m];然后统计x,X2,.,x,落入[t-1,t)内的个数μ,。我们把每个小区间内的数据称为一组,这样整个数据被分成了m组。作0,x<a,uf,(x) =ti-1 ≤x<t,,i =1,2,..,m,n△t,[0,x≥b, 3

•3 二、密度函数的估计 1.直方图              1 2 1 2 1 2 0 1 1 1 2 1 , ,., , min , ,., , max , ,., , : ,., , , ; 1, 2,., ; , ,., , n n n i m i i n i i i x x x a b a x x x b x x x t a t t t b a b m t t i m x x x t t          设 是一组数据，为了掌握它变化的规律性，我们 对它加以整理。 首先选取 两数，使得 适当小于 适当 大于 并用分点 将区 间 分成 个小区间 然后统计 落入 内的个数 。我们把每个小区间内的数据称为一组 1 0, , ( ) , , 1, 2,., , 0, , i n i i i m x a f x t x t i m n t x b                 ， 这样整个数据被分成了 组。 作

绘出f.(x)的图形。由于f.(x)的图形呈直方形（如下图），因此称其图形为直方图。直方图可以使得杂乱无章的原始数据呈现出一定的规律性，从而对数据的全貌、数据的分布特征以及差异、波动趋势有一个比较清楚的了解，因此直方图是数据处理中一种常用的方法。在教育统计学中，我们经常利用它来了解或掌握学生的成绩、年龄、身高等结构98热90注：在做直方图时，分组问题需注意，数组的多少往往影响着直方图在反映数据分布上的效应，所以数组不能过多，也不能过少

•4 ( ) ( ) n n 绘出 f x f x 的图形。由于 的图形呈直方形（如下图），因此称 其图形为直方图。 直方图可以使得杂乱无章的原始数据呈现出一定的规律性，从而对 数据的全貌、数据的分布特征以及差异、波动趋势有一个比较清楚的了 解，因此直方图是数据处理中一种常用的方法。在教育统计学中，我们 经常利用它来了解或掌握学生的成绩、年龄、身高等结构。 注：在做直方图时，分组问题需注意，数组的多少往往影响着直 方图在反映数据分布上的效应，所以数组不能过多，也不能过少

2.直方图在密度函数估计中的应用设X,X,,X,)为取自总体X的一个样本，（x,x2…,x)是样本值，作出：对于x,x2,..,x,[0,x<a,uif,(x) :-ti-i ≤x<ti, i=1,2..,m,n△t,10,x≥b,在这里μ,可以看成事件(ti-≤X<t)在n次独立重复试验中出现的频数，根据伯努利大数定律，当n充分大时有P(t.- ≤ X <t)=f" f(x)dx ~ ln

•5 2.直方图在密度函数估计中的应用   1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 , ,., ) , ,., ) , ,., 0, , ( ) , , 1, 2,., , 0, , = ( ) i n n n i n i i i i i i i i t X X X X x x x x x x x a f x t x t i m n t x b t X t n n P t X t f x dx                         设（ 为取自总体 的一个样本，（ 是样本值， 对于 ，作出： 在这里 可以看成事件 在 次独立重复试验中出现的频数，根 据伯努利大数定律，当 充分大时有 （ ） i t i n   

如果认为在[ti-,t)内f(x)~f(x,),其中x,=(t-+t,)(通常称x,为组中值),则从上式可得(x)(t, -t-l)~丝n于是F(1)=f(x)~=(x), tμ≤x<1t,nAt;因此,f,(x)是密度函数f(x)的一个估计。通常称f,(x)为频率密度函数其图称为频率密度函数图

•6  1 1    1 1 1 , ( ) ( ), = + ), 2 ( )( ) , ( ) ( ) ( ), , ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i i n i i i n n t t f x f x x t t x f x t t n f x f x f x t x t n t f x f x f x                如果认为在 内 其中 （通常称 为组中值 则从上式可得 于是 因此， 是密度函数 的一个估计。通常称 为频率密度函数， 其图称为频率密度函数图

例1为对某小麦杂交组合F,代的株高X进行研究，抽取容量为100的样本，测试的原始数据记录如下(单位：厘米)，试根据以上数据，画出它的频率直方图，求随机变量X的分布状况。88111917370929810594·8798.9991981109790839288.869410299891049494929694928688759090·87102809182949991969494. 8410288808381958097·8569929186109808094102809196838491879576909177.908988859592104929583·103818691759289839686.86试作出它的直方图

例1 为对某小麦杂交组合F2代的株高X进行研究，抽取容量为 100的样本，测试的原始数据记录如下(单位：厘米)，试根据以 上数据，画出它的频率直方图，求随机变量X的分布状况。 • 87 88 111 91 73 70 92 98 105 94 • 99 91 98 110 98 97 90 83 92 88 • 86 94 102 99 89 104 94 94 92 96 • 87 94 92 86 102 88 75 90 90 80 • 84 91 82 94 99 102 91 96 94 94 • 85 88 80 83 81 69 95 80 97 92 • 96 109 91 80 80 94 102 80 86 91 • 90 83 84 91 87 95 76 90 91 77 •103 89 88 85 95 92 104 92 95 83 • 86 81 86 91 89 83 96 86 75 92 试作出它的直方图

方法：基整理原始数据，加工为分组资料，作出频率分布表，画直方图，提取样本分布特征的信息.步骤如下：1.找出数据中最小值m=69，最大值M=111极差为M一m=422.数据分组，根据样本容量n的大小，决定分组数k。一般规律5≤k≤630≤n≤4040≤n≤606≤k≤88≤k≤1060≤n≤10010≤k≤20100≤n≤500

1.找出数据中最小值m=69，最大值M=111 极差为M－m=42 2.数据分组，根据样本容量n的大小，决定分组数k。 一般规律 30≤n≤40 5≤k≤6 40≤n≤60 6≤k≤8 60≤n≤100 8≤k≤10 100≤n≤500 10≤k≤20 方法：整理原始数据，加工为分组资料，作出频率分布 表，画直方图，提取样本分布特征的信息.步骤如下：

本例取k=9.一般采取等距分组（也可以不等距分组），组距等于比极差除以组数略大的测量单位的整数倍。组距为本例测量单位为1厘米，M-m111-69~4.7~5k9

一般采取等距分组（也可以不等距分组），组距等于比 极差除以组数略大的测量单位的整数倍。 4.7 5 9 111 69      k M m 本例取k=9. 本例测量单位为1厘米，组距为

3.确定组限和组中点值。1一般根据：各组中点值?组距=组的上限或下限2注意：组的上限与下限应比数据多一位小数。当取a=67.5，b=112.49（a略小于m，b略大于M，且a和b都比数据多一位小数），分组如下：[67.5,72.5][77.5,82.5][72.5,77.5][82.5,87.5][87.5,92.5][92.5,97.5][97.5,102.5][102.5,107.5][107.5,112.5)组中值分别为：707580859095100105110

3．确定组限和组中点值。 注意：组的上限与下限应比数据多一位小数。 当取a=67.5，b=112.49（a略小于m，b略大于M，且a和b 都比数据多一位小数），分组如下： 一般根据：各组中点值 组距=组的上限或下限 1 2   [67.5,72.5) [72.5,77.5) [77.5,82.5) [82.5,87.5) [87.5,92.5) [92.5,97.5) [97.5,102.5) [102.5,107.5) [107.5,112.5) 组中值分别为：70 75 80 85 90 95 100 105 110