《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 随机变量的数字特征 第二节 方差

方差第二节设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时：另一批灯泡寿命为一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？（质量更稳定）单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度

第二节 方差 设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约 1050小时→平均寿命为1000小时；另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000 小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定) 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命 X与均值1000小时的偏离程度

我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值与E(X)的偏离程度偏离的度量：X- E(X)平均偏离：E(X-E(X))绝对值（不好研究）

我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程 度，即X的取值与E(X)的偏离程度 偏离的度量： X  E(X) 平均偏离： E X  E(X) 绝对值（不好研究）

一、方差的概念(大)平方 (大)但是，绝对值所以我们研究方差E(X - E(X))定义1设X是一随机变量，若E(X-E(X))存在，则称之为X的方差。记为D(X)或Var(X):即D(X)= E(X - E(X)称α(X)=/D(X)为标准差或均方差。方差实际上是一个特殊的函数g(X) =(X-E(X))2 的期望

但是，绝对值（大 ） 平方（大) 所以我们研究 2 E X E X ( ( ))  方差 定义1 设X是一随机变量， 2 D X E X E X ( ) ( ( ))   称(X)  D(X) 为标准差或均方差。 2 若 E X E X ( ( ))  存在，则称之为X的方差。记为D(X)或Var(X)， 即 方差实际上是一个特殊的函数 g(X) =(X-E(X))2 的期望 一、方差的概念

对于离散型随机变量X，其分布律为：P(X=xk)=Pkk=1,2,D(X) =Z[x- E(X)}° pk对于连续型随机变量X，其概率密度为f(x)D(X)= ([x-E(X)}’ f(x)dx此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式（常用）：D(X)= E(X2)-[E(X))事实上, D(X)= E[X -E(X)P} =E(X? -2XE(X)+[E(X)}P)= E(X)-2E(X)E(X)+[E(X)} = E(X2)-[E(X)]

对于离散型随机变量X， ( ) 1,2, 其分布律为：P X x p k    k k 2 1 ( ) [ ( )] k k k D X x E X p      其概率密度为f x( ),   2 事实上， ( ) [ ( )] D X E X E X   2 D X x E X f x dx ( ) [ ( )] ( )      2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )]     2 2    E X XE X E X 2 ( ) [ ( )] 2 2    E X E X E X E X ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 2   E X E X ( ) [ ( )] 对于连续型随机变量X， 此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式(常用)：

例1：设随机变量X具有数学期望E(X)=μ方差D(X)=α2 0, 记x"_X-μa证明：E(X*)=0，D(X*)=1，称X*为X的标准化变量证: E(X*)=1 E(X-μ)=[E(X)-μ]=0D(X*)= E(X*)-[E(X")]X-")] = E[(X -μ)]= E[(-PO

例1：设随机变量X具有数学期望 E X( )   * * * 证明： ， ，称 为 的标准化变量 E X D X X X ( ) 0 ( ) 1   * 1 E X E X ( ) ( )   证：  2 * ( ) 0 X D X X     方差 ，记    1 [ ( ) ] 0 E X      2 * * * 2 ( ) ( ) [ ( )] D X E X E X   2 2 1 E X[( ) ]     2 [( ) ] X E     2 2 1    

例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：P(X =0)=1-p, P(X =1)= p, 求D(X)解: E(X)=0.(1-p)+1·p=pE(X2) =0? .(1-p)+1 · p= p所以 D(X) = E(X)-[E(X)]= p- p2 = p(1-p)

例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： P X p P X p D X ( 0) 1 ( 1) ( )      ， ，求 。 解：E X p p p ( ) 0 (1 ) 1       2 E X( ) 2 2      0 (1 ) 1 p p  p 所以 D X( ) 2 2   E X E X ( ) [ ( )] 2  p p   p p (1 )

例3：设X ~ P(2), 求 D(X)解：X的分布律为： P(X=k)=2e=k =1,2,... ^>0k!由上节例5已算得E(X)=α而 E(X) = E[X(X -1)+ X|=E[X(X-1)+E(X)12=k(k-1)+ =e~C>+1k!(k-2)!=e-e~+=?+a所以 D(X)=E(X)-[E(X)P = 即泊松分布的均值与方差相等，都等于参数入

例3： 解： ( ) 1,2, >0 ! k e X P X k k k     的分布律为：    由上节例5已算得E X( )   2 而 ( ) E X 2 2 ( ) ( ) [ ( )] D X E X E X   所以    即泊松分布的均值与方差相等，都等于参数    E X X X  ( 1)     E X X E X [ ( 1)] ( ) 2 2 2 ( 2)! k k e k           0   ( 1) ! k k e k k k           2     2 e e        设X P D X  ( ) ( )  ，求

设X ~U(a,b), 求D(X)例4：a<x<b解：X的概率密度为： f(x)=b-a其他0上节例6已算得：E(X)=a+b2b3-a3E(X3)=Jx°f(x)dx =['x?dx3(b-a)h-aa'+b'+ab3D(X)=E(X2)-[E(X)α+b?+ab-α?+b?+2ab-(b-a)23412

例4： 设X U a b D X ~ ( , ) ( ) ，求 。 2 2 E X x f x dx ( ) ( )     2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )]   1 ( ) 0 a x b f x b a         其他 ( ) 2 a b E X  上节例6已算得：  2 1 b a x dx b a    3 3 3( ) b a b a    2 2 3 a b ab    2 2 2 2 2 3 4 a b ab a b ab       2 ( ) 12 b a   解：X的概率密度为：

例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：音x>0Oe0 >0, 求E(X),D(X)f(x)=30x≤0o1dx解: E(X)= xf(x)dxxO00x-o4+10dxe-xe十Joxf0010E(X)= (x2 f(x)dx =dxe0x-0x2xe 0 dx = 202eJO于是 D(X)= E(X2)-[E(X)]2 =202-0=02即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数e

例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度 为： 1 0 ( ) 0 ( ), ( ) 0 0 x e x f x E X D X x              ，求 。 E X xf x dx ( ) ( )    解：  即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数θ 0 1 x x e dx       0 0 | x x xe e dx             2 2 E X x f x dx ( ) ( )     2 0 1 x x e dx       2 2 0 0 | 2 2 x x x e xe dx             2 2 于是 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )]   2 2 2    2  

二、几种常见分布的方差1. 设X ~ b(1, p),则D(X)= pq2. 设X ~ b(n, p),则D(X)= npq3. 设X ～ P(a),则D(X)= (b-a)4. 设X ~ U(a,b),则D(X)125. 设X ~ N(u,α2),则D(X) =α216.设X ~ E(a),则D(X)=元

二、几种常见分布的方差 2 2 2 2 1. ~ (1, ), ( ) 2. ~ ( , ), ( ) 3. ~ ( ), ( ) ( ) 4. ~ ( , ), ( ) 12 5. ~ ( , ), ( ) 1 6. ~ ( ), ( ) X b p D X pq X b n p D X npq X P D X b a X U a b D X X N D X X E D X               设 则 设 则 设 则 设 则 设 则 设 则