《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第七章 参数估计 第五节 参数的区间估计

数理统计第五节参数的区间估计引言：点估计是由样本求出未知参数的一个估计值0，它仅仅是的一个近似值，却没有反映出这个近似值的误差范围，而区间估计则要由样本给出参数的一个估计范围，并指出该区间包含的可靠程度。假设（X，,X，）是总体X的一个样本，区间估计的方法是给出两个统计量i=の（X,X，）02=2（Xj,,X,)使区间1,2以一定的可靠程度盖住。这里所说的可靠程度是用概率来度量的，称之为置信概率，置信度或置信水平。也就是说明用0去估计的精度，也就是要说明在一定的概率意义下，与的误差有多大9如在概率的意义下有-<,即随机区间（é-，+）包含的概率为1010求参数的随机区间就是参数的区间估计问题

数理统计 1 第五节 参数的区间估计       1 1 1 1 2 2 1 2 1 ˆ , , , , , , , , n n n X X X X X X X                   引 点估计是由样本求出未知参数 的一个估计值 ，它仅仅是 的一个近 似值，却没有反映出这个近似值的误差范围，而区间估计则要由样本给出 参数 的一个估计范围，并指出该区间包含 的可靠程度。假设 是总体 的一个样本，区间估计的方法是给出两个统计量 使区间 以一定的可靠程度盖住 。这里所说的可靠 程度是用概率来度 言： 量的，称之 ˆ ˆ 9 9 ˆ ˆ ˆ - , - + 10 10               为置信概率，置信度或置信水平。也就是说明 用 去估计 的精度，也就是要说明在一定的概率意义下， 与 的误差有多大。 如在概率 的意义下有 即随机区间（ ， ）包含 的概率为 ， 求参数 的随机区间就是参数的区间估计问题

数理统计置信区间与置信度定义：设总体X的分布函数F(x;の）含有一个未知参数,对给定的值α(0<α<1)，如果有两个统计量=(X,,X,)02 =02(Xi,,X,)，使得:(1)Pl0(Xi,,X,)<≤0≤02(X,",X,)≥1-αV0e0则称随机区间(01,02)是的双侧1-α置信区间,称1-α为置信区间(01,02)的置信度或置信水平：0i和02分别称为双侧置信下限和双侧置信上限。置信水平1-α在区间估计中的作用是说明区间(01,02)包含的可靠程度。臂如（略）

数理统计 2 置信区间与置信度                    1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 ; 0 1 , , , , , , , , , , 1 , 1 1 1 , n n n n X F x X X X X P X X X X                                   设总体 的分布函 随机区间 是 的双侧 置信区间 称 为置 定义： 信区 间 的置信度或 数 置信 含有一个未知参数 ， 对给定的值 如果有两个统计量 ，使得： 则 水平； 和 分别称为双侧置信下限和 双 称 , 侧置信上限。 -    1 2   置信水平1 在区间估计中的作用是说明区间 ， 包含 的可靠程度。譬如（略）

数理统计单侧置信区间在以上定义中，若将(1)式改为：(2)Pl0r(X,",X,)≤0)≥1-α, V0e0则称θ(X,X,)为的单侧置信下限随机区间(01,+o)是的置信度为1-α的单侧置信区间。又若将(2)式改为：BPl0≤02(X,,X,))≥1-α, V0e0则称2（X,,X,)为的单侧置信上限随机区间(-80,02)是的置信度为1-α的单侧置信区间

数理统计 3 单侧置信区间             1 1 1 1 1 1 , , 1 , , 2 1 , , n P X Xn X X                 在以上定义中，若将 式改为： 则称 。 随机区间 是 为 的单侧置 的置信度为 的 信下限 单侧置信区间。            2 2 2 1 1 2 , , 1 , 3 , 1 , , n Xn X X X P                 为 又若将 式改为： 则称 。 随机区间 是 的单侧置信上限 的置信度为 的单侧置信区间

数理统计正态总体均值方差的区间估计(一）单个正态总体N(u,α2)的情形X,X,X,来自N(u,α),X和s?分别为样本均值和方差,置信度为1-α1.均值u的置信区间(1)α已知时X-μ~ N(0,1)x是u的无偏估计，由思考题：a/yn均值u的置信度1-α的有P=1-0置信下限是什么呢？KX+oX-Zal2即P1=1-α<uX12Vn答案:X-nVnX-0ZX+置信区间为：01α/2VnVn

数理统计 4 正态总体均值方差的区间估计     2 一 单个正态总体 的情形 , N     2 2 1 2 , , , , , , 1 X X X N X S n来自 和 分别为样本均值和方差 置信度为    1. 均值 的置信区间    2 1  已知时 , 0,1   X X N n     是 的无偏估计 由 2 1 X P Z n                   有 2 2 P X Z X Z 1 n n                   即 2 2 X Z X Z , n n             置信区间为： 1- ?   思考题： 均值 的置信度 的 置信下限是什么呢 : X￾n z  答案

数理统计(2)2未知时X-μ由-t(n-ls/Jn1-αX-μ有P3(n-1)=1-C(n--t12412S/Jn即P-ta/2(n-1)<<+an2((n-1)=1-0nnX-S%ta/2(n-1),X+ta2(置信区间为：n-1Y

数理统计 5   2 2  未知时 1 X t n S n   由  2 2  1 1 1    X P t n t n S n                       有 2 2  1 1 1    S S P X t n X t n n n                   即 2 2  1 , 1    S S X t n X t n n n             置信区间为： 0 t 1 2  2  0 t

数理统计2.方差。2的置信区间（设u未知）(n-1)s2221-α由~×2(n-1)92XgX9(n-1)s2有P-0思考题：9方差。2的置信度1-α的置信上限是什么？n-1)s-1)S2即P=1-αxa/2 (n-1)xi-α/2 (n-1)答案：(n-1)s2(n-1)s2(n-1)s?置信区间为：-α(n-1)(n-1) xi-αl2(n-1)

数理统计 6 2 2. 方差 的置信区间  （设未知）     2 2 2 1 ~ 1 n S  n   由        2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 n S P n n                         有         2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 n S n S P n n                          即         2 2 2 2 2 1 2 1 1 , 1 1 n S n S n n                 置信区间为： 2 2   2  1 2 1 2   2  1- ?   2 思考题: 方差 的置信度 的 置信上限是什么 2 2 1 : (n-1)S .   ( 1) n  答案

数理统计例l：设某种植物的高度X(cm)服从正态分布N(u,α2),随机选取36棵.其平均高度为15cm.就以下两种情形.求u的95%双侧置信区间：(1)2 =16; (2)2未知, S2 =16;解:(1) n=36,X=15,α = 4由PX-1.96×%<μ<X+1.96×-=0.95VnVn得：X-1.96×%=15-1.96×4±=13.693V36VnX+1.96×% =15+1.96x4 = 16.307InV36的置信区间为(13.693,16.307)

数理统计 7         2 2 2 2 1 , , 36 , 15 . , 95 1 16; 2 , 16; X cm N cm S        例 ：设某种植物的高度 服从正态分布 随机选取 棵 其平均高度为 就以下两种情形 求 的 ％双侧置信区间： 未知 解： 1 36, 15, 4   n X     P X X 1.96 1.96 0.95 n n                 由 1.96 4 1.96 15 13.693 36 X n   得：      1.96 4 1.96 15 16.307 36 X n        的置信区间为13.693,16.307

数理统计(2) n= 36, X = 15, S2 = 16S由P/X-to.025 ×≤μ≤X + to.025X=1-0.05中店InY查表得：to.02s(35)=2.0301又: 15- 2.0301×4 =13.647,15 + 2.0301×4 =16.35366u的置信区间为(13.647,16.353?答案： (1) (13.333,16.667)求置信度为99%时（）（2）两种情况下的置信区间(2) (13.184,16.815)

数理统计 8   2 2 36, 15, 16 n X S    0.025 0.025 1 0.05 S S P X t X t n n                由 查表得：t 0.025 35 2.0301   2.0301 4 2.0301 4 15 13.647,15 16.353 6 6   又：     的置信区间为13.647,16.353 99 1 2     求置信度为 ％时 两种情况下 的置信区间 ？         1 13.333,16.667 2 13.184,16.815 ?答案：

数理统计比较(1)(2)两种情形下u的置信区间区间短已知，α2=16,置信区间：(13.693,16.307)精度高未知,S2=16置信区间：(13.647,16.353区间长精度低但第二种情形更实用，因为多数时候，。未知时用分布求u的置信区间只依赖于样本数据及统计量X,S,n

数理统计 9 比较 两种情形下 的置信区间： 1 2      2 2   已知 置信区间： , 16, 13.693,16.307    2 2  未知 置信区间： , 16, 13.647,16.353 S  , , t X S n   2 但第二种情形更实用,因为多数时候, 未知时用 分布 求 的置信区间只依赖于样本数据及统计量 区间短 精度高 区间长 精度低

数理统计置信区间的含义：若反复抽样多次，每个样本值确定一个区间（，可），每个这样的区间或者包含的真值，或者不包含的真值。见下图）在例1中,当α=0.05.即置信水平为95%时，20个区间中只有大约1个不包含u值：当α=0.01即置信水平为99%时，100个区间中将有99个包含u值；0.990.0050.005

数理统计 10 置信区间的含义：     , , , ,     若反复抽样多次 每个样本值确定一个区间 每个这样的区间 或者包含 的真值 或者不包含 的真值。见下图 1 , 0.05, 95% 0.01, 99%       在例 中 当 即置信水平为 时,20个区间中只有大约1个不包含 值； 当 即置信水平为 时,100个区间中将有99个包含 值； a b 0.99 0.005 0.005