《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 第二节 边缘（边际）分布

分布边缘第二节（边际）一、边际分布函数二、离散型随机变量的边际分布列三、连续型随机变量的边际分布密度函数四、n为随机变量的边际分布

第二节 边缘（边际）分布 一、边际分布函数 二、离散型随机变量的边际分布列 三、连续型随机变量的边际分布密度函数 四、n为随机变量的边际分布

二维联合分布全面地反映了二维随机变量（X,Y）的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自已的概率分布.那么要问：二者之间有什么关系呢？这一节里，我们就来探讨这个问题

二维联合分布全面地反映了二维随机变量 （X,Y）的取值及其概率规律.而单个随机变量 X,Y也具有自己的概率分布.那么要问：二者之 间有什么关系呢？ 这一节里，我们就来探讨这个问题

一、边际分布函数二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数文 F(x,y)其中X和Y都是随机变量，也各有自已的分布函数，分布记为：F(x)，F(y)，依次称为二维随机变量(X,Y)关于x和Y边际分布函数，Fx(x) = F(x, +o0)F(y) = F(+o0, y)事实上，Fx(x)= P(X ≤x) = P(X ≤x, Y <+o0)= F(x, +o0)即在分布函数F(x,y)中令y→+80，就能得到F(x)同理得: Fy(y)= P(Y≤y)= F(+0,y)

一、边际分布函数 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，也各有自己的分布函数，分布记 为： 依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y边 际分布函数. F x y ( , ), ( ) ( ) F x F y X Y ， ， ( ) ( , ) ( ) ( , ) X Y F x F x F y F y     ( ) ( ) ( , ) 同理得：F y P Y y F y Y     ( ) ( ) ( , ) ( , ) F x P X x P X x Y F x X         ( , ) ( ) 即在分布函数 中令 ，就能得到 F x y y F x   X 事实上

二、离散型随机变量的边际分布列设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为：P(X = x, Y= y,)= Py, i, j =1,2,..则X，Y的边缘分布律为：记为P(X =x,)= P(X = x, Y= y,)=Zp, == p.. i= 1,2,..1=记为P(Y=y,)= P(X = x, Y=y,)-Zp, == p., j =1,2,...i=1P(X=x,)Vy1y2yXX..X.....Pi.P11P12记号p.中.表示p.是由p关于P2.P21P2°j求和后得到的；同样p.是由RP:P,关于求和后得到的；P(Y=y))P.P

设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为： 则X,Y的边缘分布律为： ( ) , 1,2, P X x Y y p i j i j ij     ， ， 1 ( ) ( ) 1,2, i i j ij i j P X x P X x Y y p p i          记为 ， == 1 ( ) ( ) 1,2, j i j ij j i P Y y P X x Y y p p j          记为 ， == i i ij j ij p p p j p p i 记号 中 表示 是由 关于  求和后得到的；同样 是由 关于 求和后得到的； . . . . . . . . . . p 11 p 12 . p 1j . p1· 1 x p 21 p 22 . p 2j . p2· 2 x p i1 p i2 . p ij . pi · i x X Y y1 y2 . yj .P X x   i p ·1 p·2 p  j . .j . 1 P Y y  二、离散型随机变量的边际分布列

我们常在表格上直接求边缘分布律XYY1J2V3Pi80Pt1P42P13ZA=PujPiX1j=18P2P23P21P22Zp2jX2三j=1Cp.jPiP2P.31188ZpilZpi3i-1i-1

我们常在表格上直接求边缘分布律       2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 p p p p p p j p X Y y1 y2 y3  p1 p2 p3   1 x1 x2  1 p p2 pi     1 1 j j p     1 2 j p j     1 1 i i p     1 3 i i p

例1袋中装有2只白球及3只黑球，现进行有放回的摸球和无放回摸球，定义下列随机变量：第一次摸出白球，X =0,第一次摸出黑球，1.第二次摸出白球，X2 =0,第二次摸出黑球(X, X,)求在两种模球方式下，（X，X）的分布列和边际分布列

例1 袋中装有2只白球及3只黑球，现进行有放回的摸 球和无放回摸球，定义下列随机变量： 1 2 1 2 1, 0 1, 0 X X X X         第一次摸出白球， ， 第一次摸出黑球， 第二次摸出白球， ， 第二次摸出黑球. （ ， ） 求在两种摸球方式下， 的分布列和边际分布列. （X X 1 2 ， ）

解：(II)无放回摸球（I）有放回摸球X,X2P01(x01X,X,PtX(x)322333233300554545555523221223221155 45455S5532Px, (y)312-55Px,(y)155

解：

问题：联合分布（函数）与边缘分布（函数有什么关系？结论：联合分布（函数）一边缘分布（函数）但当X与Y相互独立时，联合分布（函数）与边缘分布（函数）可相互确定由此可知：联合分布不能由边缘分布唯一确定，也就是说二维随机向量的性质并不能由它两个分量的个别性质来确定，还必须考虑它们之间的联系

三、连续型随机变量的边际分布设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X的边缘分布函数Fx(x)=F(x,00)= [ f(x, y)dydxF(x)=f f (t)dtfx(x) = [ f(x, y)d y.X的边缘概率密度+8同理可得Y的概率密度为：fy(y)=「f(x,y)dx0

三、连续型随机变量的边际分布

我们称参量积分+8fx(x)= J f(x,y)dyy一(X,Y)关于X的边缘概率密度-8+8fr(y)=「f(x,y)dx—(X,Y)关于Y的边缘概率密度8显然，由联合概率密度可求得各个边缘概率密度只需对某一个变量在(-00,+o0)上积分,但必须注意另一个变量应在全体实数范围内取值