《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第9章 无穷级数 第三节 幂级数

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第9章 第三节 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算

函数项级数的概念设un（x）（n=1,2，）为定义在区间I上的函数，称8Zun(x)=ui(x)+u2(x)+...+un(x)+.n=1为定义在区间I上的函数项级数S对xoEI，若常数项级数un（xo）收敛，称xo为其收n=l敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域8若常数项级数un（xo）发散，称xo为其发散点所有n=1发散点的全体称为其发散域目录上页返回结束机动下页

一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称 x 为其发散点, u ( x) (n = 1, 2 , ) n 发散点的全体称为其发散域

在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 S(x），称它为级数的和函数，并写成ZS(x) =un(x)n=l若用S，（x）表示函数项级数前n项的和，即n4Sn(x) =uk(x)k=1令余项rn(x)= S(x)- Sn(x)则在收敛域上有lim rn(x) = 0lim Sn(x)= S(x),n->00n->o0目录上页下页返回结束机动

为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它

8Exn =1+x+x? +...例如，等比级数一.n=0它的收敛域是(-1,1）,当xE(-1,1)时，有和函数XJhx1-xn=0它的发散域是（-0，-1]及[1，+），或写作|x|≥11n-n8Et"++又如，级数(x±0),当x=1时收敛2nn=0但当0o可x=1所以级数的收敛域仅为目录上页下页返回结束机动

例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 (−  , − 1 ] 及 [1，+ ）, 或写作 x  1 . 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数

幂级数及其收敛性二、上8Z形如an(x-xo)" =do +ai(x-xo)+a2(x-xo)2n=0...+an(x - xo)" +...其中数列an（n=0,l,)称的函数项级数称为幂级数为幂级数的系数下面着重讨论 xo=0 的情形,即8Zant"=ao +aix+ax"+..+anx"n=08Z1<1即是此种情形例如，幂级数1-xn=0目录上页下页返回结束机动

二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0  −  =  = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称

8thZ若幂级数定理1.（Abel定理）an=0在x=xo点收敛,则对满足不等式|x|xo/的一切x，该幂级数也发散证：设anxo 收敛,则必有lim anxo =0,于是存在n0n=0常数M>0,使anxo≤M (n=l,2,...)收敛发散发散x发散收0敛上页目录返回结束机动下页

发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数   n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使

nn中xAn≤Manxohtaaano.xoXOXo8ZanrnM|="收敛，Z也收敛当xxo「且使级数收敛，则由前级数在点x。也应收敛，面的证明可知，与所设矛盾故假设不真所以若当 x= xo时幂级数发散，则对一切满足不等式[x|>|xo|的x，原幂级数也发散证毕目录上页下页返回结束机动

当 时, 0 x  x 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 x1 1 0 x  x 0 x 满足不等式 0 x  x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 =  证毕

80Z的收敛域是以原点为由Abel定理可以看出anx'n=0中心的区间则用土R表示幂级数收敛与发散的分界点R=0时,幂级数仅在x=0收敛：R=8时，第幕级数在（-00,+)收敛0<R<，幕级数在（-R,R）收敛;在[-R,R]外发散：在x=±R可能收敛也可能发散R称为收敛半径，（-R，R）称为收敛区间（-R，R）加上收敛的端点称为收敛域收敛发散发散x发散收0敛上页目录返回结束机动下页

幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出,   n=0 n n a x 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R =  时, 0  R   , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x =  R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散

8an+l定理2.若的系数满足limanx=P,则n→0ann=01)当p0时，R=2)当p =0时, R=∞ ;3)当p=o时，R=0an+1xn+1an+l证：lim= lim|x|=p|xantnn00n-0an1）若p#0，则根据比值审敛法可知当p|x1,即[x|>一时，原级数发散目录上页下页返回结束机动

x a a a x a x n n n n n n n n =  + → + + → 1 1 1 lim lim 定理2. 若 的系数满足 ; 1  R = R =  ; R = 0 . 证: 1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当  x  1 , 原级数收敛; 当  x  1 , 原级数发散. 即  1 x  时, 1) 当 ≠0 时, 2) 当 ＝0 时, 3) 当 ＝∞时, 即 时, 则  1 x 

因此级数的收敛半径R=2）若β=0，则根据比值审敛法可知，对任意x原级数绝对收敛,因此 R=8;3）若p=80,则对除x=0 以外的一切 x原级发散因此 R= 0.说明：据此定理annthZQ的收敛半径为R=limn00an+1n=0目录上页下页返回结束机动

2) 若  = 0, 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , R =  ; 3) 若  =  , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , R = 0 . 对任意 x 原级数 因此 因此 的收敛半径为 说明:据此定理 1 lim + → = n n n a a R 因此级数的收敛半径 . 1  R =