《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第8章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质

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第8章 三、二重积分的性质 第一节 二重积分的概念与性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算

一、引例z= f(x,y)1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体底：xoy面上的闭区域DD顶：连续曲面z=f(x,J)≥0侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面求其体积解法：类似定积分解决问题的思想“大化小，常代变，近似和，求极限目录上页返回结束机动下页

解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” D

1)“大化小"z=f(x,y)用任意曲线网分D为n个区域Ao1,No2, , Aon以它们为底把曲顶柱体分为n个f(Ek,nk)小曲顶柱体D(Ek,nk)2)“常代变DO在每个△中任取一点（k,nk),则Vk= f(5k, nk)ok(k =1,2,.".,n)3)“近似和”nAVk~f(5k, nk)AokVk=1k=-l目录上页下页返回结束机动

D 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域    n , , , 1 2  以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和”  =   n k k k k f 1 ( , )  ( , ) k k f   V f ( , ) (k 1, 2 , , n)  k   k  k  k =  中任取一点 则 小曲顶柱体  k ( , ) k  k 

“取极限”4定义的直径为(A0k)=max(/ PP2 /Pi,P2 EA0)令 =max((△o))z= f(x,y)1<k≤nnZJV = limf(Ek,nk)Aokf(Ek,nk)元-0k=1(Ek,nk)A水目录上页下页返回结束机动

4)“取极限”  ( k ) = max P1P2 P1 , P2   k  令 max  ( )  1 k k n  =      = → =  n k k k k V f 1 0 lim ( , )   ( , ) k k f    k ( , ) k  k 

2.平面薄片的质量有一个平面薄片，在xoy平面上占有区域D，其面密度为μ(x,y)EC计算该薄片的质量M若μ(x,)=μ(常数),设D的面积为，则M=μ:oV若μ(x,）非常数，仍可用D“大化小，常代变，近似和，求极限解决X1)“大化小Ao i,Ao 2, , Ao n用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域目录上页下页返回结束机动

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M =   若 非常数 , 仍可用 其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , ,  1  2   n 相应把薄片也分为小区域 . D y x

2“常代变"在每个△中任取一点（k,nk),则第k小块的质量AMk ~ μ(5k, nk)Aok (k=1,2,...,n)V3近似和n3Zμ(5k,nk)AokM=ZAMkk=1k=l4取极限X(Ek,nk)Nok令几=max(a(△ok))l<k<nnEAM = limu(Ek,nk)Ao1-0k=1目录上页下页返回结束机动

2)“常代变” 在每个  k 中任取一点 ( , ),  k  k 3)“近似和”  =   n k k k k 1  ( , )  4)“取极限” max ( ) 1 k k n  =     令  → = =  n k M k k k 1 0 lim  ( , )    k ( , ) k  k  则第 k 小块的质量 y x

两个问题的共性（1）解决问题的步骤相同“大化小，常代变，近似和，取极限(2)所求量的结构式相同曲顶柱体体积nZJV = limf(Ek,nk)Aok0k=1平面薄片的质量nM = lim>μ(Ek,nk)Ao k1-0k=1目录上页下页返回结束机动

两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”  = → =  n k k k k V f 1 0 lim ( , )    → = =  n k M k k k 1 0 lim  ( , )   曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:

二、二重积分的定义及可积性定义：设f(xy)是定义在有界区域D上的有界函数将区域 D任意分成n个小区域 △ok（k=l,2,,n),任取一点（k，nk）E△ok，若存在一个常数，使记作Ef(Ek, nk)AoJJ, f(x,y)doI = lim酒0k=1则称f(x,y)可积，称I为f（x，y）在D上的二重积分积分表达式积分和门f(x,y)dox,y称为积分变量被积函数面积元素积分域目录上页结束下页返回机动

二、二重积分的定义及可积性 定义: 设 f ( x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则 称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分. x , y 称为积分变量 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数

如果f(x，y）在D上可积，可用平行坐标轴的直线来划分区域D,这时 △α=△xiAyk，因此面积元素d也常记作dxdy，二重积分记作JJ, f(x, y)dxdy.引例1中曲顶柱体体积V= JJ, f(x,y)do = JJ, f(x,y)dxd y引例2中平面薄板的质量M = JJ,u(x,y)d = J,u(x, y)dx d y目录上页下页返回结束机动

 = D V f (x, y) d 引例1中曲顶柱体体积:  = D M  (x, y) d 引例2中平面薄板的质量: 如果 f ( x, y) 在D上可积, 也常 dxd y, 二重积分记作 ( , ) d d . D f x y x y 分区域D , 这时 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作  = D f (x, y) d x d y  = D  (x, y) d x d y

二重积分存在定理证明略）定理1.若函数f(xy)在有界闭区域D上连续，则f（xV）在D上可积定理2.若有界函数f(x,J)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D上可积0≤x≤1在D例如,f(x,y)≤y≤lx-y上二重积分存在；但f（x,y）=在D上1 xx-y二重积分不存在目录上页下页返回结束机动

二重积分存在定理: 若函数 定理2. (证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 例如, x y x y f x y − − = 2 2 ( , ) 在D : 0  x  1 0  y  1 上二重积分存在 ; x y f x y − = 1 但 ( , ) 在D 上 y o 1 x 1 D 二重积分不存在