《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第6章 向量代数与空间解析几何 第四节 空间曲线及其方程

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第6章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程一其一般方程为方程组空间曲线可视为两曲面的交线F(x, y,z)= 0SiS2F(x,yE)= 0G(x, y,z)= 0G(x,y,2)= 0 /L例如,方程组x?+y?=12x+3z=6表示圆柱面与平面的交线CX目录上页返回结束机动下页

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 L G ( x, y, z) = 0 F ( x, y, z) = 0 S1 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1y o C 2

又如方程组r+y2-ax=0表示上半球面与圆柱面的交线C目录上页下页返回结束机动

又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. y x z a

二、空间曲线的参数方程·将曲线C上的动点坐标x，J，z表示成参数t的函数x=x(t)称它为空间曲线的y=y(t)参数方程Z = z(t)M例如，圆柱螺旋线的参数方程为x=acosotH令0=t.b=y=asinotx=acos00z=vty=asinez=b0当0=2元时，上升高度h=2元b，称为螺距目录上页下页返回结束机动

z x y o 二、空间曲线的参数方程 • 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线    v 令 = t , b = h = 2 b 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 .  M

例1.将下列曲线化为参数方程表示：2 +y? = 1A(1)22x+3z=6-ax=0解：（1）根据第一方程引入参数，得所求为x=cost(0≤t≤2元）y=sintz=t(6-2cost)(2)将第二方程变形为(x-号)+y2=故所求为号+号costx=y=号sint(0≤t≤2元）costZ=0目录上页下页返回结束机动

例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为

x=p(t)y=(t)(α≤t≤β)绕z轴旋转例2.求空间曲线I：z=0(t)时的旋转曲面方程解：任取点Mi(p(t),y(t),の(t))eI,点 M绕z轴旋转转过角度0后到点M(x,y,z),则x = /Φ(t)+y-(t) cos 0α≤t≤β0≤0≤2元y=Vp'(t)+y'(t) sinez = 0(t)这就是旋转曲面满足的参数方程目录上页下页返回结束机动

例2. 求空间曲线 : 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解: 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度 后到点 则 这就是旋转曲面满足的参数方程

x=1绕z轴旋转所得旋转曲面方程为直线例如，y=tz = 2tx = /1+t? cos0-8t<+8y=/1+t2sine0≤0≤2元z=2t消去t和，得旋转曲面方程为4(x+y)-z~=4目录上页下页返回结束机动

例如, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和  , 得旋转曲面方程为

x=asinV=0又如，面上的半圆周(0≤≤元)xozz=acos@绕z轴旋转所得旋转曲面（即球面）方程为x=asin@cose0≤0≤元y=asingsin0≤0≤2元z=acos@说明：一般曲面的参数方程含两个参数，形如x=x(s,t)y=y(s,t)z = z(s,t)目录上页下页返回结束机动

绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为 又如, xoz 面上的半圆周 说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如

三、空间曲线在坐标面上的投影[F(x,y,2)=0设空间曲线C的一般方程为G(x,y,z)= 0消去z得投影柱面H(x,y)=0则C在xoy面上的投影曲线C为[H(x,y)= 0Z=0J消去x得C在yoz面上的投影曲线方程XR(y,2)= 0x=0[T(x,2)=0消去y得C在zox面上的投影曲线方程y=0目录上页返回结束机动下页

三、空间曲线在坐标面上的投影 • 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程    = = 0 ( , ) 0 z H x y    = = 0 ( , ) 0 x R y z    = = 0 ( , ) 0 y T x z z y x C C

例如，+2+z2=1+(y -1)2 +(z-1)2 =l在xoy面上的投影曲线方程为x2 +2y?-2y=0XZ=0目录上页下页返回结束机动

z y x C 1 o 例如, • 在xoy 面上的投影曲线方程 为    = + − = 0 2 2 0 2 2 z x y y    + − + − = + + = ( 1) ( 1) 1 1 : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z C