《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第3章 微分中值定理与导数的应用 第六节 函数的极值与最值

第3章第五节函数的极值与最值一、函数的极值及其求法二、最大值与最小值问题下页返回

第3章 二、最大值与最小值问题 一、函数的极值及其求法 第五节 函数的极值与最值

函数的极值及其求法一、E定义：设函数f(x)在(a,b)内有定义，xoE(a,b)若存在xo的一个邻域，在其中当x≠xo时(1）f(x)f(xo）,则称xo为f(x）的极小点称f（xo）为函数的极小值极大点与极小点统称为极值点目录上页返回结束机动下页

一、函数的极值及其求法 定义: 在其中当 时, (1) 则称 为 的极大点 , 称 为函数的极大值 ; (2) 则称 为 的极小点 , 称 为函数的极小值 . 极大点与极小点统称为极值点

例如 (P146例4)f(x)= 2x3 - 9x2 +12x -32x=1为极大点，f(1)=2是极大值x=2为极小点，f(2)=1是极小值福12注意：函数的极值是函数的局部性质1)对常见函数，极值可能出现在导数为0或2)不存在的点X1,X4为极大点X2.Xs为极小点X3不是极值点oaxxxxbx目录上页下页返回结束机动

注意: x1 x3 4 x 2 x x5 oa b x y 1 4 x , x 为极大点 2 5 x , x 为极小点 3 x 不是极值点 2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点. 1) 函数的极值是函数的局部性质. ( ) 2 9 1 2 3 3 2 f x = x − x + x − 例如 (P146例4) 为极大点 , 是极大值 为极小点 , 是极小值 1 2 o x y 1 2

定理1（极值第一判别法）设函数f(x)在xo的某邻域内连续，且在空心邻域内有导数，当x由小到大通过xo时，(1)f'(x）“左正右负",则f(x)在xo取极大值(2)f(x）“左负右正",则f(x)在xo 取极小值;(自证)点击图中任意处动画播放暂停目录上页下页返回结束机动

定理 1 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在 x0 的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0 时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; (2) f (x) “左负右正” , 则 f x 在 x0 取极小值 ( ) . 则 f x 在 x0 取极大值 (自证) 点击图中任意处动画播放\暂停

的极值例1.求函数f(x）=(x-1)x3解:1)求导数 1(x)=x3 +(x-1):3×=号2）求极值可疑点令f(x)=0,得x=；令f()=00,得x2=03)列表判别2-510二+81(-8,0)Xf(x)0+-0.33f(x)其极大值为f（O=0是极大点x=0是极小点其极小值为f（）=-0.33x=C目录上页下页返回结束机动

例1. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数  = +3 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x −  x 3 5 2 3 5 x x− =  2) 求极值可疑点 令 f ( x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f ( x) =  , 得 0 x2 = 3) 列表判别 x f (x) f (x)  0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (− , 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 +  是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为

定理2(极值第二判别法）设函数f(x）在点xo处具有二阶导数，且f'（xo）=0,f"（xo）±0(1)若f"(xo）0,则f(x）在点xo取极小值f'(x)f'(x)-f'(xo)= lim证:(1) f"(xo)= limX→XOx-Xox→oX-Xof'(x)由f"(xo)0,当00;十当xo<x<xo +S时,f'(x)<0,Xo Xo X+o由第一判别法知f(x)在xo取极大值类似可证(2) 目录上页下页返回结束机动

定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . + 证: (1) ( ) 0 f  x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x −  −  = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x −  = → ( ) 0 , 由 f  x0  知 存在   0 , 0 , 当  x − x0   时 故 当 x0 −   x  x0 时 ，f ( x)  0; 当x0  x  x0 +  时 ，f ( x)  0 , x0 0 x0  x+  + 由第一判别法知 ( ) . f x 在 x0 取极大值 (2) 类似可证

例2.求函数f(x）=（x2-1）3+1的极值解：1）求导数f'(x) = 6x(x2 -1)2, -f"(x) = 6(x2 -1)(5x2 - 1)2)求驻点令f(x)=0，得驻点x=-1,X2=0,X=13)判别因f"(0)=6>0，故f(0)=0为极小值：又f"(-1)= f"(1)=0,故需用第一判别法判别由于f(x）在x=±1左右邻域内不变号.f(x）在x=±1没有极值目录上页下页返回结束机动

例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 ( ) 6 ( 1) , 2 2 f  x = x x − ( ) 6 ( 1) (5 1) 2 2 f  x = x − x − 2) 求驻点 令 f ( x) = 0 , 得驻点 1, 0 , 1 x1 = − x2 = x3 = 3) 判别 因 f (0) = 6  0 , 故 为极小值 ; 又 f (−1) = f (1) = 0 , 故需用第一判别法判别. 1x y −1

定理3（判别法的推广）若函数f(x)在xo点有直到n阶导数,且 f(xo)= f"(xo)=...= f(n-l)(xo)= 0, f(")(xo)+ 0,则：1)当n为偶数时，x.为极值点，且(n)(xo)>0时,xo是极小点;(n)(xo)<0时，xo是极大点2）当n为奇数时，x.不是极值点证：利用f（x）在x点的泰勒公式，可得X0f(x)- f(xo)= (x-xo)"+o((x-xo)")n!当x充分接近xo时，上式左端正负号由右端第一项确定故结论正确目录上页下页返回结束机动

定理3 (判别法的推广) ( ) 0 , 0 ( ) f x  n 则: 数 , 且 1) 当 n 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 . f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x − x0 ) +  + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) − (( ) ) 0 n + o x − x + 当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 . 证: 利用 在 点的泰勒公式 , 可得

L f(x)=(x2-1)3 +1例如，例2中f"(x) = 24 x(5x2 -3), f"(±1) 0所以x=土1不是极值点+X说明：极值的判别法（定理1～定理3）都是充分的当这些充分条件不满足时，不等于极值不存在例如：-0.040.041.9992-x'(2+ sin1),x±01.998f(x) =1.997x=01.99621.9951.994f（0）=2为极大值，但不满足定理11.993～定理3的条件目录上页下页返回结束机动

例如 , 例2中 ( ) 2 4 (5 3), 2 f  x = x x − f (1)  0 所以 不是极值点 . 说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件. x y −1 1

最大值与最小值问题二、量若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则其最值只能在极值点或端点处达到求函数最值的方法：(1) 求f(在（内的极值可疑点Xi,X2,Xm7最大值(2)1M = max( f(xi), f(x2),.., f(xm), f(a), f(b))最小值m =min(f(xi), f(x2), .., f(xm), f(a),f(b))目录上页下页返回结束机动

二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 M = max f (a), f (b ) 最小值