《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第2章 导数与微分 第五节 函数的微分

第五节函数的微分第2章微分的概念心二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用下页返回

第2章 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 第五节 函数的微分 一、微分的概念

一、微分的概念引例：一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由xo变到xo+△x，问此薄片面积改变了多少？设薄片边长为x，面积为A，则A=x2，当x在xo取得增量△x时，面积的增量为XoAxXAxA= (xo +Ar)? -x?= 2xoAr +(Ar))2xoAxA=xoXo关于△x的△x→0时为线性主部高阶无穷小故A~2xoAx称为函数在xo的微分目录上页下页返回结束机动

一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小  x → 0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其

定义：若函数V=f(x）在点Xo的增量可表示为△y= f(xo +Ax)- f(xo) = A△x + o(△x)（A为不依赖于△x的常数）则称函数 = f(x)在点xo可微,而 A△x 称为f(x)在点xo的微分，记作dy或df，即dy= AAx定理：函数y=f(x）在点xo可微的充要条件是y=f(x)在点xo处可导,且A=f(xo）,即dy= f'(xo)Ax目录上页下页返回结束机动

的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f ( x) 而 A  x 称为 记作 即 d y = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 d y = f ( x )x 0 在点 可微

定理：函数V=f(x）在点Xo可微的充要条件是y=f(x）在点xo处可导，且A=f(xo），即dy = f'(xo)△x证：“必要性”已知y=f(x）在点Xo可微，则△y= f(xo + △x)- f(xo) = A△x + o(△x)o(△x)A= lim(A+limAxAx-0 △xAx→0故y=f(x）在点xo的可导，且f(xo）=A目录上页下页返回结束机动

定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0  y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x   = +     →  → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 d y = f ( x )x 0

定理：函数V=f(x）在点Xo可微的充要条件是y=f(x）在点xo处可导，且A=f(xo），即dy = f'(xo)Ax已知=f(x)在点xo的可导，则“充分性”Ay= f'(xo)limAx-0 △x=f(xo)+α（limα=0)△xAx-0故 △y= f'(xo)△x+α△x = f'(xo)△x+o(△x)（f(xo）±0时）线性主部即 dy= f'(xo)△x上页目录下页返回结束机动

定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 d y = f ( x )x 0 “充分性”已知 lim ( ) 0 0 f x x y x =     → =  +    ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 =  →  x  y = f ( x )x +  x 故 0 ( ) ( ) 0 = f  x x + o x  线性主部 即 d y = f ( x )x 0 在点 的可导, 则

说明: △y= f(xo)△x +o(△x)dy= f'(xo)△x当f(xo)0 时,DyAy= limlimAx-0 dyAx-0 f'(xo)Ax1Ay一limf'(xo) Ax-0 △x所以△x→0时△y与dy是等价无穷小，故当|△x很小时，有近似公式Ay=dy目录上页下页返回结束机动

说明: ( ) 0 f  x0  时 , d y = f ( x )x 0 ( ) ( ) 0  y = f  x x + o x y y x d lim 0   → f x x y x    =  → ( ) lim 0 0 x y f x x    =  →0 0 lim ( ) 1 = 1 所以 x → 0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x  y  d y 与 是等价无穷小, 当 故当

微分的几何意义切线纵坐标的增量dydy = f'(xo)Ax = tanα ·△xy=f(x)V当Ax很小时，△ydy当y=x时，记Ay = Ax =dxxOXo称△x为自变量的微分，，记作dxXo+Ax则有dy= f'(x)dxdy= f(x)导数也叫作微商从而dx目录上页下页返回结束机动

微分的几何意义 d y = f ( x )x 0 x + x 0 x y o y = f ( x )  0 x y = tan    x dy 当 x 很小时, y  d y 当 y = x 时 ， 则有 d y = f ( x) dx 从而 ( ) d d f x x y =  导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 称 x为 自变量的微分, 记作 dx y = x = dx 记

例如，y=x=3x2.dx= 0.24dyx= 2x=2dx = 0.02dx = 0.02又如，y=arctanx，1dxdy1+x基本初等函数的微分公式上页机动目录下页返回结束

例如, , 3 y = x dy d 0.02 2 = = x x 2 = 3x  dx d 0.02 2 = = x x = 0.24 y = arctan x , dy x x d 1 1 2 + = 基本初等函数的微分公式 又如

微分运算法则二、设u(x)，v(x)均可微，则2. d(Cu) = Cdu（C为常数）1.d(u±v)=du±dyvdu-udy13. d(uv) = vdu + udy4. d(=)=(V±0)5.复合函数的微分y=f(u),u=p(x)分别可微则复合函数=f[の(x)]的微分为dudy= y dx = f'(u)p'(x)dxdy = f'(u)du微分形式不变目录上页下页返回结束机动

二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 = f (u )  ( x) dx du d y = f (u ) du 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 = du  dv = vdu + udv

例1. y=ln(1+e*"),求 dy.解：d(1+exdy:I+et?12水d(x2)e大e1et2xdx+1+e2xet?dxI+et?上页机动目录下页返回结束

例1. 求 解 : 2 1 1 d x e y + = d ( 1 ) 2 x + e  + = 2 1 1 x e d ( ) 2 x e x x e x x 2 d 1 1 2 2   + = x e x e xx d 12 22 + = 2 x e