《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第1章 函数、极限与连续 第七节 无穷小的比较

第七节无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小的性质三、等价无穷小的替换规则四、练习

第七节 无穷小的比较 二、等价无穷小的性质 一、无穷小的比较 三、等价无穷小的替换规则 四、练习

一、无穷小的比较无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的无穷小量趋于0的速度却不一样，有时差别很大例如，当x→0时x,2x,x-者都是无穷小量，但它们趋于0的速度却不一样0.10.010.5x22x一0.20.02心..→010.250.010.0001显然，x2比x与2x趋于0的速度快得多目录上页下页返回结束机动

一、无穷小的比较 无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的无穷小量 趋于 0 的速度却不一样，有时差别很大. 例如，当 x → 0 时， x x x ,2 , 2 都是无穷小量，但它们 趋于 0 的速度却不一样： x 1 0.5 0.1 0.01 2x 2 1 0.2 0.02 x 2 1 0.25 0.01 0.0001 显然，x 2 比 x 与 2x 趋于 0 的速度快得多. .→ 0 .→ 0 .→ 0

定义设α，β是自变量同一变化过程中的无穷小若 lim =0, 则称 β是比α 高阶的无穷小，记作x→*aβ=0(a) lim=8, 则称β是比α若低阶的无穷小x-*aL=C ±0, 则称 β是α 的同阶无穷小;若limx→*aβ若lim=C0,则称β是关于α的k阶无穷小;d.X→*=1,则称 β是α 的等价无穷小, 记作α~β若limx→*a目录上页下页返回结束机动

lim 0, k x β = C →  α  定义. lim 0, x β = → α 若 则称  是比  高阶的无穷小, lim , x β = →  α 若  若 若 lim 1, x β = →  α 若 lim 0, x β = C →  α  设 α, β 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称  是比  低阶的无穷小; 则称  是  的同阶无穷小; 则称  是关于  的 k 阶无穷小; 则称  是  的等价无穷小, 记作 β = ( ) O α α ~ β

例如，sinxlimxx-0sinxtanxlimlimlimXx0xocosxx>0xcosxarcsinxlimlimxx0x0cosx所以当x→0时，有sinx~x;tanx~x;arcsinx ~ x.上页目录下页返回结束机动

所以， lim 0 sin 1, x x = → x lim lim lim 0 0 0 tan sin 1 1, x x x cos cos x x = = = → → → x x x x lim lim 0 0 arcsin 1 1, x x cos x = = → → x x sin ~ ; x x tan ~ ; x x arcsin ~ . x x 当 x → 0 时，有 例如

又如，X-222X2sin2sin1-cosx2limlim= lim2x-02x-0七x0大X22xXsinsin22limlimXXx-0x->022所以当 x→0 时，1-cosx~2上页目录下页返回结束机动

当 时， lim − 0 2 1 cos 1 2 x x x → lim       2 2 0 2sin 2 2 2 x x = → x = 1, 所以， x → 0 − 1 2 1 cos ~ . 2 x x 又如 ， lim       2 2 0 sin 2 2 x x = → x lim           2 0 sin 2 2 x x = → x lim           2 0 sin 2 2 x x = → x

又如，X22sin21-cosxlimlimx=0x-0X-2故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小,且-cosx目录上页下页返回结束机动

又如 ， 且 lim − 2 0 1 cos x x → x lim       2 2 0 2sin 2 4 2 x x = → x 1 , 2 = 故 x → 0 时 1 cos − x 是关于 x 的二阶无穷小, − 1 2 1 cos ~ . 2 x x

例1.证明:当 ×→0 时,1+x～-X~/1+xlim证：x-0bn =(a-b)(an-l + an-2b+...+bn-l("/1+x)n -1一= limx-0=x [(/1+x)n-1 +(/1+x)n-2 +...+1]=1当 x→0时，1+x～=0目录上页下页返回结束机动

例1. 证明: 当 时, 证: x → 0 1 1 + . n x ~ x n lim 0 1 + 1 n x x x n → ( 1 + ) 1 − n n x 1 x n −1 [( 1 + ) n n x −2 +( 1 + ) n n x + + 1] 1 1 + . n x ~ x n 当 x → 0 时, = n n a b − ( ) a b − 1 2 1 ( + + + ) n n n a a b b − − −

定理1. α~β 台 β=α+o(α).B=1α lim((μ-1)=0证：α～βlimx→*ax→*aβ-α台β-α=o(a)limx→*β=a+o(a)Dsinx~x, tanx～x, 故例如，当x→0 时,当x→0时, sinx=x+o(x),tanx = x +o(x)目录上页下页返回结束机动

定理1. 证: 例如, 故 α ~ β α ~ β  β = + o( ). α α β = + o( ). α α β − α = o( ) α    lim 1 x β = → α lim ( 1) 0 − x β = →  α  lim − 0 x β α = →  α  当 x → 0 时, sin ~ , x x tan ~ , x x 当 x → 0 时, sin = + o( ), x x x tan = + o( ). x x x

p存在，则定理2 .设 α~α,β~β,且 limx-→*aB= lim L'limx→*ax→*aBBaβ= lim证：lim βaax*αx→*BlimElim % - limβlimx-→* β'x-→* α' x-* αx→*atan2x2x2例如，limlimx-→0 sin5xx→05x上页目录下页返回结束机动

定理2 . 设 且 存在 , 则 证: 例如, α ~ α , β ~ β , lim lim   = . x x β β → → α α lim  x  β → α lim x β → α lim           = x β β α → β α α lim lim lim     = xxx β β α → → → β α α lim   = . x β → α lim lim 0 0 tan2 2 2 = = . x x sin5 5 5 x x → → x x

说明：设对同一变化过程，α,β为无穷小，由等价无穷小的性质，可得简化某些极限运算的下述规则(1)和差取大规则若β=o(α),则a±β~asinx= lim ±=1例如,limx→0 x3 +3xx-→03x3目录上页下页返回结束机动

说明: 设对同一变化过程 , 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价 可得简化某些极限运算的下述规则. 若 例如, sin lim 3 x 0 + 3 x → x x lim 0 1 = = x 3 3 x → x β = o( ), α 则 α  β ~ α. α, β