《高等数学》课程试卷习题（无答案）第2章 导数与微分习题

S1导数的概念一、判断题()1. f(x0)=[f(x)}.()2.曲线y=f(x)在点(xo,f(x)处有切线，则f(x）一定存在C)3.周期函数的导函数仍为周期函数，()4.偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数，()5.y=f(x)在x=x处连续，则f(x）一定存在()- () = f(0) .)(6. limx-Xof(xo)-f(x-h)()7. lim= f'(x).h()8.若f(x)在x点可导，则f(x)在x点必连续()9.若y=f(x)在点x处可微，则f(x)在点x处也一定可导(）10.若f(x）存在，则f(x）=f(x))11.若If(x)/在点x处可导，则f(x)在点x处一定可导(()12.若函数y=f(x)在点x处可导，则If(x)/在点x处一定可导二、填空题1.设f(x)在x,处可导，则lim(%-Ar)-f(x0)Axf(x +h)- f(x-h)2.设f(x)在x处可导，则limhf(x)3.若f(0)存在，则lim4x2,x≥0,4.已知f(x)则f(0)=+-x2, x011.y=lnx在(1,0)点切线方程f(3-h)-f(3)则lim12.已知f(3)=2，2hh→013.将一物体垂直上抛，设经过t秒后，物体上升的高度为S(t)=10t-gt2，则物体在1秒时3

§1 导数的概念 一、判断题 1． 0 0  f ¢(x ) = [ f (x )]¢ ． （ ） 2．曲线 y = f (x) 在点 0 0  (x , f (x )) 处有切线，则 0  f ¢(x ) 一定存在． （ ） 3．周期函数的导函数仍为周期函数． （ ） 4．偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数． （ ） 5． y = f (x) 在 0 x = x 处连续，则 0  f ¢(x ) 一定存在． （ ） 6． 0 0  0  0  ( ) ( ) lim ( ) x x f x f x  f x  Æ x x - = ¢ - ． （ ） 7． 0 0  0  0  ( ) ( ) lim ( ) h  f x f x h f x  Æ h - - = ¢ ． （ ） 8．若 f (x) 在 0 x 点可导，则 f (x) 在 0 x 点必连续 （ ） 9．若 y = f (x) 在点 0 x 处可微，则 f (x) 在点 0 x 处也一定可导 （ ） 10．若 0  f ¢(x ) 存在，则 0  f (x ) + ¢ =  0  f (x ) - ¢ （ ） 11．若| f (x)|在点 0 x 处可导，则 f (x) 在点 0 x 处一定可导 （ ） 12．若函数 y = f (x) 在点 0 x 处可导，则| f (x)|在点 0 x 处一定可导 （ ） 二、填空题 1．设 f (x) 在 0 x 处可导，则 0 0  0  ( ) ( ) lim x f x x f x  D Æ x - D - = D ， 2．设 f (x) 在 0 x 处可导，则 0 0  0  ( ) ( ) lim h  f x h f x h Æ h + - - = ； 3．若 f ¢(0) 存在，则 0  ( ) lim x f x  Æ x = ； 4．已知 2  2  ,  ( ) , x  f x  x Ï = Ì Ó- 0,  0, x  x ³ ，则 f ¢(0) = ． 11． y = ln x 在(1,0) 点切线方程 ． 12．已知 f '(3) = 2 ，则 0  (3 ) (3) lim  h  2 f h f Æ h - - = ． 13．将一物体垂直上抛，设经过t 秒后，物体上升的高度为 ( ) 1 2  10 2 S t = t - gt ，则物体在 1 秒时

的瞬时速度为三、选择题1.设函数y=f(x)，则当自变量x由x改变到x+Ax时，相应函数的改变量Ay为().(A) f(x +Ar) ;(B) f(xo)Ar:(C)f(x+Ar)-f(x):(D) f(x)+ f'(x)Ar2.函数f(x)的f(x)存在等价于（B);1F(x-h)-f(x0)存在(A) lim nLf(x +一)-f(x）存在(B) limhh-→0n(+3Ar)-(+)存在(+Ar)-(-A)存在(C) lim(D) lim -ArAx3.若函数f(x)在点x处可导，则f(x)在点x处（C);(A)可导(B)不可导(C)连续但未必可导(D)不连续4.函数f(x)在点x=x处连续是f(x)在点x=x可导的()(A)充分条件：(C)充分必要条件：(D)以上均不对.(B)必要条件：[x2 -2x+2, x>15.f(x)=则f(x)在x=1处().(1,x≤I(A)连续，且有一阶导数；(B)连续，但不可导；(C)不连续；(D)以上均不对6．曲线y=f(x)在x=x处切线存在，是f(x)存在的(.(D)无关条件.(A)充分条件(B)必要条件；(C)充分必要条件；7.设曲线y=f(x)在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为（).(B) (1,0);(C) (0,0) ;(D) (1,I) .(A) (0,1) :[2x,xs]在x=1处（)8.函数f(x)=3x2,x>1(A）左导数存在，右导数存在：(B）左导数存在，右导数不存在：(C）左导数不存在，右导数不存在；(D）左导数不存在，右导数存在，9.曲线y=lnx上点(1,0)处的切线与x轴的交角为（)(D) 元/6.(A)元/2;(B)元/3;(C) 元/4;f()- f(1-x)2=-1，则曲线y=f(x)在点10.设周期为4的函数f(x)在(-0,+o)内可导，lim402x(5,f(5)处的切线的斜率为()(A) ！;(B) 0 ;(D) -2 .(C) -1 ;T11.若f(x)在点x处可导，则f(x)|在点x处（).(A)必可导；(B）连续但不一定可导；(C)一定不可导；(D）不连续.Tearx≤012.若f(x)=在x=0处可导，则常数a,b的值应为（)sin3x+b,x>0b=l;(B) a=3 , b=l;(A)a=l，(C) a=-l ,b=l;(D) a=2, b=-1).13.过点(0,-1)且与y=x2相切的直线是（(B) y= x+11(C) y=-x+1(D) y=-1(A) y=-2x-1).14.下列说法正确的是（(A)函数f(x)在x点极限存在，则f(x)在x处可导

的瞬时速度为 ． 三、选择题 1．设函数 y = f (x) ，则当自变量 x 由 0 x 改变到 0 x + D x 时，相应函数的改变量D y 为( )． (A) 0  f (x + D x) ； (B) 0  f ¢(x )D x ； (C) 0 0  f (x + Dx) - f (x ) ； (D) 0 0  f (x ) + f ¢(x )D x ． 2．函数 f (x) 的 0  f ¢(x ) 存在等价于（ B ）； (A) 0 0  1 lim [ ( ) ( )] n  n f x f x  Æ• n + - 存在 (B) 0 0  0  ( ) ( ) lim h  f x h f x  Æ h - - 存在 (C) 0 0  0  ( ) ( ) lim x f x x f x x  D Æ x + D - - D D 存在 (D) 0 0  0  ( 3 ) ( ) lim x f x x f x x  D Æ x + D - + D D 存在 3．若函数 f (x) 在点 0 x 处可导，则 f (x ) 在点 0 x 处（ C ）； (A)可导 (B)不可导 (C ) 连续但未必可导 (D) 不连续 4． 函数 f (x) 在点 0 x = x 处连续是 f (x) 在点 0 x = x 可导的( )． (A)充分条件； (B)必要条件； (C ) 充分必要条件； (D) 以上均不对． 5． 2  2 2, 1 ( ) 1,             1 x x x  f x  x Ï - + > = Ì Ó £ ，则 f (x) 在 x = 1 处( )． (A)连续，且有一阶导数； (B)连续，但不可导； (C ) 不连续； (D) 以上均不对． 6．曲线 y = f (x) 在 0 x = x 处切线存在，是 0  f ¢(x ) 存在的( )． (A)充分条件； (B)必要条件； (C ) 充分必要条件； (D) 无关条件． 7．设曲线 y = f (x) 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( )． (A) (0,1) ； (B) (1,0) ； (C) (0,0) ； (D) (1,1) ． 8．函数 3  2  2 , 1 ( ) 3 , 1 x x  f x  x x Ï Ô £ = Ì Ô Ó > 在 x = 1 处( )． (A) 左导数存在，右导数存在； (B) 左导数存在，右导数不存在； (C ) 左导数不存在，右导数不存在； (D) 左导数不存在，右导数存在． 9．曲线 y = ln x 上点(1,0) 处的切线与 x 轴的交角为( )． (A) π/2； (B) π/3； (C) π/4； (D) π/6． 10．设周期为 4  的函数 f (x) 在(-•,+• ) 内可导， 0  (1) (1 ) lim 1 x 2 f f x  Æ x - - = - ，则曲线 y = f (x) 在点 (5, f (5))处的切线的斜率为( )． (A) 1 2 ； (B) 0 ； (C) -1 ； (D) -2 ． 11．若 f (x) 在点 0 x 处可导，则| f (x)|在点 0 x 处( )． (A)必可导； (B) 连续但不一定可导； (C ) 一定不可导； (D) 不连续． 12． 若 , 0 ( ) sin 3 , 0 ax e x  f x  x b x Ï £ = Ì Ó + > 在 x = 0 处可导，则常数a,b 的值应为( )． (A) a = 1， b = 1； (B) a = 3 ，b = 1； (C) a = -1 ，b = 1； (D) a = 2 ，b = -1． 13．过点(0, -1) 且与 2 y = x 相切的直线是（ ） ． (A) y = -2x -1 (B) y = x +1 (C) y = -x +1 (D) y = -1 14．下列说法正确的是（ ） ． (A)函数 f (x) 在 0 x 点极限存在，则 f (x) 在 0 x 处可导

(。 -Ar)-f(0) = f(x)(B)极限limAx(C)函数在某点可导，则一定在该点连续(D）函数在某点连续，则一定在该点可导15.若函数f(x)在x处的导数不存在，则曲线y=f(x)在点(xo,f(x))处（（A）的切线必存在(B)有垂直x的切线(C)的切线不存在(D)的切线有可能存在，也有可能不存在(sinx,x110.设(a)在x=1处连续，且lim=2，求()。1x-111在抛物线y=x2上取横坐标为x=1及=3的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？12.设f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)其中g(x)在(-c0,+oo)上有定义，且在x=a处可导，求f(0)

(B)极限 0 0  0  0  ( ) ( ) lim ( ) x f x x f x  f x  D Æ x - D - = ¢ D (C ) 函数在某点可导，则一定在该点连续 (D) 函数在某点连续，则一定在该点可导 15． 若函数 f (x) 在 0 x 处的导数不存在，则曲线 y = f (x) 在点 0 0  (x , f (x )) 处（ ） ． (A) 的切线必存在 (B)有垂直 x 的切线 (C ) 的切线不存在 (D) 的切线有可能存在，也有可能不存在 16．设函数 sin , 0 ( ) , 0 x x  f x  x x Ï ，若 f (x) 在 x = 1 处可导，a,b 应取什么值？ 10．设 f (x) 在 x = 1 处连续，且 1  ( ) lim 2 x 1 f x  Æ x = - ，求 f ¢(1)． 11．在抛物线 2 y = x 上取横坐标为 1  x = 1及 2  x = 3 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪 一点的切线平行于这条割线？ 12．设 f (x) = g(a + bx) - g(a - bx) 其中 g(x) 在(-•,+• ) 上有定义，且在 x = a 处可导，求 f ¢(0) ．

13. 设()=-1-2)(,求F0),(x+1)(x+2)...(x+n)14.设f(x)=(x2-a)g(x)，其中g(x)在x=a处连续，求f(a)15.设f(x)在(0,+0)内有定义，且对于任意x>0，y>0，都有f(xy)=f(x)+f(y)，又f()存在且等于a，试求f(x)及f(x).()+(兴的函数于(x)，其中已知F(0)存在。16.求满足方程f(x+J)=1- f(x)f(y)17.求满足方程f(+)=f(x)·f()的f(x)表达式，其中x,为任意实数，且已知f(0)=2.18．设y=f(x)是在区间1的可导函数，x与x都是属于1的点：记号f(x),[f(x)"，(x),f(x)所表示的意义各是什么？有何差异？19.平均变化率兴=x+A4)-()是否与x和Ar有关？瞬时变化率1m(x+Ar)-()是否AxAxAx与x和Ax有关？在对平均变化率取极限的过程中，Ax是常量还是变量？x是常量还是变量？20.用定义求y=/x2的导函数在x=1处的导数和在x=0处的右导数，[sinx,-001"2.x>124.求曲线y=x-3在点(1-2)处的切线方程。答案y=4x-6五、证明题1.用导数的定义证明：1）可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；2）可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变2.设f(x)定义在R上，对于任意的x,，有：1f(x)-f()(-x），则f(x)是常值函数3.设f(x)和g(x)是对x的所有值都有定义的函数，具有下列性质：(1) f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)(2）f(x)和g(x)在x=0处可微，且当x=0时，f(0)=0,g(0)=1,f(0)=1,g(0)=0.证明：f(x)对所有x都可微，且f(x)=g(x).4.设f(a)存在，f(a)0，试求lim5.设函数e(x)在(-c0,+o0)上连续，又设f(x)=cos0(x)，f(x)=sin(x)，证明对满足(x)n的一切x：(x)可导，且(x)=-1.S2函数的求导法则一、判断题

13．设 ( 1)( 2) ( ) ( ) ( 1)( 2) ( ) x x x n f x  x x x n - - - = + + + L L ，求 f ¢(1)． 14．设 2 2  f (x) = (x - a )g(x) ，其中 g(x) 在 x = a 处连续，求 f ¢(a) ． 15．设 f (x) 在(0,+• ) 内有定义，且对于任意 x > 0 ， y > 0 ，都有 f (xy) = f (x) + f ( y) ，又 f ¢(1)存 在且等于a ，试求 f ¢(x)及 f (x) ． 16．求满足方程 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x f y  f x y  f x f y + + = - 的函数 f (x) ，其中已知 f ¢(0) 存在． 17． 求满足方程 1 2 1 2  f (x + x ) = f (x )× f (x )的 f (x) 表达式， 其中 1 2  x , x 为任意实数， 且已知 f ¢(0) = 2 ． 18．设 y = f (x) 是在区间 I 的可导函数， x 与 0 x 都是属于 I 的点．记号 0 0  f ¢(x ),[ f (x )]¢ ， 0 ( ), ( ) x x f x f x = ¢ ¢ 所表示的意义各是什么？有何差异？ 19．平均变化率 y f (x x) f (x ) x x D + D - = D D 是否与 x 和 D x 有关？瞬时变化率 0  ( ) ( ) lim x f x x f x  D Æ x + D - D 是否 与 x 和D x 有关？在对平均变化率取极限的过程中，D x 是常量还是变量？ x 是常量还是变量？ 20．用定义求 3  2 y = x 的导函数在 x = 1 处的导数和在 x = 0 处的右导数． 21．函数 sin , 0 ( ) ,0 x x  f x  x x Ï -• ，求 f (x) 的导数。答案 2 , 1 ( ) 2, 1 2, 1 x x  f x x  x Ï ． 24．求曲线 4  y = x - 3 在点(1,- 2) 处的切线方程。答案 y = 4x - 6 ． 五、证明题 1．用导数的定义证明： 1）可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数； 2）可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变． 2．设 f (x) 定义在 R 上，对于任意的 1 2  x , x ，有： 2  1 2 1 2  | f (x ) - f (x ) |£ (x - x ) ，则 f (x) 是常值函数． 3．设 f (x) 和 g(x) 是对 x 的所有值都有定义的函数，具有下列性质： （1） f (x + y) = f (x)g( y) + f (y)g(x) （2） f (x) 和 g(x) 在 x = 0 处可微，且当 x = 0 时， f (0) = 0, g(0) = 1, f ¢(0) = 1, g¢(0) = 0 ． 证明： f (x) 对所有 x 都可微，且 f ¢(x) = g(x) ． 4．设 f ¢(a) 存在， f (a) ¹ 0 ，试求 1 lim  1 n  x f a n f a n Æ• È Ê ˆ ˘ Í Á + ˜ ˙ Ë ¯ Í ˙ Í Ê ˆ ˙ Á - ˜ Í ˙ Î Ë ¯ ˚ ． 5．设函数q (x) 在(-•,+• ) 上连续，又设 f (x) = cosq(x) ， f ¢(x) = sinq(x) ，证明对满足q(x) ¹ np 的一切 x ．q (x) 可导，且q¢(x) = - 1． §2 函数的求导法则 一、判断题

1.若f(x)在点可导，g(x)在点x不可导，则f(x)+g(x)在点xo一定不可导()2.若f(x)在点x可导，g(x)在点x不可导，则f(x).g(x)的结果在点x必不可导（)二、填空题1. (V2)=则 F(-2)=2.已知f(x)=arccos-x其中可导且()0,g()0，贝则d3.设y=dxVg(x)4.若f(u)可导，则y=f(sinV)的导数为15.设y=e则y=sin-x6. 设f()=lim (1+1)2，则于(0)=x7.设f(x)=sin22x，则f'(2x)=3x-2ld8.已知y=f'(x)= aresinx,3x + 2dx9.设g(x)是单调连续函数f(x)的反函数，且f(2)=4，f(2)=-V5，则g(4)=三、选择题）的导数等于！1.下列函数中（sin2x:21(A) ()sinx(B)(=)cos2x((C) ()sin 2x(D) ()cos x1"(x+Ax)-"(α)= (2.设f(x)是可导函数，则limAx(A) [f'(x)(B) 2 f'(x)(D)不存在;(C) 2f(x)f'(αx)四、计算题V2V221.求曲线x+y3=ai在点(a)处的切线方程和法线方程，a.4'4x=sin，在t=处的切线方程和法线方程。2.写出曲线Acos2t5.某人以2m/s的速度通过一座桥，桥面高出水面20m，在此人的正下方有一条小船以=m/s的速度在与桥垂直的方向航行，求经过5s后，人与小船相分离的速度，6.设y=tan2x+2*，求dl-，7.设y=f(e)er()，其中f(x)为可微函数，求y[e*-l, 1<x<+00x2,8.求函数f(x)=0≤x<1的导数x-0<X<0[xe*, Ix],求f(n).9.设f(x)1/e,1x≥1

1．若 f (x) 在点 0 x 可导， g(x) 在点 0 x 不可导，则 f (x) + g(x) 在点 0 x 一定不可导 （ ）． 2．若 f (x) 在点 0 x 可导， g(x) 在点 0 x 不可导，则 f (x)× g(x)的结果在点 0 x 必不可导（ ） ． 二、填空题 1．( 2)¢ = _ ； 2．已知 1 f (x ) arccos x = ，则 f ¢(-2) =  ． 3．设 ( ) ( ) f x  y  g x = 其中 可导且 f (x) ¹ 0, g(x) ¹ 0 ，则 dy dx = ． 4． 若 f (u ) 可导，则 y = f (sin x ) 的导数为 ． 5．设 1  tan  1 sin x y e  x = ，则 y¢ = 6．设 1 2  ( ) lim (1 ) tx x f t t Æ• x = + ，则 f ¢(t) = 7．设 2  f (x) = sin 2x ，则 f ¢(2x) = 8．已知 3 2 ( ) 3 2 x  y f x - = + ， 2  f ¢ (x) = arcsin x ，则 x 0 dy dx = = 9．设φ (x)是单调连续函数 f (x) 的反函数，且 f (2) = 4， f ¢ (2) = - 5 ，则φ¢(4) = ． 三、选择题 1．下列函数中（ ）的导数等于 1 sin 2 2 x ； (A) 1 2  ( )sin 2 x (B) 1 ( ) cos 2 2 x (C) 1 ( )sin 2 2 x (D) 1 2  ( ) cos 2 x ． 2． 设 f (x) 是可导函数，则 2 2  0  ( ) ( ) lim x f x x f x  D Æ x + D - = D （ ）． (A) 2  [ f ¢(x)] (B) 2 f ¢(x) (C) 2 f (x) f ¢(x) (D) 不存在;  四、计算题 1．求曲线 2 2 2  3 3 3 x + y = a 在点 2 2 ( , ) 4 4 a a 处的切线方程和法线方程． 2．写出曲线 sin cos 2 x t y t Ï = Ì Ó = 在 4 t p = 处的切线方程和法线方程． 5．某人以2m s 的速度通过一座桥，桥面高出水面20m ，在此人的正下方有一条小船以 4 3 m s 的 速度在与桥垂直的方向航行，求经过5s 后，人与小船相分离的速度． 6．设 sin  tan 2 2 x y = x + ，求 2 x dy p = ． 7．设 ( )  ( ) x f x y = f e e ，其中 f (x) 为可微函数，求 y¢ ． 8．求函数 1 2  3  1 ( ) 0 1 0 x e x  f x x x  x x - Ï , < < +• Ô = Ì , £ < Ô , -• < < Ó 的导数． 9．设 2 2  | | 1 ( ) 1 | | 1 x x e x  f x  e x - Ï Ô , £ = Ì Ô Ó , ³ ，求 f ¢(x)．

r sinx+010. 设f(x)=求f(x).4x=0a,11.求下列函数的导数：4,7-2+12;(1)y=x-3x +4x-5;(2) y=x(3)y=2tanx+sec x-e(4)y= sinxcosx ;Inx(5)y= x Inx :(6) y:Xer(7)y=--1(8) y+In3x+1x(9) y = In sin' (1/x)(10)y=arctan(1-2x)3+(11) y = sin(tan x)(12) y(13)y=x"+n"a(14) y=x+lnx+5tanxsecx +In(1+ n)(15) y=(16)y=+arctan xx21+x(17)y=x"sinx+cosx+x(18)y=sinxcosxlnx12.求下列函数在给定点处的导数：7"和x=≥(1l)y=sinx-cosx，x=(2)r=@sin@+-cos@，642413.求抛物线y=ax2+bx+c上具有水平切线的点，14.设f(x)可导，求下列函数y的导数y：(1)y= f(x)(2)y= f(sin x)+ f(cos x)15.如果f(x)=(ax+b)sinx+(cx+d)cosx，试确定a,b,c,d的值使f(x)=xcosx83高阶导数、填空题1. 设f(x)=x sinx,则 f(5)(0)=2.设f(x)=x(x-1)(x-2).-(x-n)，其中n为正整数，则f(a+I)(x)=3.设f(x)=xlnx，则当n为大于1的正整数时，f()(x)=x.994. 设f(x)=则 f(99)(x)=1-15.设y=xe"，则y(m)=二、选择题1.设函数f(x)=xx，则f(x)在点x=0处（).（A）不连续，不可导(B）不连续，可导(C）连续，不可导(D）连续，可导2. 设f(-x)=f(x),(-o00,f(x)0,f'(x)0, f"(x)>0(C) f'(x)03.已知函数f(x)具有任意阶导数，且f(x)=[f(x)}，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶

10．设 2  1 sin 0 ( ) 0 x x  f x  x  a x Ï Ô , ¹ = Ì Ô Ó , = ，求 f ¢(x)． 11．求下列函数的导数： (1) 3 2  y = x - 3x + 4x - 5 ； (2) 5 4  4 7 2 y  12 x x x  = + - + ； (3) y = 2 tan x + sec x - e (4) y = sin x cos x ； (5) 2  y = x ln x ； (6) ln x  y  x = ； (7) 1 1 x  y  x - = + ； (8) 2  ln 3 x e  y  x = + ． (9) 2  y = ln sin (1 x) (10) 2  y = arctan(1- 2x) (11) 2  y = sin(tan x ) (12) 3  1 1 x  y  x + = - (13) n n x y = x + n a (14) y = x + ln x + 5 (15) 2  tan  arctan x  y x  x = + (16) sec  ln(1 ) 1 x  y n x = + + + (17) sin cos n  y = x x + x + x (18) y = sin x cos x ln x 12．求下列函数在给定点处的导数： (1) y = sin x - cos x ， 6 x p = 和 4 x p = ； (2) 1 sin cos 2 r = j j + j ， 4 p j = ． 13．求抛物线 2 y = ax + bx + c 上具有水平切线的点． 14．设 f (x) 可导，求下列函数 y 的导数 y¢ ： (1) 2  y = f (x ) (2) 2 2  y = f (sin x) + f (cos x) 15.如果 f (x) = (ax + b)sin x + (cx + d) cos x ，试确定a,b, c, d 的值使 f ¢(x) = x cos x .  §3 高阶导数 一、填空题 1．设 2  f (x) = x sin x ，则 (5)  f (0) = ． 2．设 f (x) = x(x -1)(x - 2)L (x - n) ，其中 n 为正整数，则 ( 1) ( ) n  f x + = ． 3．设 f (x) = x ln x ，则当 n 为大于 1 的正整数时， ( ) ( ) n  f x = ． 4．设 99  ( ) 1 x  f x  x = - ，则 (99)  f (x) = ． 5．设 x y = xe ，则 (n ) y = _． 二、选择题 1．设函数 f (x) = x | x |，则 f ¢(x)在点 x = 0 处（ ） ． (A) 不连续，不可导 (B) 不连续，可导 (C ) 连续，不可导 (D) 连续，可导 2．设 f (-x) = f (x),(-• 0, f ¢¢(x) 0 ， f ¢¢(x) 0 ， f ¢¢(x) > 0 (C) f ¢(x) 0 3．已知函数 f (x) 具有任意阶导数，且 2  f ¢ (x) = [ f (x)] ，则当n 为大于 2 的正整数时，f (x) 的n 阶

).导数f(")(x)是（n[ f(x)*!(B)n[f(x)"+1(C) [f(x)"(D)n[f(x)2"4.已知y=sinx，则y(0)=（).(D) -cOSx(A) sinx(B) cosx(C) -sinx三、计算题1．求下列函数的二阶导数：(2)y= Va2 - x2(l)y=e-'sint(3)y= tanx(4)y=(1+x")arctanx2.若了()存在，求下列函数的二阶导数4dx(1)y= xe(2) y = In(x+ /1+ x)x=acost(3) y= sin[f(x")(4)y=bsint(x= f'(t)(5)=矿)-()"()存在且不为零。(6) y= f(x)(8) x2 - =1(7)y=ln f(x)(9) /r=3e[x= a(t-sint),(10) y=2e'y=a(l-cost),3. 设f(x)=(x+10)°，求f"(2)=?4.设f(x)=sinxsin3xsin5x，求f"(0)5. 求参数方程|x=In(1+F)所确定的函数的三阶导数。y=t-arctant6.求下列函数的n阶导数的一般表达式：(1)y= sin’x(2) y= xe*1-x(3)y=/1+x(4) y=1+ x2x+2(5)y=x2+2x-37.设y=x sin2x，求y(50)8.试从x=，导出：y(2) x_ 30)* -y"(1)x"=()3(y)9.设f(x)=3x2+x|xl,试求使f()(0)存在的最高阶数n.10.设函数o(x)是二阶可导函数，选择a,b,c,使p(x),x≤xof(x)=a(x-x)+b(x-x)+c,x>x在实数域上二阶可导.s4隐函数与参数方程的求导

导数 ( ) ( ) n  f x  是（ ） ． 1  ![ ( )] n  n f x + (B) 1  [ ( )] n  n f x + (C) 2  [ ( )] n  f x (D) 2  ![ ( )] n  n f x 4． 已知 y = sin x ，则 (10) y = （ ）． (A) sin x (B) cos x (C) -sin x (D) - cos x 三、计算题 1．求下列函数的二阶导数： (1) sin t y e t - = (2) 2 2 y = a - x (3) y = tan x (4) 2  y = (1+ x ) arctan x 2．若 f ¢¢(x) 存在，求下列函数的二阶导数 2 d y  dx (1) 2 x y = xe (2) 2  y = ln(x + 1+ x ) (3) 2  y = sin[ f (x )] (4) cos sin x a t y b t Ï = Ì Ó = (5) ( ) ( ) ( ) x f t y tf t f t Ï = ¢ Ì , Ó = ¢ - f ¢¢(t) 存在且不为零． (6) 2  y = f (x ) (7) y = ln f (x) (8) 2 2  x - y = 1 (9) 3 2 t t x e  y e - Ï = Ì Ó = (10) ( sin ) ,  (1 cos ) , x a t t y a t Ï = - Ì Ó = - 3．设 6  f (x) = (x +10) ，求 f ¢¢¢(2) = ? 4．设 f (x) = sin xsin 3x sin5x ，求 f ''(0) ． 5．求参数方程 2  ln(1 ) arctan x t y t t Ï = + Ì Ó = - 所确定的函数的三阶导数． 6．求下列函数的n 阶导数的一般表达式： (1) 2  y = sin x (2) x y = xe (3) 1 m y = + x (4) 1 1 x  y  x - = + （5） 2 2 2 2 3 x  y  x x + = + - ;  7．设 2  y = x sin 2x ，求 (50) y 8．试从 1 x  y ¢ = ¢ 导出： (1) 3  ( ) y  x  y ¢¢ ¢¢ = - ¢ (2) 2  5  3( ) ( ) y y y  x  y ¢¢ - ¢ ¢¢¢ ¢¢¢ = ¢ 9．设 2 2  f (x) = 3x + x | x | ,试求使 ( ) (0) n  f 存在的最高阶数n ． 10．设函数j(x) 是二阶可导函数，选择a,b, c , 使 0  2  0 0 0  ( ) ( ) ( ) ( ) x x x  f x  a x x b x x c x x Ï j , £ = Ì Ó - + - + , > 在实数域上二阶可导． §4 隐函数与参数方程的求导

、填空题1.设y=1+xe'，则y'=2. 设y=(sinx)c**，则dy=3.设y=()由sin(s)-n=1确定，则y(0)=x=arcsint所确定，则虫4.设函数y=y(x)由参数方程ly=Vi-f2dx5. 曲线/=csin2) 在点(0.1)处的法线方程为y=e'costx=3t*+2t则d6.设函数y=j(a)由参数方程所确定，y=e'sint+1dx则 f(0)=7. 设 f(x)=logg(x)(), 9(0)=Φ(0)=2,h(0)=28. 已知y是由方程sin(s)=x+y所确定的x的函数，则崇=dx[x= 4e'则d9.设ly= 2e-4tdx二、选择题x= f(t)+1dy确定，其中f()可导，且f(0)+0，1.若函数y=y(x)方程则人I(ly=f(e"-1)dx23.(A) 0(B)1(C)(D)cosxsinx).2.设y=则y'=(1+cotx1+tanx(C)(A) cosx(B)cos2x(D)-cos2x.-COSx3.设y=x，则y=(人(A) xr[x*(Inx+1)Inx+*+1x*[x*(Inx+ 1)Inx+ x-1(B)(C) x"[x(lnx+2)Inx+x++x"[x(nx+)Inx+x](D)则d).4.设y=f(e)，(x)=lnx,dx(A) 3xe3r9xedr(C) 3x(D) 9e**.(B)5.设f(x)满足f(x+1)=af(x)，且f(0)=b，其中a,b为非零常数，则f(1)=().(B)b ;(D) 0 .(A)a;(C) ab ;6.设xy+e-x=0，则当x=l，y=0时，y'=（）.(0)(A) -1(B) 1(D) 0三、计算题1.求由下列方程所确定的隐函数y的导数y：(1)3x2 +4y2 -1- 0 :(2)e=sin(x+y) :(3) y=I+xsiny;(4)xcot y = cos(xy) :a2x+a?(5) y=1+xe.(6) y:In(x+yx+a)

一、填空题 1． 设 1 y y = + xe ，则 y¢ = _． 2．设 2 cos (sin ) x y = x ；则 dy = ． 3． 设 y = y(x) 由 1 sin( ) ln 1 x  xy y + - = 确定，则 y¢(0) =  ． 4．设函数 y = y(x) 由参数方程 2  arcsin 1 x t y t Ï = Ô Ì Ô Ó = - 所确定，则 dy dx = ． 5．曲线 sin 2 cos t t x e t y e t Ï = Ì Ó = 在点(0,1) 处的法线方程为 ． 6．设函数 y = y(x) 由参数方程 2  3 2 sin 1 y x t t y e t Ï = + Ì Ó = + 所确定，则 t 0 dy dx = = ． 7．设 ( )  ( ) log ( ) h x f x  = φ x ， 1 (0) (0) 2, (0) 2 φ = φ¢ = h¢ = ，则 f ¢(0) = ． 8． 已知 y 是由方程sin(xy) = x + y 所确定的 x 的函数，则 dy dx = ． 9．设 2  4 2 4 t t x e  y e t Ï Ô = Ì Ô Ó = - ，则 dy dx = ． 二、选择题 1．若函数 y = y(x) 方程 3  ( ) 1 ( 1) t x f t y f e Ï = + Ì Ó = - 确定，其中 f (t) 可导，且 f ¢(0) ¹ 0 ，则 t 0 dy dx = = ( )． (A) 0  (B) 1  (C) 2  (D) 3． 2． 设 2 2  sin cos  1 cot 1 tan x x  y  x x = + + + ，则 y¢ = ( )． (A) cos x (B) -cos x (C) cos 2x (D) -cos 2x ． 3． 设 x x y = x ，则 y¢ = ( )． (A) 1 (ln 1)ln x x x x  x x x x x + È + + ˘ Î ˚ (B) 1 (ln 1)ln x x x x  x x x x x - È + + ˘ Î ˚ (C) 1 (ln 2)ln x x x x  x x x x x + È + + ˘ Î ˚ (D) (ln 1)ln x x x x  x Èx x + x + x ˘ Î ˚ ． 4． 设 3  ( ) x y = f e ， f ¢(x) = ln x ，则 dy dx = ( )． (A) 3 3 x  xe (B) 3 9 x  xe (C) 3x (D) 3 9 x  e  ． 5．设 f (x) 满足 f (x +1) = af (x) ，且 f ¢(0) = b，其中 a,b 为非零常数，则 f ¢(1) =( )． (A) a ； (B) b ； (C ) ab ； (D) 0 ． 6．设 2 0 y xy + e - x = ，则当 x = 1 ， y = 0 时， y¢ = ( ). (A) -1 (B) 1 (C) 1 2 (D) 0 三、计算题 1．求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数 y¢ ： (1) 2 2  3x + 4 y -1 = 0 ； (2 ) sin( ) y e = x + y ； (3) y = 1+ xsin y ； (4) x cot y = cos(xy) ； (5) 1 y y = + xe ． (6) 2  2 2 2 2  ln( ) 2 2 x a y = x + a + x + x + a ．

(7)y=f(tanx)+f(sinx)，其中f(x)为可导函数2. 设sin(s)+I(s-)=t,求的值dtl=03.用对数求导法求下列各函数的导数：x(x2 -1)3x-2(1) y=(2)y=e'sinxV(5-2x)(x-1)V(x24)2(3) y= (sin x)cosr4.求下列方程所确定的隐函数的导数学，dx(1)xy = e**y(2)sin(x* +y)+e* - y = 05.求下列函数的导数：(1) y=x(2)y=2*/2 +1sinx .(x>0)(4) = +2(3-(3)y=(x(x+1)s1+ x6．求下列参数方程所确定的隐函数>的导数会：dxX=ai?(1)J=br2 ;[x=t(1-sint)（2)y=tcost(3)已知[x=e'sint时的值；求当1=ly=e'cost3dx微分及其计算s5一、填空题1. d(e2*)=2. d(esinr)3. d(4. d()= 3xdx)= 2dx5. d(6. d()=costdt)=sin otdx7. d(8. d(dx)=e-rdx=x+119. d(10. d(-dx)= sec2 3xdx)=Nx)=-cotxd.11. d(12.tan136°sinx/996 =13.14.arcsin0.5002/65~15.16.).3x dx= d (117.-dx=d(18.).):2cos2xdx = d (1+x220.19.).Va+xdx=d ().sec xtgxdx= d (

(7 ) 2  y = f (tan x) + f (sin x) ，其中 f (x) 为可导函数． 2．设sin(ts) + ln(s - t) = t ，求 t 0 ds  dt = 的值． 3．用对数求导法求下列各函数的导数： (1) 3 2 (5 2 )( 1) x  y  x x - = - - ； (2 ) 2  3  2 2  ( 1) sin ( 4) x x x  y e x  x - = - ； (3) cos (sin ) x y = x ． 4．求下列方程所确定的隐函数 y 的导数 dy dx ： (1) x y xy e + = (2) 2 2 2  sin( ) 0 x x + y + e - xy = 5．求下列函数的导数： (1) x y = x ( x > 0) (2) 2  2 1sin x y = x + x ． (3) ( ) 1 x  x y  x = + (4) 4  5  2(3 ) ( 1) x x  y  x + - = + 6．求下列参数方程所确定的隐函数 y 的导数 dy dx ： (1) 2  2 x at y bt Ï = Ì Ó = ； (2) (1 sin ) cos x t t y t t Ï = - Ì Ó = ； (3)已知 sin cos t t x e t y e t Ï = Ì Ó = ，求当 3 t p = 时 dy dx  的值； §5 微分及其计算 一、填空题 1． 2  ( ) x d e = ． 2． 2 sin  ( ) x d e = ． 3．d ( ) = 2dx 4．d ( ) = 3xdx 5． d ( ) = costdt 6．d ( ) = sinwtdx 7． ( ) 1 1 d dx  x = + 8． ( ) 2x d e dx - = 9． ( ) 1 d dx  x = 10． ( ) 2  d = sec 3xdx 11． d ( ) cot  sin x dx  x = - ． 12．tan136 ª o ． 13．arcsin 0.5002 ª ． 14． 3  996 ª ． 15． 6  65 ª ． 16． 2 3x dx = d ( ) ． 17． 2  1 1 dx d x = + ( ) ． 18．2cos 2xdx = d ( ) ． 19．sec xtgxdx = d ( ) ． 20． a + xdx = d ( ) ．

InXdx=d (21.):22.).tgxdx=d (x123. 3xe-2~ dx=d ().24.).dx=d (x-125.当x=1,y=2,Ax=0.01时，由方程x2+2xy-y2=1所确定的函数y=f(x)的微分dy=二、选择题).1.若f(u)可导，且y=f(e")，则有（(A) dy= f'(e')dx ;(B) dy= f'(e')e"dx :(C) dy= f(e")e*dx :(D) dy=[f(e')]'e'dx .2.若f(x)可微，且f(x)0 ;(D)3.若y=arctan=，则dy=().224-secdx;(4) sec*三dx :(B) (C)dx(D)dx224+x24+x14. 设y=f(x)，且f(x):则dy=( ).x2dx:1.2(A) -dx ;(B) -(D) =dx(C) Inx dx ;x3x4三、计算题1.已知y=x-x，计算在x=2处当Ax分别等于1,0.1,0.01时的Ay及dy.2.求下列函数的微分：4+1.2+12 ;(1) y=x -3x2+4x-5 ;(2) J:YX(3) y= 5x* -2*+3e' ;(4)y=2tanx+secx-1;(5)y=lnx-2lgx+3logzx;(6) y=sinxcosx ;(7) y=ln(1-x);(8) y=(arccosx)-1;Inx(10)p=a' sin’ax+ b’ cos’ bx .(9)=岁-3.求由方程er+y-xy=0所确定的隐函数y=f(x)的微分dy4.求由参数方程x=3t2+2t+3,esint-y+1=0所确定的函数y=f(x)的微分dy5.有一立方形的铁箱，它的长为70±0.1cm，求出它的体积，并估计绝对和相对误差。6．有一批半径为1cm的钢球,为了提高钢球表面的光洁度,要镀上厚为0.01cm的一层铜，若铜的密度为8.9g/cm2，试估计每个钢球需用多少g铜，7.计算球体积时，要求精度在2%以内，问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？四、证明题1．当x充分小时，证明下列近似公式，并计算所给函数值的近似值：1(2)-(1)In(1+x)x,In1.002~1-x,x+11.005(3) sinx=x2.证明：函数f(x)在x处可导的充要条件是存在一个关于Ax的线性函数L(Ax)=αAx，使( +)- ()-L(A)=0 .limAr014x1

21． ln x dx d x = ( ) ． 22． tgxdx = d ( ) ． 23． 2 2  3 x xe dx d - = ( ) ． 24． 1 1 dx d x = - ( ) ． 25．当 x = 1, y = 2,Dx = 0.01时， 由方程 2 2  x + 2xy - y = 1所确定的函数 y = f (x) 的微分dy = _． 二、选择题 1． 若 f (u ) 可导，且 (e ) x y = f ，则有（ ） ． (A) d (e )d x y = f ¢ x ； (B) d (e )e d x x y = f ¢ x ； (C) d (e )e d x x y = f x ； (D) d [ (e )]'e d x x y = f x ． 2．若 f (x) 可微，且 f ¢(x) 0 ； (D) 符号不能确定． 3．若 arctan 2 x  y = ，则dy = ( )． (A) 2  sec 2 x dx  ； (B) 1 2  sec 2 2 x dx  ； (C) 2  4 4 dx  + x ； (D) 2  2 4 dx  + x ． 4．设 y = f (x) ，且 2  2  1 f (x  ) x ¢ = ，则 dy = ( )． (A) 1 dx  x  ； (B) 3  2 dx  x - ； (C) 2 ln x dx ； (D) 2 dx  x  ． 三、计算题 1．已知 3 y = x - x ，计算在 x = 2 处当 D x 分别等于1,0.1,0.01时的D y 及 dy ． 2．求下列函数的微分： (1) 3 2  y = x - 3x + 4x - 5 ； (2) 5 4  4 7 2 y  12 x x x  = + - + ； (3) 3  5 2 3 x x y = x - + e ； (4) y = 2 tan x + sec x -1； (5) 2  y = ln x - 2lg x + 3log x ； (6) y = sin x cos x ； (7) 2  y = ln(1- x ) ； (8) 2  y = (arccos x) -1； (9) ln x  y  x = ； (10) 2 2 2 2  r = a sin ax + b cos bx ． 3．求由方程 0 x y e xy + - = 所确定的隐函数 y = f (x) 的微分dy ． 4．求由参数方程 2  3 2 3, sin 1 0 y x = t + t + e t - y + = 所确定的函数 y = f (x) 的微分dy ． 5．有一立方形的铁箱，它的长为70 ± 0.1cm ,求出它的体积，并估计绝对和相对误差． 6．有一批半径为1cm 的钢球,为了提高钢球表面的光洁度,要镀上厚为0.01cm 的一层铜，若铜的 密度为 3  8.9g / cm ,试估计每个钢球需用多少 g 铜． 7．计算球体积时，要求精度在2% 以内，问这时测量直径 D 的相对误差不能超过多少？ 四、证明题 1．当| x | 充分小时，证明下列近似公式，并计算所给函数值的近似值： (1)ln(1+ x) ª x, ln1.002 (2) 1 1 1 ,  1 1.005 x  x ª - + ． (3) sin x ª x 2．证明：函数 f (x) 在 0 x 处可导的充要条件是存在一个关于 D x 的线性函数 L(Dx) = aD x ，使 0 0  0  | ( ) ( ) ( ) |  lim 0 | | x f x x f x L x  D Æ x + D - - D = D ．